人教版高数必修四第4讲：三角函数的图像与性质（教师版）

三角函数的图像与性质

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一、三角函数的图像：

1． 正弦线：设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x，y)，过P作x轴的垂线，垂足为M，则有sin??y?MP，向线段MP叫做角α的正弦线， r 2．用单位圆中的正弦线作正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象（几何法）：

把y=sinx，x∈[0，2π]的图象，沿着x轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就得到y=sinx，x∈R叫做正弦曲线

1-6?-5?-4?-3?-2?-?-1y0?2?3?4?5?6?xf?x? = sin?x?

3．用五点法作正弦函数的简图（描点法）：

正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是： 1、用单位圆中的余弦线作余弦函数的图象（几何法）： 为了作三角函数的图象，三角函数的自变量要用弧度制来度量，使自变量与函数值都为实数．在一般情况下，两个坐标轴上所取的单位长度应该相同，否则所作曲线的形状各不相同，从而影响初学者对曲线形状的正确认识．

1

2、余弦函数y=cosx x?[0,2?]的五个点关键是

?3?,0) (?,-1) (,0) (2?,1) 22现在把上述图象沿着x轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就得到

y=cosx，x∈R的图象，

(0,1) (

1-6?-5?-4?-3?-2?-?-1y0?2?3?4?5?6?xf?x? = cos?x?3、正切函数y?tanx的图象： 我们可选择??

????,?的区间作出它的图象 ?22?

根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数y?tanx且x?x?R，

?2?k??k?z?的图象，称“正切曲线”

2

(0,0) (

3??,1) (π,0) (,-1) (2π,0)

22

二、三角函数的性质: 函 数 y?sinx 性 质 y?cosx y?tanx 图象 定义域 值域 当 R R ????xx?k??,k??? 2??R ??1,1? x?2k????1,1? 时，当x?2k?时， ?2ymax?1；当x?2k??? ?最y?1；当x?2k?? 值 max2时，ymin??1． 时，ymin??1． 周期性 奇偶性 既无最大值也无最小值 2? 2? ? 奇函数 偶函数 奇函数 ???单?在?2k??,2k??? 调22??性 上是增函数；

在?2k???,2k??上是增函数； 3

在?k?????2,k????? 2?上是增函数． 在?2k?????2,2k??3??在?2k?,2k????上是减函 2??数． 上是减函数． 对对称中心?k?,0? 称?性 对称轴x?k?? 对称中心?k??对称轴x?k? ????,0? 2?对称中心?无对称轴 ?k??,0? ?2?2

类型一、三角函数的图像：

例1. 作出函数y?1?cos2x的图象

分析：首先将函数的解析式变形，化为最简形式，然后作出函数的图象。

2y?1?cosx化为y?|sinx| 解析：

?sinx(2k??x?2k???)y????sinx(2k????x?2k??2?)(k?Z) 即

其图象如图：

点评：画y?|sinx|的图象可分为两步完成，第一步先画出y?sinx，x?[0，?]和

y??sinx，x?(?，2?)的图象，第二步将得到的图象向左、右平移，即可得到完整的曲线。

例2：y?cos(x? 解析：

?????11 )，x???,?6?66?

类型二、三角函数的性质：

例3. 求下列函数的周期

4

（1）y?sin1x 2（2）y?2sin(x??) 36 分析：该例的两个函数都是复合函数，我们可以通过变量替换将它们归结为基本三角函数去处理。

解析：（1）如果令，则sinx2?sinm是周期函数，且周期为2? ?sin(1x?21

2?)?sin2x 即sin[12(x?4?)]?sin12x

?sinx2的周期是4?

（2）?2sin(x?x?3?6?2?)?2sin(3?6)

即2sin[1?x3(x?6?)??6]?2sin(3?6)

?y?2sin(x3??6)的周期是6?。

练习：求下列三角函数的周期：

1? y=sin(x+

?3) 2? y=cos2x 3? y=3sin(x2+?5) 4 例:4. 比较下列各组数的大小。

（1）sin194°和cos160°；（2）sin74和cos53； （3）sin(sin3?8)和sin(cos3?8) 分析：先化为同名函数，然后利用单调性来比较函数值的大小。

解析：（1）sin194??sin(180??14?)??sin14? cos160??cos(180??20?)??cos20???sin70?

?0??14??70??90?，?sin14??sin70? 从而?sin14???sin70? 即sin194??cos160?

（2）?cos5?3?sin(2?53) ?7 又

2?4??532?3?2? y?sinx在［?3?2，2］上是减函数

?sin7?5

4?sin(52?3)?cos3 5

? y=tan3x

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