人教版高数必修四第4讲：三角函数的图像与性质（教师版）(3)

[答案] C

2π2π

[解析] T＝＝＝5π.

|ω|2

5

π

2．(2014·陕西咸阳市三原县北城中学高一月考)曲线y＝sin(2x＋)的一条对称轴是( )

65πA．－

127π

C．x＝－ 6[答案] D

ππ

[解析] 令2x＋＝＋kπ，k∈Z，

62πkπ

∴x＝＋，k∈Z.

627π

当k＝2时，x＝，故选D.

6

1

3．下列表示最值是，周期是6π的三角函数的表达式是( )

21xπ

A．y＝sin(＋) 236xπ

C．y＝2sin(－)

36[答案] A

1xπ1π

[解析] 函数y＝sin(＋)的最大值为，周期为6π，初相为，故选A.

23626π

4．下列四个函数中，最小正周期是π且图象关于x＝对称的是( )

3xπ

A．y＝sin(＋)

26π

C．y＝sin(2x－)

3[答案] D

ππ

[解析] ∵函数的最小正周期为π，排除A，又∵函数图象关于x＝对称，∴当x＝时，函数33取最大值或最小值，只有选项D满足，故选D.

π

2x＋?在区间[0，π]内的一个单调递减区间是( ) 5．函数y＝sin?3??5π

0，? A．??12?5π11π?C．??12，12? [答案] B

11

5π

B．x＝

127π

D．x＝

6

1π

B．y＝sin(3x＋) 261π

D．y＝sin(x＋) 26

π

B．y＝sin(2x＋) 6π

D．y＝sin(2x－)

6

π7π?B．??12，12? ππ?D．??6，2?

ππ3π

[解析] 由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)

232π7π

得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，∴选B. 1212

6．设点P是函数f(x)＝sinωx的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴的距离的最π

小值是，则f(x)的最小正周期是( )

4

A．2π πC．

2[答案] B

Tπ

[解析] 由题意知＝，∴T＝π，故选B.

44二、填空题

7π?

7．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的图象如图所示，则f??12?＝________.

B．π π

D． 4

[答案] 0

2π

[解析] 由图象知，T＝，

3π??7π?＝f?π＋π? ∵f?＝0，∴f?4??12??43?πT?π

＋＝－f??＝0. ＝f??42??4?8．函数y＝sin(ωx＋φ)(x∈R，ω>0,0≤φ<2π)的部分图象如图，则y＝________.

ππ?[答案] sin??4x＋4? [解析]

πTπππ

x＋φ?中得＋φ＝2kπ＋，∵0≤φ<2π， ＝2，∴T＝8，ω＝，将点(1,1)代入y＝sin??4?4442

12

π∴φ＝. 4三、解答题

π

9．(2014·山东潍坊重点中学高一期末测试)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(x∈R，ω>0,0<φ<)的部

2分图象如图所示，求函数f(x)的解析式．

11π5π

[解析] 由图象知，周期T＝2(－)＝π，

12122π

所以ω＝＝2.

T

5π

因为点(，0)在函数图象上，

12

5π5π

所以Asin(2×＋φ)＝0，即sin(＋φ)＝0.

126π5π5π4π

又因为0<φ<，所以<＋φ<.

26635ππ

从而＋φ＝π，即φ＝.

66

π

又点(0,1)在函数图象上，所以Asin＝1，解得A＝2.

6π

故函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin(2x＋)．

6

能力提升

一、选择题

x＋φ

1．若函数f(x)＝sin(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( )

3πA．

23πC．

2[答案] C

[解析] 本题考查了三角函数奇偶性，诱导公式．

x＋φφπ3π3π

由y＝sin是偶函数知＝＋kπ，即φ＝＋3kπ，又∵φ∈[0,2π]，∴φ＝适合．本题也可用

33222偶函数定义求解．

13

2π

B． 35πD． 3

2．若A、B是钝角△ABC的两个锐角，则点P(cosB－sinA，sinB－cosA)在( ) A．第一象限 C．第三象限 [答案] D

πππππ

[解析] ∵A、B是钝角△ABC的两个锐角，∴A＋B<，0

0，?上是增函数， ∵y＝sinx在??2?ππ

－B?，sinB

∴sinA

3．已知方程cos2x＋4sinx－a＝0有解，则a的范围是( ) A．[－2,5] C．[－4,4] [答案] C

[解析] 原式可化为：(sinx－2)2＝5－a. ∵－1≤sinx≤1，∴1≤(sinx－2)2≤9， ∴1≤5－a≤9，解得a∈[－4,4]．

7

4．函数y＝＋sinx－sin2x的最大值是( )

47

A．

4C．2 [答案] C

1

sinx－?2＋2， [解析] y＝－?2??

11

∵－1≤sinx≤1，∴当sinx＝时，函数y＝－(sinx－)2＋2取最大值2.

22二、填空题

31

5．函数y＝a＋bsinx的最大值是，最小值为－，则a＝________，b＝________.

221

[答案] ±1

2

1B．－

4D．不存在 B．(－∞，5] D．[0,5] B．第二象限 D．第四象限

?

[解析] 当b>0时，由题意得?1

a－b＝－?2

1??a＝2

∴?. ??b＝1

3

a＋b＝2

，

14

?

当b<0时，由题意得?1

a＋b＝－?2

1??a＝2

∴?. ??b＝－1

3

a－b＝

2

，

π

－x＋?的单调递减区间为________． 6．函数y＝sin?4??π3π

－＋2kπ，＋2kπ?(k∈Z) [答案] ?4?4?ππ

－x＋?＝－sin?x－?， [解析] y＝sin?4???4?π

－x＋?的递减区间， 函数y＝sin?4??

ππππ

x－?的递增区间，令－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z， 即为函数y′＝sin??4?242π3π

得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，

44

ππ3π

∴函数y＝sin(－x＋)的单调递减区间为[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)．

444三、解答题

π

7．已知函数f(x)＝sin(2x－)，求函数f(x)的最大值及f(x)取最大值时x的取值集合．

4ππ3π

[解析] 当2x－＝＋2kπ，k∈Z时，f(x)取最大值1，此时x＝＋kπ，k∈Z.

428即f(x)的最大值是1，取最大值时x的取值集合为{x|x＝

3π

＋kπ，k∈Z}． 8

xπ

8．用五点法画出函数f(x)＝3sin(＋)＋3在一个周期内的图象．

26[解析] 列表如下：

x xπ＋ 26y

描点连线：

π－ 30 3 2π 3π 26 5π 3π 3 8π 33π 20 11π 32π 3 15

11

sin2x?. 9．已知函数f(x)＝log?2?2?(1)求f(x)的定义域、值域和单调区间； (2)判断f(x)的奇偶性．

[解析] (1)要使函数有意义，须sin2x>0， ∴2kπ<2x<2kπ＋π， π

∴kπ

2

π

kπ，kπ＋?，k∈Z. ∴f(x)定义域为?2??11

∵0

22

11

sin2x?≥1，即值域为[1，＋∞)． ∴log??2?2

令y＝sin2x，则函数y＝sin2x的增区间即为函数f(x)的减区间，函数y＝sin2x的减区间即为函数f(x)的增区间．

π

kπ，kπ＋?(k∈Z)， ∴函数f(x)的单调递减区间为?4??ππ

kπ＋，kπ＋?(k∈Z)． 单调递增区间为?42??

(2)定义域关于原点不对称，故既不是奇函数，也不是偶函数．

课程顾问签字： 教学主管签字：

16

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