状态转移模型2 - 图文(2)

例4.8农场的植物园中某种植物的基因型为AA,Aa和aa。农场计划采用AA型的植物与每种基因型植物相结合的方案培育植物后代。那么经过若干年后，相结合的方案培育植物后代。那么经过若干年后，这种植物的任一代的三种基因型分布情况如何？这种植物的任一代的三种基因型分布情况如何？（a）假设：令n=0,1,2,…。

（i）设an,bn和cn分别表示第n代植物中，基因型为AA,Aa和aa的植物占植物总数的百分比。令x (n)为第n代植物的基因型分布：?a0??an?x(n)????bn???cn??当n=0时

x(0)表示植物基因型的初始分布（即培育开始时的分布）????b0???c0??显然有a0?b0?c0?1（ii）第n代的分布与第n－1代的分布之间的关系是通过表5.2确定的。（b）建模根据假设(ii)，先考虑第n代中的AA型。由于第n－1代的AA型与AA型结合。后代全部是AA型；第n－1代的Aa型与AA型结合，后代是AA型的可能性为1/2，而第n－1代的aa型与AA型结合，后代不可能是AA型。因此当n=1,2…时

即

1an?1?an?1?bn?1?0?cn?121an?an?1?bn?1(4.2)

2类似可推出

1bn?bn?1?cn?12(4.3)

cn=0

(4.4)

将（4.2）、（4.3）、（4.4）式相加，得

an?bn?cn?an?1?bn?1?cn?1根据假设(I)，可递推得出：

an?bn?cn?a0?b0?c0?1对于(4.2)式.(4.3)式和(4.4)式，我们采用矩阵形式简记为

x?M??0??0??(n)?Mx(n?1),n?1,2,?(4.5)

其中?110???2120?(n)?1,x?0????an???（注：这里M为转移矩阵的位置）??bn???cn??由（4.5）式递推，得

(4.6)

（4.6）式给出第n代基因型的分布与初始分布的关系。

为了计算出Mn，我们将M对角化，即求出可逆矩阵P和对角库D，使

M=PDP-1

因而有

Mn=PDnP-1, n=1,2,…

n其中?0?????x(n)?Mx(n?1)?Mx2(n?2)???Mxn(0)这里1，2，3是矩阵M的三个特征值。对于(4.5)式

中的M，易求得它的特征值和特征向量：

=1，=1/2，=0

???D????0n1?2????????3???01?n2??n??3??1?2?3因此

?1?D??0?0?01200??1??1??1??? e???1? e???2?0?,e1??0??2??3??????0??0???0???1??所以

1??11??P??e1?e2?e3???0?1?2??1??00?通过计算，P-1=P，因此有

x(n)?PDPxn?1(0)10?111??n??1???＝?0?1?2? ?0???2???1??00??0?00??111??a0??????0? ?0?1?2? ?b0???00???1c0????0??

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库状态转移模型2 - 图文(2)在线全文阅读。