高考数学椭圆及其性质(4)

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(2)如图,设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4).

与 = 同向,且|AC|=|BD|,所以 ,从而x3-x1=x4-x2,即x1-x2=x3-x4,于是(x1+x2)2-4x1x2=(x3+x4)2-4x3x4.③ 因 ????????????????设直线l的斜率为k,则l的方程为y=kx+1. ??=????+1,2由 2得x-4kx-4=0. ??=4y而x1,x2是这个方程的两根, 所以x1+x2=4k,x1x2=-4.④

??=????+1,

得(9+8k2)x2+16kx-64=0. 由 ??2??2

+=1

89而x3,x4是这个方程的两根, 所以x3+x4=-16??

2,x3x4=-

64

9+8??

9+8??2.⑤

162??2

4×64

将④,⑤代入③,得16(k+1)=

2

(9+8??)

22+9+8??2, 即16(k+1)=

2

2

162×9(??2+1)(9+8??2)2,

6 6所以(9+8k)=1639,解得k=±,即直线l的斜率为±. 2

446.(2014陕西,20,13分)已知椭圆2+2=1(a>b>0)经过点(0, 3),离心率为,左,右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0). (1)求椭圆的方程;

(2)若直线l:y=-x+m与椭圆交于A,B两点,与以F1F2为直径的圆交于C,D两点,且满足

12

|????|5 3=,求直线|????|4

??2??2????

12l的方程.

??= 3,解析 (1)由题设知 ??=2,

??2=??2-??2,

解得a=2,b= 3,c=1, ∴椭圆的方程为+=1. (2)由(1)知,以F1F2为直径的圆的方程为x+y=1,

2

2

??1

??2??243

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