高等代数(上)期末复习题

高等代数（1）复习题

一、判断题

1、四阶行列式中含因子a11a23的项为a11a23a34a42和a11a23a32a44。（ ） 2、设D为六阶行列式，则a61a52a43a34a25a16是D中带负号的项。（ ） 3、对任一排列施行偶数次对换后，排列的奇偶性不变。（ ） 4、排列n?n?1??321的逆序数为n。（ ） 5、排列n?n?1??321为偶排列。（ ）

6、若行列式中所有元素都是整数，且有一行中元素全为偶数，则行列式的值一定是偶数。（ 7、若A2?B2，则A?B或A??B。（ ） 8、若AB?AC，A?0，则B?C。（ ）

9、若矩阵A满足A2?A，则A?0或A?E。（ ） 10、设A是n阶方阵，若A?0，则必有A可逆。（ ） 11、若矩阵A满足A2?0，则A?0。（ ）

12、若矩阵A,B满足AB?0，且A?0，则B?0。（ ） 13、对n阶可逆方阵A，B，必有?AB??1?A?1B?1。（ ）

14、对n阶可逆方阵A，B，必有?A?B??1?A?1?B?1。（ ）

15、设A，B为n阶方阵，则必有A?B?A?B。（ ） 16、设A，B为n阶方阵，则必有AB?BA。（ ） 17、若矩阵A与B等价，则A?B。（ ）

18、若A与B都是对称矩阵，则AB也是对称矩阵。（ ）

19、若矩阵A的所有r?1级的子式全为零，则A的秩为r。（ ） 20、设Am?n，Bm?n为矩阵，则R?A?B??R?A??R?B?。（ ） 21、设A=0，则R?A??0。（ ）

22、线性方程组An?nX?0只有零解，则A?0。（ ） 23、若AX?b有无穷多解，则AX?0有非零解。（ ）

1

）

24、设n级方阵A,B,C满足ABC?E，E为单位矩阵，则CAB?E。（ ）

?1??1??????25、要使?1??1?，?2???1?都是线性方程组AX?0的解，则系数矩阵A可为?11?1?。（ ）

?2??0??????26、若?1，?2，（ ） ?，?n线性无关，且k1?1?k2?2???kn?n?0，则k1?k2???kn?0。27、单独的一个零向量是线性相关的。（ ）

28、若两个向量组等价，则它们所包含的向量的个数相同。（ ） 29、一个向量组若线性无关，则它的任何部分组都线性无关。（ ）

30、向量组?1，?2，（ ） ?，?n（n?2）线性相关，则其任何部分向量组也线性相关。31、若向量组有一个部分向量组线性无关，则原来的向量组也线性无关。（ ） 32、向量组?1，?2，（ ） ?，?n线性相关，则?n必由?1，?2，?，?n?1线性表示。

33、若向量组?1，?2，（ ） ?，?n线性相关，那么其中每个向量都是其余向量的线性组合。34、若向量组?1,?2,（ ） ,?s（s?2）线性相关，则存在某个向量是其余向量的线性组合。

35、两个向量线性相关，则它们的分量对应成比例。（ ） 36、任意n个n?1维向量必线性相关。（ ） 37、任意n?1个n维向量必线性相关。（ ）

38、向量组?1，?2，（ ） ?，?n的秩为零的充要条件是它们全为零向量。39、线性方程组的任意两个解向量之和仍为原线性方程组的解。（ ） 40、齐次线性方程组的任意两个解向量之和仍为原线性方程组的解。（ ）

二、填空题 第一组：

1、已知排列1s46t5为奇排列，则s、t依次为

2、若排列x1,x2,...,xn的逆序数是k，则排列xn,xn?1,...,x1的逆序数是

126?13、四阶行列式

5?2493470中元素a23的代数余子式为 8?356 4、a11a23a32a44在四阶行列式中应带 号

005、

0d

0b00a0000?3??1?????0? 6、?1?23???2?? 7、?2??321?? c?1??3?????02

?10??11?T8、???1??? 9、??01??? 10、设A??1,2?,B??2,1?，则AB????nk??99?

?123???11、设A??032?，则A*?006??????1? 12、设A为三阶方阵，A?3，则5A?1?2A*=

?cos?13、设A???sin???sin???1A? ?，则?cos???ab??1?114、设A???cd??，当a,b,c,d满足 时，A存在，此时A?

??17、设n阶方阵A满足A2?2A?E?0，则A?1?

?124???18、要使矩阵?2?1?的秩取得最小值，则?? ?110???19、列向量组?1，?2，?，?n?的秩 ?，?n的秩与矩阵A=??1，?2，20、设向量组?1??123?，?2??314?，?3??567?，?4??021?线性 关 21、设?1??1，1，1，1?，?2??0，1，1，1?，?3??0，0，0，1?线性 关 0，1，1?，?4??0，22、已知?1??1，0，0?，?2??0，1，0?，?3??0，2，1?，用?1，?2，?3线性表示?4? 0，1?，?4??0， 23、?，?1，?2线性相关，则?，?1，?2，?3线性 关 24、?，?1，?2，?3线性无关，则?1，?2，?3线性 关

25、由m个n维向量组成的向量组，当m n时，向量组一定线性相关

26、Am?nx?b有唯一解的充要条件是 有无穷多解的充要条件是 无解的充要条件是 27、设n阶方阵A，若R?A??n?2，则Ax?0的基础解系所含向量的个数= 28、已知Ax?b有两个不同的解x1,x2，则Ax?0有一个非零解为 ?1a??1T29、若A???01??，且A?A，则a?

??30、若(x?1)2?ax4?bx2?1，则a? ，b? 。

3

第二组：

1.

3215332053? 72284721841102203303? 302．101202003. Dn??0n4. 设行列式200??01?20???=______________。

0000n?1?0?12a03中，余子式A21?3，则a＝__________。 3691?15. 设A?1?26. 行列式10131?12，则A14?A24?A34?A44? 。

1?1021411123 的余子式M21?M22?M23的值为 。 149?

7．设矩阵A可逆，且A?1，则A的伴随矩阵A的逆矩阵为 。 8．设A、B为n阶方阵，则(A?B)?A?2AB?B的充要条件是 。 9．一个n级矩阵A的行（或列）向量组线性无关，则A的秩为 。 10. 设P、Q都是可逆矩阵，若PXQ?B，则X? 。

222?1?112???11. 设矩阵A??3??12?，且R(A)?2,则????53?6???12. 设A为n阶矩阵，且A?1,则 R(A)?______________。

?,????。

13. A???21??1?,则A?________________。 ?53? 4

?k01????114. 已知A??01?1?,其中k?0，则A?_________________。

?001???15. 若A为n级实矩阵，并且AA?O，则A= 。

?116. 设A为5阶方阵，且detA?3，则detA? ，det(AA?)? ， det(A?)? 。

T?124????117.A??012?,则(A*)? ____________。

?121???*18. 设A为4阶矩阵，且A?2,则 2AA?____________。

19. 设A?1(B?I)，则A2?A的充要条件是 。 220. 设A为n阶矩阵，且rank(A)?r，则AX?0的基础解系中有 个解向量.

21.一个齐次线性方程组中共有n1个线性方程、n2个未知量，其系数矩阵的秩为n3，若它有非零解，则它的基础解系所含解的个数为 。

22.含有n个未知量n个方程的齐次线性方程组有非零解的充分且必要条件是 。 23. A是n?n矩阵，对任何bn?1矩阵，方程AX?b都有解的充要条件是_____ __。 24.若?1??2???s?0，则向量组?1,?2,,?s必线性 25.已知向量组?1?(1,2,3,4)，?2?(2,3,4,5)，?3?(3,4,5,6)，?3?(4,5,6,7)，则该向量组的秩是 。

26. 单个向量?线性无关的充要条件是_____________。 27. 设

?1,?2,?,?m为n维向量组, 且R(?1,?2,?,?m)?n，则n m。

28. n?1个n维向量构成的向量组一定是线性 的。（无关，相关） 29.已知向量组?1?(1,0,1),?2?(2,2,3),?3?(1,3,t)线性无关，则t? _______。 30. 向量组{?1,?2,?,?n}的极大无关组的定义是___________。

31. 设t1,t2,?,ts两两不同, 则向量组?i?(1,ti,ti2,?,tir?1),i?1,2,?,r线性 。 32． 多项式可整除任意多项式。

33．艾森施坦因判别法是判断多项式在有理数域上不可约的一个 条件。 34．实数域上不可约多项式的类型有 种。

(k?1)35．若不可约多项式p(x)是f(x)的k重因式，则p(x)是f(x)的 重因式。

5

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