理由如下：如图2，由①知，B（4，1）， ∵BD∥y轴， ∴D（4，5），
∵点P是线段BD的中点， ∴P（4，3），
当y=3时，由y=得，x=， 由y=
得，x=
，
﹣4=，
∴PA=4﹣=，PC=∴PA=PC， ∵PB=PD，
∴四边形ABCD为平行四边形， ∵BD⊥AC，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）四边形ABCD能是正方形， 理由：当四边形ABCD是正方形， ∴PA=PB=PC=PD，（设为t，t≠0）， 当x=4时，y==， ∴B（4，）， ∴A（4﹣t，+t）， ∴（4﹣t）（+t）=m， ∴t=4﹣，
∴点D的纵坐标为+2t=+2（4﹣）=8﹣， ∴D（4，8﹣）， ∴4（8﹣）=n， ∴m+n=32．
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【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，正方形的性质，判断出四边形ABCD是平行四边形是解本题的关键．
24．（12分）（2018?浙江）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12．点D在直线CB上，以CA，CD为边作矩形ACDE，直线AB与直线CE，DE的交点分别为F，G． （1）如图，点D在线段CB上，四边形ACDE是正方形． ①若点G为DE中点，求FG的长． ②若DG=GF，求BC的长．
（2）已知BC=9，是否存在点D，使得△DFG是等腰三角形？若存在，求该三角形的腰长；若不存在，试说明理由．
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【分析】（1）①只要证明△ACF∽△GEF，推出中，想办法证明∠1=∠2=30°即可解决问题；
=，即可解决问题；②如图1
（2）分四种情形：①如图2中，当点D中线段BC上时，此时只有GF=GD，②如图3中，当点D中线段BC的延长线上，且直线AB，CE的交点中AE上方时，此时只有GF=DG，
③如图4中，当点D在线段BC的延长线上，且直线AB，EC的交点中BD下方时，此时只有DF=DG，如图5中，当点D中线段CB的延长线上时，此时只有DF=DG，分别求解即可解决问题；
【解答】解：（1）①在正方形ACDE中，DG=GE=6， 中Rt△AEG中，AG=∵EG∥AC， ∴△ACF∽△GEF， ∴∴
==
， =，
．
=6
，
∴FG=AG=2
②如图1中，正方形ACDE中，AE=ED，∠AEF=∠DEF=45°， ∵EF=EF，
∴△AEF≌△DEF，
∴∠1=∠2，设∠1=∠2=x， ∵AE∥BC， ∴∠B=∠1=x， ∵GF=GD， ∴∠3=∠2=x，
在△DBF中，∠3+∠FDB+∠B=180°， ∴x+（x+90°）+x=180°， 解得x=30°， ∴∠B=30°，
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∴在Rt△ABC中，BC=
=12．
（2）在Rt△ABC中，AB===15，
如图2中，当点D中线段BC上时，此时只有GF=GD， ∵DG∥AC， ∴△BDG∽△BCA，
设BD=3x，则DG=4x，BG=5x， ∴GF=GD=4x，则AF=15﹣9x， ∵AE∥CB， ∴△AEF∽△BCF， ∴∴
==，
，
整理得：x2﹣6x+5=0， 解得x=1或5（舍弃） ∴腰长GD为=4x=4．
如图3中，当点D中线段BC的延长线上，且直线AB，CE的交点中AE上方时，此时只有GF=DG，设AE=3x，则EG=4x，AG=5x， ∴FG=DG=12+4x， ∵AE∥BC， ∴△AEF∽△BCF， ∴∴
==
，
，
解得x=2或﹣2（舍弃）， ∴腰长DG=4x+12=20．
如图4中，当点D在线段BC的延长线上，且直线AB，EC的交点中BD下方时，此时只有DF=DG，过点D作DH⊥FG． 设AE=3x，则EG=4x，AG=5x，DG=4x+12，
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∴FH=GH=DG?cos∠DGB=（4x+12）×=∴GF=2GH=∴AF=GF﹣AG=∵AC∥DG， ∴△ACF∽△GEF， ∴
=
，
， ，
，
∴=，
解得x=或﹣（舍弃）， ，
∴腰长GD=4x+12=
如图5中，当点D中线段CB的延长线上时，此时只有DF=DG，作DH⊥AG于H． 设AE=3x，则EG=4x，AG=5x，DG=4x﹣12， ∴FH=GH=DG?cos∠DGB=∴FG=2FH=∴AF=AG﹣FG=∵AC∥EG， ∴△ACF∽△GEF， ∴
=
，
， ，
，
∴=，
解得x=或﹣（舍弃），
，
或
．
∴腰长DG=4x﹣12=
综上所述，等腰三角形△DFG的腰长为4或20或
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