高考数学备考笔记(5)

1V柱体?Sh（S是柱体的底面积、h是柱体的高）.

31V锥体?Sh（S是锥体的底面积、h是锥体的高）.

3149.分类计数原理（加法原理） N?m1?m2???mn. 150.分步计数原理（乘法原理） N?m1?m2???mn. 151.排列数公式

mAn=n(n?1)?(n?m?1)=

n！*

.(n，m∈N，且m?n)．

(n?m)！注:规定0!?1. 152.排列恒等式 (1）An?(n?m?1)An（2）An?mmm?1;

nmAn?1; n?mmm?1（3）An?nAn?1;

（4）nAn?An?1?An; （5）An?1?An?mAnmmm?1nn?1n.

(6) 1!?2?2!?3?3!???n?n!?(n?1)!?1. 153.组合数公式

Cmn=

mAnn！n(n?1)?(n?m?1)*

==(∈N，m?N，且m?n). nmAmm！?(n?m)！1?2???m154.组合数的两个性质 (1)Cn=Cnmmn?m ; =Cn?1.

m(2) Cn+Cn0m?1注:规定Cn?1. 155.组合恒等式

n?m?1m?1Cn; mnmm（2）Cn?Cn?1;

n?mnm?1m（3）Cn?Cn?1;

m（1）Cn?m （4）

?Cr?0rr0nrn=2;

rrrr?1n（5）C?Cr?1?Cr?2???Cn?Cn?1. (6)Cn?Cn?Cn???Cn???Cn?2. (7)Cn?Cn?Cn???Cn?Cn?Cn??2 (8)Cn?2Cn?3Cn???nCn?n2

123nn?1135024n?112rnn.

.

21

(9)CmCn?CmCn???CmCn?Cm?n. (10)(Cn)?(Cn)?(Cn)???(Cn)?C2n. 156.排列数与组合数的关系

mmAn?m！?Cn .

r0r?110rrr021222n2n157．单条件排列

以下各条的大前提是从n个元素中取m个元素的排列. （1）“在位”与“不在位”

①某（特）元必在某位有An?1种；②某（特）元不在某位有An?An?1（补集思想）

1m?1m1m?1?AnA?A?AA（着眼位置）?1n?1n?1m?1n?1（着眼元素）种.

m?1mm?1（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）

①定位紧贴：k(k?m?n)个元在固定位的排列有AkAn?k种.

②浮动紧贴：n个元素的全排列把k个元排在一起的排法有An?k?1Ak种.注：此类问题常用捆绑法；

③插空：两组元素分别有k、h个（k?h?1），把它们合在一起来作全排列，k个的

hk一组互不能挨近的所有排列数有AhAh?1种.

（3）两组元素各相同的插空

m个大球n个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？

nAmn?1?Cm当n?m?1时，无解；当n?m?1时，有n?1种排法. Ann?k?1kkm?k（4）两组相同元素的排列：两组元素有m个和n个，各组元素分别相同的排列数为

nCm?n.

158．分配问题

（1）(平均分组有归属问题)将相异的m、n个物件等分给m个人，各得n件，其分配方法数共有N?Cmn?Cmn?n?Cmn?2n???C2n?Cn?nnnnn(mn)!. (n!)m（2）(平均分组无归属问题)将相异的m·n个物体等分为无记号或无顺序的m堆，其分配方法数共有

nnnnnCmn?Cmn(mn)!?n?Cmn?2n...?C2n?CnN??.

m!m!(n!)m（3）(非平均分组有归属问题)将相异的P(P=n1+n2+?+nm)个物体分给m个人，物件

必须被分完，分别得到n1，n2，?，nm件，且n1，n2，?，nm这m个数彼此不相等，则

nmn1n2其分配方法数共有N?Cp?Cp?n1...Cnm?m!?p!m!.

n1!n2!...nm!（4）(非完全平均分组有归属问题)将相异的P(P=n1+n2+?+nm)个物体分给m个人，物件必须被分完，分别得到n1，n2，?，nm件，且n1，n2，?，nm这m个数中分别有a、b、c、?个相等，则其分配方法数有N?p!m!.

a!b!c!...n1!n2!...nm!(a!b!c!...)（5）(非平均分组无归属问题)将相异的P(P=n1+n2+?+nm)个物体分为任意的n1，

?nmn1n2Cp?Cp?n1...Cnm?m!n2，?，nm件无记号的m堆，且n1，n2，?，nm这m个数彼此不相等，则其分配方法

22

数有N?p!.

n1!n2!...nm!（6）(非完全平均分组无归属问题)将相异的P(P=n1+n2+?+nm)个物体分为任意的

n1，n2，?，nm件无记号的m堆，且n1，n2，?，nm这m个数中分别有a、b、c、?个

p!相等，则其分配方法数有N?.

n1!n2!...nm!(a!b!c!...)（7）(限定分组有归属问题)将相异的p（p?n1+n2+?+nm）个物体分给甲、乙、丙，??等m个人，物体必须被分完，如果指定甲得n1件，乙得n2件，丙得n3件，?时，则无论n1，n2，?，nm等m个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有

nmn1n2N?Cp?Cp?n1...Cnm?p!.

n1!n2!...nm!159．“错位问题”及其推广

贝努利装错笺问题:信n封信与n个信封全部错位的组合数为

1111?????(?1)n]. 2!3!4!n!推广: n个元素与n个位置,其中至少有m个元素错位的不同组合总数为 f(n)?n![1234f(n,m)?n!?Cm(n?1)!?Cm(n?2)!?Cm(n?3)!?Cm(n?4)!???(?1)C(n?p)!???(?1)C(n?m)!ppmmmm

1234pmCmCmCmCmpCmmCm?n![1?1?2?2?4???(?1)???(?1)]. mAnAnAnAnAnpAn160．不定方程x1+x2+?+xn?m的解的个数

(1)方程x1+x2+?+xn?m（n,m?N）的正整数解有Cm?1个.

?(2) 方程x1+x2+?+xn?m（n,m?N）的非负整数解有 Cn?m?1个.

n?1?n?1?(3) 方程x1+x2+?+xn?m（n,m?N）满足条件xi?k(k?N,2?i?n?1)

?的非负整数解有Cm?1?(n?2)(k?1)个.

?(4) 方程x1+x2+?+xn?m（n,m?N）满足条件xi?k(k?N,2?i?n?1)

?n?1的正整数解有Cn?m?1?Cn?2Cm?n?k?2?Cn?2Cm?n?2k?3???(?1)161.二项式定理

n?11n?12n?1n?22n?1Cnn??Cm?1?(n?2)k个. 20n1n?12n?22rn?rrnn(a?b)n?Cna?Cnab?Cnab???Cnab???Cnb ;

二项展开式的通项公式

rn?rrTr?1?Cnab(r?0，1，2?，n).

162.等可能性事件的概率

P(A)?m. n163.互斥事件A，B分别发生的概率的和 P(A＋B)=P(A)＋P(B)．

164.n个互斥事件分别发生的概率的和

P(A1＋A2＋?＋An)=P(A1)＋P(A2)＋?＋P(An)． 165.独立事件A，B同时发生的概率

23

P(A·B)= P(A)·P(B).

166.n个独立事件同时发生的概率

P(A1· A2·?· An)=P(A1)· P(A2)·?· P(An)． 167.n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率

kkPn(k)?CnP(1?P)n?k.

168.离散型随机变量的分布列的两个性质 （1）Pi?0(i?1,2,?); （2）P1?P2???1. 169.数学期望

E??x1P1?x2P2???xnPn??

170.数学期望的性质

（1）E(a??b)?aE(?)?b. （2）若?～B(n,p),则E??np.

(3) 若?服从几何分布,且P(??k)?g(k,p)?q171.方差

k?1p，则E??21. pD???x1?E???p1??x2?E???p2????xn?E???pn??

172.标准差

22??=D?.

173.方差的性质

(1)D?a??b??aD?；

2(2）若?～B(n,p)，则D??np(1?p).

(3) 若?服从几何分布,且P(??k)?g(k,p)?qk?1p，则D??q. p2174.方差与期望的关系

D??E?2??E??.

175.正态分布密度函数

2f?x??1e2?6??x???2262,x????,???，式中的实数μ，?（?>0）是参数，分别表

示个体的平均数与标准差.

176.标准正态分布密度函数

x?1f?x??e2,x????,???.

2?62177.对于N(?,?)，取值小于x的概率

?x???F?x?????.

???P?x1?x0?x2??P?x?x2??P?x?x1?

2?F?x2??F?x1?

?x????x1??????2?????.

??????178.回归直线方程

24

n??xi?x??yi?y????b?i?1n??2y?a?bx，其中?xi?x????i?1??a?y?bx?xy?nxyiii?1nn?xi?12i?nx2.

179.相关系数

r???x?x??y?y?iii?1n?(x?x)?(y?y)2iii?1i?1nn ?2??x?x??y?y?iii?1n(?xi2?nx2)(?yi2?ny2)i?1i?1nn.

|r|≤1，且|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小. 180.特殊数列的极限

?0?n（1）limq??1n???不存在?|q|?1q?1|q|?1或q??1.

?0(k?t)?aknk?ak?1nk?1???a0?at（2）lim??(k?t).

n??bnt?bnt?1???btt?10?bk?不存在 (k?t)?（3）S?lima11?qn1?qx?x0?n????a11?q（S无穷等比数列

?aq? (|q|?1)的和）.

n?11181. 函数的极限定理

x?x0limf(x)?a?lim?f(x)?lim?f(x)?a.

x?x0182.函数的夹逼性定理

如果函数f(x)，g(x)，h(x)在点x0的附近满足： （1）g(x)?f(x)?h(x);

（2）limg(x)?a,limh(x)?a（常数）,

x?x0x?x0则limf(x)?a.

x?x0本定理对于单侧极限和x??的情况仍然成立. 183.几个常用极限

1； ?0，liman?0（|a|?1）

n??n??n11（2）limx?x0，lim?.

x?x0x?x0xx0（1）lim184.两个重要的极限

sinx?1；

x?0xx?1?（2）lim?1???e(e=2.718281845?).

x???x?（1）lim185.函数极限的四则运算法则

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