2003高三数学专题 数列求和的基本方法和技巧(2)

∴Sn＝ （cos1°+ cos179°）+（ cos2°+ cos178°）+ （cos3°+ cos177°）+···

+（cos89°+ cos91°）+ cos90° （合并求和）

＝ 0

[例13] 数列{an}：a1?1,a2?3,a3?2,an?2?an?1?an，求S2002.

解：设S2002＝a1?a2?a3?????a2002

由a1?1,a2?3,a3?2,an?2?an?1?an可得

a4??1,a5??3,a6??2,

a7?1,a8?3,a9?2,a10??1,a11??3,a12??2,

??

a6k?1?1,a6k?2?3,a6k?3?2,a6k?4??1,a6k?5??3,a6k?6??2

∵ a6k?1?a6k?2?a6k?3?a6k?4?a6k?5?a6k?6?0 （找特殊性质项）∴ S2002＝a1?a2?a3?????a2002 （合并求和） ＝(a1?a2?a3????a6)?(a7?a8????a12)?????(a6k?1?a6k?2?????a6k?6)

?????(a1993?a1994?????a1998)?a1999?a2000?a2001?a2002

＝a1999?a2000?a2001?a2002 ＝a6k?1?a6k?2?a6k?3?a6k?4 ＝5

[例14] 在各项均为正数的等比数列中，若a5a6?9,求log3a1?log3a2?????log3a10的值.

解：设Sn?log3a1?log3a2?????log3a10

由等比数列的性质 m?n?p?q?aman?apaq （找特殊性质项） 和对数的运算性质 logaM?logaN?logaM?N 得

Sn?(log3a1?log3a10)?(log3a2?log3a9)?????(log3a5?log3a6) （合并求和）

＝(log3a1?a10)?(log3a2?a9)?????(log3a5?a6) ＝log39?log39?????log39 ＝10

七、利用数列的通项求和

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先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.

[例15] 求1?11?111?????111????1之和. ??n个1解：由于111???1????11k?999???9?????(10?1) （找通项及特征） ?k个19k个19∴ 1?11?111?????111??????1 n个1＝

19(101?1)?19(102?1)?19(103?1)?????19(10n?1) （分组求和）＝

1(101?10219?103?????10n)?9(1???1??1?????????1) n个1＝110(10n?1)9?10?1?n9 ＝

181(10n?1?10?9n) ?[例16] 已知数列{a8n}：an?(n?1)(n?3),求?(n?1)(an?an?1)的值.

n?1解：∵ (n?1)(an?an?1)?8(n?1)[1(n?1)(n?3)?1(n?2)(n?4)] （找通项及特征） ＝8?[1(n?2)(n?4)?1(n?3)(n?4)] （设制分组） ＝4?(1n?2?1n?4)?8(11n?3?n?4) （裂项）

??∴ ?(n?1)(a11?11n?an?1)?4n?1?(?n?1n?2n?4)?8?(?n?1n?3n?4) （分组、裂项求和）

＝4?(1?1)?8?1344 ＝

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说明：本资料适用于高三总复习，也适用于高一“数列”一章的学习。

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