高考数学备考笔记(7)

当内、外层函数单调性相同时f??(x)?为增函数，否则f??(x)?为减函数。） 如：求y?log1?x?2x的单调区间

2?2? （设u??x?2x，由u?0则0?x?2 且log1u?，u???x?1??1，如图：

222 u O 1 2 x

当x?(0，1]时，u?，又log1u?，∴y?

2 当x?[1，2)时，u?，又log1u?，∴y?

2 ∴??）

15. 如何利用导数判断函数的单调性？

在区间a，b内，若总有f'(x)?0则f(x)为增函数。（在个别点上导数等于

??零，不影响函数的单调性），反之也对，若f'(x)?0呢？

如：已知a?0，函数f(x)?x?ax在1，??上是单调增函数，则a的最大 值是（ ） A. 0

3??B. 1

2 C. 2 D. 3

（令f'(x)?3x?a?3?x???a??a???x???0 3??3? 则x??a或x?3a 3a?1，即a?3 3 由已知f(x)在[1，??)上为增函数，则 ∴a的最大值为3）

16. 函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？ （f(x)定义域关于原点对称）

若f(?x)??f(x)总成立?f(x)为奇函数?函数图象关于原点对称

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若f(?x)?f(x)总成立?f(x)为偶函数?函数图象关于y轴对称

注意如下结论：

（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

（2）若f(x)是奇函数且定义域中有原点，则f(0)?0。

a·2x?a?2 如：若f(x)?为奇函数，则实数a?2x?1 （∵f(x)为奇函数，x?R，又0?R，∴f(0)?0

a·20?a?2 即?0，∴a?1） 02?12x 又如：f(x)为定义在(?1，1)上的奇函数，当x?(0，1)时，f(x)?x，

4?1求f(x)在??1，1?上的解析式。

2?x （令x???1，0?，则?x??0，1?，f(?x)??x

4?12?x2x 又f(x)为奇函数，∴f(x)???x ??4?11?4x?2x??x?4?1 又f(0)?0，∴f(x)??x?2??4x?1 17. 你熟悉周期函数的定义吗？

（若存在实数T（T?0），在定义域内总有f?x?T??f(x)，则f(x)为周期 函数，T是一个周期。）

如：若f?x?a???f(x)，则

x?(?1，0)x?0x??0，1?）

（答：f(x)是周期函数，T?2a为f(x)的一个周期） 又如：若f(x)图象有两条对称轴x?a，x?b??? 即f(a?x)?f(a?x)，f(b?x)?f(b?x) 则f(x)是周期函数，2a?b为一个周期

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如：

18. 你掌握常用的图象变换了吗？ f(x)与f(?x)的图象关于y轴对称 f(x)与?f(x)的图象关于x轴对称 f(x)与?f(?x)的图象关于原点对称 f(x)与f?1(x)的图象关于直线y?x对称

f(x)与f(2a?x)的图象关于直线x?a对称 f(x)与?f(2a?x)的图象关于点(a，0)对称

左移a(a?0)个单位y?f(x?a)?? 将y?f(x)图象????????

y?f(x?a)右移a(a?0)个单位?? ???????? 注意如下“翻折”变换：

上移b(b?0)个单位下移b(b?0)个单位y?f(x?a)?by?f(x?a)?b

f(x)???f(x)f(x)???f(|x|)

如：f(x)?log2?x?1?

作出y?log2?x?1?及y?log2x?1的图象

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y y=log2x O 1 x

19. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？

(k<0) y (k>0) y=b O’(a,b) O x x=a

（1）一次函数：y?kx?b?k?0? （2）反比例函数：y?的双曲线。

kk?k?0?推广为y?b??k?0?是中心O'(a，b) xx?a2b?4ac?b2? （3）二次函数y?ax?bx?c?a?0??a?x?图象为抛物线 ????2a4a2?b4ac?b2?b，，对称轴x?? 顶点坐标为?? ?4a?2a?2a 开口方向：a?0，向上，函数ymin4ac?b2 ?4a a?0，向下，ymax4ac?b2?

4a 应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程

ax2?bx?c?0，??0时，两根x1、x2为二次函数y?ax2?bx?c的图象与x轴 的两个交点，也是二次不等式ax2?bx?c?0(?0)解集的端点值。

②求闭区间［m，n］上的最值。 ③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。

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④一元二次方程根的分布问题。

???0??b2 如：二次方程ax?bx?c?0的两根都大于k????k

?2a??f(k)?0 y (a>0) O k x1 x2 x

一根大于k，一根小于k?f(k)?0 （4）指数函数：y?ax?a?0，a?1? ?? （5）对数函数y?logaxa?0，a?1 由图象记性质！ （注意底数的限定！）

y y=ax(a>1) (01) 1 O 1 x (0

（6）“对勾函数”y?x?k?k?0? x 利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？

y ?k O k x

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