2018年浙江省金华市中考数学试卷(5)

【点评】本题考查作图﹣应用与设计，三角形的面积，平行四边形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

21．（8分）（2018?浙江）如图，在Rt△ABC中，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作圆，分别与BC，AB相交于点D，E，连结AD．已知∠CAD=∠B． （1）求证：AD是⊙O的切线．

（2）若BC=8，tanB=，求⊙O的半径．

【分析】（1）连接OD，由OD=OB，利用等边对等角得到一对角相等，再由已知角相等，等量代换得到∠1=∠3，求出∠4为90°，即可得证；

（2）设圆的半径为r，利用锐角三角函数定义求出AB的长，再利用勾股定理列出关于r的方程，求出方程的解即可得到结果． 【解答】（1）证明：连接OD， ∵OB=OD， ∴∠3=∠B， ∵∠B=∠1， ∴∠1=∠3，

在Rt△ACD中，∠1+∠2=90°， ∴∠4=180°﹣（∠2+∠3）=90°， ∴OD⊥AD，

则AD为圆O的切线；

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（2）设圆O的半径为r， 在Rt△ABC中，AC=BCtanB=4， 根据勾股定理得：AB=∴OA=4

﹣r，

=4

，

在Rt△ACD中，tan∠1=tanB=， ∴CD=ACtan∠1=2，

根据勾股定理得：AD2=AC2+CD2=16+4=20， 在Rt△ADO中，OA2=OD2+AD2，即（4解得：r=

．

﹣r）2=r2+20，

【点评】此题考查了切线的判定与性质，以及勾股定理，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．

22．（10分）（2018?浙江）如图，抛物线y=ax2+bx（a≠0）过点E（10，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设A（t，0），当t=2时，AD=4． （1）求抛物线的函数表达式．

（2）当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？

（3）保持t=2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．

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【分析】（1）由点E的坐标设抛物线的交点式，再把点D的坐标（2，4）代入计算可得；

（2）由抛物线的对称性得BE=OA=t，据此知AB=10﹣2t，再由x=t时AD=﹣t2+t，根据矩形的周长公式列出函数解析式，配方成顶点式即可得；

（3）由t=2得出点A、B、C、D及对角线交点P的坐标，由直线GH平分矩形的面积知直线GH必过点P，根据AB∥CD知线段OD平移后得到的线段是GH，由线段OD的中点Q平移后的对应点是P知PQ是△OBD中位线，据此可得． 【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=ax（x﹣10）， ∵当t=2时，AD=4， ∴点D的坐标为（2，4），

∴将点D坐标代入解析式得﹣16a=4， 解得：a=﹣，

抛物线的函数表达式为y=﹣x2+x；

（2）由抛物线的对称性得BE=OA=t， ∴AB=10﹣2t，

当x=t时，AD=﹣t2+t， ∴矩形ABCD的周长=2（AB+AD） =2[（10﹣2t）+（﹣t2+t）] =﹣t2+t+20 =﹣（t﹣1）2+，

∵﹣＜0，

∴当t=1时，矩形ABCD的周长有最大值，最大值为

；

（3）如图，

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当t=2时，点A、B、C、D的坐标分别为（2，0）、（8，0）、（8，4）、（2，4）， ∴矩形ABCD对角线的交点P的坐标为（5，2），

当平移后的抛物线过点A时，点H的坐标为（4，4），此时GH不能将矩形面积平分；

当平移后的抛物线过点C时，点G的坐标为（6，0），此时GH也不能将矩形面积平分；

∴当G、H中有一点落在线段AD或BC上时，直线GH不可能将矩形的面积平分， 当点G、H分别落在线段AB、DC上时，直线GH过点P必平分矩形ABCD的面积， ∵AB∥CD，

∴线段OD平移后得到的线段GH， ∴线段OD的中点Q平移后的对应点是P， 在△OBD中，PQ是中位线， ∴PQ=OB=4，

所以抛物线向右平移的距离是4个单位．

【点评】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质及平移变换的性质等知识点．

23．（10分）（2018?浙江）如图，四边形ABCD的四个顶点分别在反比例函数y=与y=（x＞0，0＜m＜n）的图象上，对角线BD∥y轴，且BD⊥AC于点P．已知点B的横坐标为4． （1）当m=4，n=20时．

①若点P的纵坐标为2，求直线AB的函数表达式．

②若点P是BD的中点，试判断四边形ABCD的形状，并说明理由．

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（2）四边形ABCD能否成为正方形？若能，求此时m，n之间的数量关系；若不能，试说明理由．

【分析】（1）①先确定出点A，B坐标，再利用待定系数法即可得出结论； ②先确定出点D坐标，进而确定出点P坐标，进而求出PA，PC，即可得出结论； （2）先确定出B（4，），进而得出A（4﹣t，+t），即：（4﹣t）（+t）=m，即可得出点D（4，8﹣），即可得出结论． 【解答】解：（1）①如图1，∵m=4， ∴反比例函数为y=， 当x=4时，y=1， ∴B（4，1）， 当y=2时， ∴2=， ∴x=2， ∴A（2，2），

设直线AB的解析式为y=kx+b， ∴∴

， ，

∴直线AB的解析式为y=﹣x+3；

②四边形ABCD是菱形，

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