广东省广州市天河区2015届中考数学一模试卷(3)

（2）若点P在坐标轴上，且P到直线y=﹣x+4的距离为，求符合条件的P点坐

标．

【答案】（1）N（0，4），M（3，0）；（2）符合条件的点P的坐标是（0，0）或（6，0）或（0，8）．

【解析】试题分析：（1）根据函数解析式，分别令x=0、y=0可以求得点N、M在坐标轴上的坐标；

（2）利用面积法来求点P的坐标．注意要分点P的坐标为（x，0）或（0，y）两种情况进行讨论．

试题解析：（1）令x=0，则y=4； 令y=0，则-x+4=0， 解得x=3．

所以，N（0，4），M（3，0）；

（2）由（1）知，N（0，4），M（3，0），则MN=5． 设P（x，0）或P（0，y）．

①当点P的坐标为（x，0）时，MN?解得 x=0或x=6，

即P（0，0）或P（6，0）；

②当点P的坐标为（0，y）时，MN?解得y=0或y=8，

即P（0，0）或P（0，8）；

综上所述，符合条件的点P的坐标是（0，0）或（6，0）或（0，8）． 考点：一次函数图象上点的坐标特征．

8.如图，已知抛物线与x轴交于点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴交于点C（0，8）． （1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；

（2）设直线CD交x轴于点E．在线段OB的垂直平分线上是否存在点P，使得点P到直线CD的距离等于点P到原点O的距离？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；

=|y-4|?OM，即×5×

=|y-4|×3，

=|x-3|?ON，即×5×

=|x-3|×4，

（3）过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，将抛物线沿其对称轴平移，使抛物线与线段EF总有公共点．试探究：抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单

位长度？

【答案】（1）y=﹣x+2x+8，顶点D（1，9）； （2）存在满足条件的点P，P的坐标为（2，﹣10±8

）；（3）向上最多可平移72个单位长，向下最多可平移个单位长．

2

【解析】试题分析：（1）由抛物线过A、B、C三点可求出抛物线表达式；

（2）假设存在，设出P点，解出直线CD的解析式，根据点P到CD的距离等于PO可解出P点坐标；

（3）应分两种情况：抛物线向上或下平移，设出解析式，代入点求出平移的单位长度． 试题解析：（1）设抛物线解析式为y=a（x+2）（x-4）． 把C（0，8）代入，得a=-1． ∴y=-x+2x+8=-（x-1）+9， 顶点D（1，9）；

（2）假设满足条件的点P存在．依题意设P（2，t）． 由C（0，8），D（1，9）求得直线CD的解析式为y=x+8， 它与x轴的夹角为45°．

设OB的中垂线交CD于H，则H（2，10）． 则PH=|10-t|，点P到CD的距离为又∴

2

2

2

． ．

． ）．

平方并整理得：t+20t-92=0，解之得t=-10±8∴存在满足条件的点P，P的坐标为（2，-10±8（3）由上求得E（-8，0），F（4，12）．

①若抛物线向上平移，可设解析式为y=-x+2x+8+m（m＞0）． 当x=-8时，y=-72+m． 当x=4时，y=m．

2

∴-72+m≤0或m≤12． ∴0＜m≤72．

②若抛物线向下平移，可设解析式为y=-x+2x+8-m（m＞0）． 由

有-x+x-m=0． ∴△=1-4m≥0， ∴m≤．

∴向上最多可平移72个单位长，向下最多可平移个单位长．

2

2

，

考点：二次函数综合题．

9.在△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MN∥BC交AC于点N．

（1）如图1，把△AMN沿直线MN折叠得到△PMN，设AM=x． i．若点P正好在边BC上，求x的值；

ii．在M的运动过程中，记△MNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数关系式，并求y的最大值．

（2）如图2，以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMQN．试判断直线BC与⊙O的

位置关系，并说明理由．

【答案】（1）i．当x=2时，点P恰好落在边BC上；ii． y=重叠部分的面积最大，其值为2；（2）当x=与直线BC相离；x＞

时，⊙O与直线BC相切；当x＜

，当x=时，时，⊙O

时，⊙O与直线BC相交．

【解析】试题分析：（1）i．根据轴对称的性质，可求得相等的线段与角，可得点M是AB中点，即当x=AB=2时，点P恰好落在边BC上；

ii．分两种情况讨论：①当0＜x≤2时，△MNP与梯形BCNM重合的面积为△MNP的面积，根据轴对称的性质△MNP的面积等于△AMN的面积，易见y=x

②当2＜x＜4时，如图2，设PM，PN分别交BC于E，F，由i．知ME=MB=4-x∴PE=PM-ME=x-（4-x）=2x-4，由题意知△PEF∽△ABC，利用相似三角形的性质即可求得．

（2）利用分类讨论的思想，先求的直线BC与⊙O相切时，x的值，然后得到相交，相离时x的取值范围．

试题解析：（1）i．如图1，

2

由轴对称性质知：AM=PM，∠AMN=∠PMN， 又MN∥BC，

∴∠PMN=∠BPM，∠AMN=∠B， ∴∠B=∠BPM， ∴AM=PM=BM，

∴点M是AB中点，即当x=AB=2时，点P恰好落在边BC上． ii．以下分两种情况讨论： ①当0＜x≤2时， ∵MN∥BC， ∴△AMN∽△ABC， ∴∴∴AN=

， ， ，

△MNP与梯形BCNM重合的面积为△MNP的面积， ∴

，

②当2＜x＜4时，如图2，

设PM，PN分别交BC于E，F， 由（2）知ME=MB=4-x， ∴PE=PM-ME=x-（4-x）=2x-4， 由题意知△PEF∽△ABC， ∴

，

2

∴S△PEF=（x-2）， ∴y=S△PMN-S△PEF=

∵当0＜x≤2时，y=x， ∴易知y最大=

，

，

2

，

又∵当2＜x＜4时，y=

∴当x=时（符合2＜x＜4），y最大=2，

综上所述，当x=时，重叠部分的面积最大，其值为2． （2））如图3，

设直线BC与⊙O相切于点D，连接AO，OD，则AO=OD=MN． 在Rt△ABC中，BC=由（1）知△AMN∽△ABC， ∴

，即

，

=5；

∴MN=x ∴OD=x，

过M点作MQ⊥BC于Q，则MQ=OD=x， 在Rt△BMQ与Rt△BCA中，∠B是公共角， ∴△BMQ∽△BCA， ∴∴BM= ∴x=∴当x=当x＜x＞

，

时，⊙O与直线BC相切； 时，⊙O与直线BC相离； 时，⊙O与直线BC相交．

，

，AB=BM+MA=

x+x=4

考点：圆的综合题．

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