曲一线 让每一位学生分享高品质教育 答案 D
10.(2013辽宁,11,5分)已知椭圆C:2+2=1(a>b>0)的左焦点为F,C与过原点的直线相交于A、B两点,连接AF,BF.若|AB|=10,|BF|=8,cos∠ABF=,则C的离心率为( ) A.
35
45
??2??2????
B.
57
C.
45
D.
67
答案 B
11.(2013四川,9,5分)从椭圆2+2=1(a>b>0)上一点P向x轴作垂线,垂足恰为左焦点F1,A是椭圆与x轴正半轴的交点,B是椭圆与y轴正半轴的交点,且AB∥OP(O是坐标原点),则该椭圆的离心率是( ) A. 4
2??2??2????
B.
12
C. 2
2D. 2
3答案 C
12.(2014江西,14,5分)设椭圆C:2+2=1(a>b>0)的左,右焦点为F1,F2,过F2作x轴的垂线与C相交于A,B两点,F1B与y轴相交于点D,若AD⊥F1B,则椭圆C的离心率等于 . 答案
3??2??2????
3 ??2??2????
13.(2013福建,15,4分)椭圆Γ:2+2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2c.若直线y= 3(x+c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则该椭圆的离心率等于 . 答案 3-1 14.(2014广东,20,14分)已知椭圆C:2+2=1(a>b>0)的一个焦点为( 5,0),离心率为. 3??2??2????
5(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若动点P(x0,y0)为椭圆C外一点,且点P到椭圆C的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方程. 解析 (1)由题意得c= 5,∵e==,∴a=3, ∴b= ??2-??2=2,
∴椭圆C的标准方程为+=1.
(2)当过P点的两条切线的斜率均存在时,不妨设为k1、k2, 则过P点的切线方程可设为y-y0=k(x-x0)?y=kx+y0-kx0,
??=????+??0-k??0,
消去y,有(4+9k2)x2+18k(y0-kx0)x+9[(y0-kx0)2-4]=0, 由 ??2??2
+=1
9
4
??2??294
?? 5??3
Δ=[18k(y0-kx0)]-4(4+9k)39[(y0-kx0)-4]=0,
22
整理得(9-??0)k+2x0y0k-??0+4=0,
2
222
∴k1k2=
4-??209-??20
(x0≠±3),
曲一线 让每一位学生分享高品质教育 由已知得k1k2=-1, ∴
4-??209-??20
=-1,
2222∴??0+??0=13,即此时点P的轨迹方程为??0+??0=13.
当两条切线中有一条垂直于x轴时,此时两条切线方程应分别为x=3,y=2或x=-3,y=2或x=3,y=-2或x=-3,y=-2,P点坐标为(3,2)
22或(-3,2)或(3,-2)或(-3,-2),均满足方程??0+??0=13. 22综上所述,所求P点的轨迹方程为??0+??0=13.
考点三 直线与椭圆的位置关系
1.(2017北京,19,14分)已知椭圆C的两个顶点分别为A(-2,0),B(2,0),焦点在x轴上,离心率为.
2
3(1)求椭圆C的方程;
(2)点D为x轴上一点,过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M,N,过D作AM的垂线交BN于点E.求证:△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.
解析 (1)设椭圆C的方程为2+2=1(a>b>0). ??=2,由题意得 ?? 3
=,
??
2
??2??2????
解得c= 3. 所以b=a-c=1.
2
2
2
所以椭圆C的方程为+y=1.
2
??24
(2)证明:设M(m,n),则D(m,0),N(m,-n). 由题设知m≠±2,且n≠0. 直线AM的斜率kAM=
??
,故直线??+2
DE的斜率kDE=-
??+2
. ??
所以直线DE的方程为y=-直线BN的方程为y=
??=-??=
??+2
(x-m). ??
??
(x-2). 2-??
联立
??+2
(x-m),?? ??
(x-2),2-??
??(4-??2)
. 4-??2+??22
2
解得点E的纵坐标yE=-
由点M在椭圆C上,得4-m=4n. 所以yE=-n. 又S△BDE=|BD|2|yE|=|BD|2|n|,
12
25
45曲一线 让每一位学生分享高品质教育 S△BDN=|BD|2|n|,
所以△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.
2.(2016课标全国Ⅱ,21,12分)已知A是椭圆E:+=1的左顶点,斜率为k(k>0)的直线交E于A,M两点,点N在E上,MA⊥NA. (1)当|AM|=|AN|时,求△AMN的面积; (2)当2|AM|=|AN|时,证明: 3
2
12
??2??243
π4
??2??243127
解得y=0或y=,所以y1=. 因此△AMN的面积S△AMN=2333=1212712144
.(4749127
分)
??2??243(2)证明:将直线AM的方程y=k(x+2)(k>0)代入+=1得 (3+4k)x+16kx+16k-12=0. 由x12(-2)=
16??2-123+4??22
2
2
2
得x1=
2(3-4??2)3+4??2, 故|AM|=|x1+2| 1+??2=
12 1+??23+4??21??
. 由题设,直线AN的方程为y=-(x+2), 12?? 1+??23??2+42
2=故同理可得|AN|=由2|AM|=|AN|得
3
2
.(7分)
,即4k-6k+3k-8=0.(9分)
2
2
3
2
??
23+4??3??+4
设f(t)=4t-6t+3t-8,则k是f(t)的零点,f'(t)=12t-12t+3=3(2t-1)≥0,所以f(t)在(0,+∞)内单调递增. 又f( 3)=15 3-26<0,f(2)=6>0,因此f(t)在(0,+∞)内有唯一的零点,且零点k在( 3,2)内,所以 3 3.(2016四川,20,13分)已知椭圆E:2+2=1(a>b>0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点,点P 3, 在椭圆E上. (1)求椭圆E的方程; (2)设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点A,B,线段AB的中点为M,直线OM与椭圆E交于C,D,证明:|MA|2|MB|=|MC|2|MD|. 12 ??2??2???? 12 曲一线 让每一位学生分享高品质教育 解析 (1)由已知得,a=2b. 又椭圆2+2=1(a>b>0)过点P 3, , 故 3 2+2=1, ??2??2???? 1412 4???? 解得b=1. 2 所以椭圆E的方程是+y=1. 2 ??24 (2)证明:设直线l的方程为y=x+m(m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2), ??2 由方程组 4 12+??2=1, 1 x+m,2 ??= 得x2+2mx+2m2-2=0,① 方程①的判别式为Δ=4(2-m),由Δ>0,即2-m>0,解得- 2 2 由①得x1+x2=-2m,x1x2=2m-2. 2 所以M点坐标为 -??, ,直线OM的方程为y=-x, ??2 由方程组 4??212+??2=1, 得C - 2, 2 ,D 2,- 2 . 122 ??=-x, 2 5 5所以|MC|2|MD|=(-m+ 2)2( 2+m)=(2-m). 224 2 5 又|MA|2|MB|=|AB|=[(x1-x2)+(y1-y2)]=[(x1+x2)-4x1x2]=[4m-4(2m-2)]=(2-m), 2 2 2 2 2 2 2 141451651654 所以|MA|2|MB|=|MC|2|MD|. 4.(2015北京,20,14分)已知椭圆C:x+3y=3.过点D(1,0)且不过点E(2,1)的直线与椭圆C交于A,B两点,直线AE与直线x=3交于点M. (1)求椭圆C的离心率; (2)若AB垂直于x轴,求直线BM的斜率; (3)试判断直线BM与直线DE的位置关系,并说明理由. 解析 (1)椭圆C的标准方程为+y=1. 2 2 2 ??23 所以a= 3,b=1,c= 2. 所以椭圆C的离心率e==. (2)因为AB过点D(1,0)且垂直于x轴, 所以可设A(1,y1),B(1,-y1). 直线AE的方程为y-1=(1-y1)(x-2). 令x=3,得M(3,2-y1). ?? 6??3 曲一线 让每一位学生分享高品质教育 所以直线BM的斜率kBM= 2-??1+??13-1 =1. (3)直线BM与直线DE平行.证明如下: 当直线AB的斜率不存在时,由(2)可知kBM=1. 又因为直线DE的斜率kDE= 1-0 =1,所以2-1 BM∥DE. 当直线AB的斜率存在时,设其方程为y=k(x-1)(k≠1). 设A(x1,y1),B(x2,y2),则直线AE的方程为y-1=令x=3,得点M 3, ??1+??1-3??1-2 ??1-1??1-2 (x-2). . ??2+3??2=3,2222由 得(1+3k)x-6kx+3k-3=0. ??=??(??-1)所以x1+x2= 6??21+3??2,x1x2= 3??2-3 1+3??2. 直线BM的斜率kBM=因为kBM-1== ??1+??1-3 -??2 ??1-23-??2 . ??(??1-1)+??1-3-k(??2-1)(??1-2)-(3-??2)(??1-2) (3-??2)(??1-2) (??-1)[-??1??2+2(??1+??2)-3] (3-??2)(??1-2)(??-1) 2 -3??+312??2 2+2-3 1+3??1+3?? ==0, (3-??2)(??1-2) 所以kBM=1=kDE. 所以BM∥DE. 综上可知,直线BM与直线DE平行. 5.(2015湖南,20,13分)已知抛物线C1:x=4y的焦点F也是椭圆C2:2+2=1(a>b>0)的一个焦点,C1与C2的公共弦的长为2 6.过点 与 同向. F的直线l与C1相交于A,B两点,与C2相交于C,D两点,且 ????????(1)求C2的方程; (2)若|AC|=|BD|,求直线l的斜率. 解析 (1)由C1:x=4y知其焦点F的坐标为(0,1).因为F也是椭圆C2的一个焦点,所以a-b=1.① 2 2 2 2 ??2??2 ???? 又C1与C2的公共弦的长为2 6,C1与C2都关于y轴对称,且C1的方程为x=4y, 2 由此易知C1与C2的公共点的坐标为 ± 6, , 所以 96 +=1.② 4??2??22 2 32 联立①,②得a=9,b=8.故C2的方程为+=1. ??2??298 曲一线 让每一位学生分享高品质教育 (2)如图,设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4). 与 = 同向,且|AC|=|BD|,所以 ,从而x3-x1=x4-x2,即x1-x2=x3-x4,于是(x1+x2)2-4x1x2=(x3+x4)2-4x3x4.③ 因 ????????????????设直线l的斜率为k,则l的方程为y=kx+1. ??=????+1,2由 2得x-4kx-4=0. ??=4y而x1,x2是这个方程的两根, 所以x1+x2=4k,x1x2=-4.④ ??=????+1, 得(9+8k2)x2+16kx-64=0. 由 ??2??2 +=1 89而x3,x4是这个方程的两根, 所以x3+x4=-16?? 2,x3x4=- 64 9+8?? 9+8??2.⑤ 162??2 4×64 将④,⑤代入③,得16(k+1)= 2 (9+8??) 22+9+8??2, 即16(k+1)= 2 2 162×9(??2+1)(9+8??2)2, 6 6所以(9+8k)=1639,解得k=±,即直线l的斜率为±. 2 446.(2014陕西,20,13分)已知椭圆2+2=1(a>b>0)经过点(0, 3),离心率为,左,右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0). (1)求椭圆的方程; (2)若直线l:y=-x+m与椭圆交于A,B两点,与以F1F2为直径的圆交于C,D两点,且满足 12 |????|5 3=,求直线|????|4 ??2??2???? 12l的方程. ??= 3,解析 (1)由题设知 ??=2, ??2=??2-??2, 解得a=2,b= 3,c=1, ∴椭圆的方程为+=1. (2)由(1)知,以F1F2为直径的圆的方程为x+y=1, 2 2 ??1 ??2??243 百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库高考数学椭圆及其性质(3)在线全文阅读。
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