曲一线 让每一位学生分享高品质教育 (ii)若|PM|sin∠BQP=
7 5,求椭圆的方程. 9
?? 5??5
2
2
2
解析 (1)设F(-c,0).由已知离心率=及a=b+c,可得a= 5c,b=2c. 又因为B(0,b),F(-c,0), 故直线BF的斜率k=
??-02??
==2. 0-(-??)??(2)设点P(xP,yP),Q(xQ,yQ),M(xM,yM). (i)由(1)可得椭圆的方程为
5??. 3??2??2
+=1,直线5??24??2BF的方程为y=2x+2c.将直线方程与椭圆方程联立,消去y,整理得3x+5cx=0,解得xP=-
2
因为BQ⊥BP,所以直线BQ的方程为y=-x+2c,与椭圆方程联立,消去y,整理得21x-40cx=0,解得xQ=
2
1240??
. 21
又因为λ=
|????|
,及|????|
xM=0,可得λ=
|????-????||????|7
==. |????-????||????|8
(ii)由(i)有
157
|????|7|????|77
=,所以==, |????|8|????|+|????|7+815
即|PQ|=|PM|. 又因为|PM|sin∠BQP=
7 5, 9157
5 5. 3
所以|BP|=|PQ|sin∠BQP=|PM|sin∠BQP=又因为yP=2xP+2c=-c, 所以|BP|= 0+因此
5 55 5c=,得33
5??2 343
+ 2??+
4??25 5 =c, 33c=1.
??2??2
54所以,椭圆方程为+=1.
7.(2014天津,18,13分)设椭圆2+2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,右顶点为A,上顶点为B.已知|AB|=|F1F2|.
2??2??2????
3(1)求椭圆的离心率;
(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB为直径的圆经过点F1,经过原点O的直线l与该圆相切.求直线l的斜率. 解析 (1)设椭圆右焦点F2的坐标为(c,0).由|AB|=2|F1F2|,可得a+b=3c,又b=a-c,则2=. 2
2
2
2
2
2
32??21??2所以椭圆的离心率e=.
2 2(2)由(1)知a=2c,b=c.故椭圆方程为
2222
??2??2
+=1. 2??2??2 1 B =(c,c). 设P(x0,y0).由F1(-c,0),B(0,c),有 ??1P=(x0+c,y0), ??
曲一线 让每一位学生分享高品质教育
1 B =0,即(x0+c)c+y0c=0. 由已知,有 ??1P2 ??又c≠0,故有 x0+y0+c=0.① 又因为点P在椭圆上, 故
2
??20??0+=1.② 2??2??22
由①和②可得3??0+4cx0=0.而点P不是椭圆的顶点,
故x0=-c,代入①得y0=, 即点P的坐标为 -4????
, . 33
-3c+02
4
43??3
设圆的圆心为T(x1,y1),则x1=
+c22
=-c,y1=3=c,进而圆的半径323
??
5r= (??1-0)2+(??1-c)2=c.
3
设直线l的斜率为k,依题意,直线l的方程为y=kx.由l与圆相切,可得整理得k-8k+1=0,解得k=4± 15. 2
|????1-??1| ??2+1
=r,即 ?? -
2??2?? - 33 5 ??2+1
=c, 3
所以直线l的斜率为4+ 15或4- 15.
教师用书专用(8—10)
8.(2013广东,9,5分)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0),离心率等于,则C的方程是( )
??2??234??2??242??2??24 3??2??24312
A.+=1 C.+=1 答案 D
B.+=1 D.+=1 9.(2014四川,20,13分)已知椭圆C:2+2=1(a>b>0)的左焦点为F(-2,0),离心率为.
3??2??2????
6(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设O为坐标原点,T为直线x=-3上一点,过F作TF的垂线交椭圆于P,Q.当四边形OPTQ是平行四边形时,求四边形OPTQ的面积. 解析 (1)由已知可得,=,c=2,所以a= 6. 又由a=b+c,解得b= 2,所以椭圆C的标准方程是+=1. 2
2
2
?? 6??3??2??262
(2)设T点的坐标为(-3,m),则直线TF的斜率kTF=
1??
??-0
=-m. -3-(-2)
当m≠0时,直线PQ的斜率kPQ=,直线PQ的方程是x=my-2.当m=0时,直线PQ的方程是x=-2,也符合x=my-2的形式. 设P(x1,y1),Q(x2,y2),将直线PQ的方程与椭圆C的方程联 ??=????-2,
消去x,得(m2+3)y2-4my-2=0, 立,得 ??2??2
+=1,
6
2
曲一线 让每一位学生分享高品质教育 其判别式Δ=16m+8(m+3)>0,
2
2
所以y1+y2=
4??-2
,y1y2=2, ??2+3??+3-12
. ??2+3
x1+x2=m(y1+y2)-4=
因为四边形OPTQ是平行四边形, 所以 ????= ????,即(x1,y1)=(-3-x2,m-y2).
??1+??2=??1+??2=
-12
??2+34????2+3
所以
=-3,
解得m=±1. =m,
12
此时,S四边形OPTQ=2S△OPQ=232|OF|2|y1-y2| =2
10.(2014辽宁,20,12分)圆x+y=4的切线与x轴正半轴,y轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P(如图). (1)求点P的坐标;
(2)焦点在x轴上的椭圆C过点P,且与直线l:y=x+ 3交于A,B两点.若△PAB的面积为2,求C的标准方程.
2
2
4??2-2
-422=2 3. 2??+3??+3
解析 (1)设切点坐标为(x0,y0)(x0>0,y0>0),则切线斜率为-0,切线方程为y-y0=-0(x-x0),即x0x+y0y=4.此时,两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为S=22=的坐标为( 2, 2).
??2??2
的标准方程为2+2=1(a>b>0),点
????
??2
22
上知2+2=1,并由 ??2????
12
4??0
4822
,由??0+??0=4≥2x0y0知当且仅当??0??0??0
????0
????0
x0=y0= 2时x0y0有最大值,即S有最小值,因此点P
(2)设CA(x1,y1),B(x2,y2).由点P在C
+
??2??2=1,
??=??+ 3??1+??2=-2,
??222
得bx+4 3x+6-2b=0,又x1,x2是方程的根,因此 2
6-2??
??1??2=2,
??
4 3由y1=x1+ 3,y2=x2+ 3,得|AB|= 2|x1-x2|= 22
3 2 48-24??2+8??4
??
2.
2
2
2
2
2
由点P到直线l的距离为及S△PAB=3|AB|=2得b-9b+18=0,解得b=6或3,因此b=6,a=3(舍)或b=3,a=6,从而所求C的方
4
2
12
3 2程为+=1.
??2??263
曲一线 让每一位学生分享高品质教育
考点二 椭圆的几何性质
1.(2017浙江,2,5分)椭圆+=1的离心率是( ) A.
13??2??294
59
3
B. 3
5C.
23
D.
答案 B
2.(2017课标全国Ⅰ,12,5分)设A,B是椭圆C:+=1长轴的两个端点.若C上存在点M满足∠AMB=120°,则m的取值范围是( )
A.(0,1]∪[9,+∞) C.(0,1]∪[4,+∞) 答案 A
3.(2016课标全国Ⅰ,5,5分)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率为( ) A.
1314
??2??23??B.(0, 3]∪[9,+∞) D.(0, 3]∪[4,+∞)
B.
12C.
23D.
34答案 B
4.(2016课标全国Ⅲ,12,5分)已知O为坐标原点,F是椭圆C:2+2=1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的左,右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为( ) A.
13
??2??2????
B.
12
C.
23
D.
34
答案 A
5.(2015课标Ⅰ,5,5分)已知椭圆E的中心在坐标原点,离心率为,E的右焦点与抛物线C:y=8x的焦点重合,A,B是C的准线与E的两个交点,则|AB|=( ) A.3
B.6
C.9
D.12
122
答案 B
6.(2015浙江,15,4分)椭圆2+2=1(a>b>0)的右焦点F(c,0)关于直线y=x的对称点Q在椭圆上,则椭圆的离心率是 . 答案
2??2??2????
????
2 ??2??2????
57.(2015安徽,20,13分)设椭圆E的方程为2+2=1(a>b>0),点O为坐标原点,点A的坐标为(a,0),点B的坐标为(0,b),点M在线段AB上,满足|BM|=2|MA|,直线OM的斜率为. 10
(1)求E的离心率e;
(2)设点C的坐标为(0,-b),N为线段AC的中点.证明:MN⊥AB.
曲一线 让每一位学生分享高品质教育
解析 (1)由题设条件知,点M的坐标为 a,b , 又kOM=,从而=. 10
??2 5进而a= 5b,c= ??2-??2=2b.故e==. ??
5
????
= ??,5?? . (2)证明:由N是AC的中点知,点N的坐标为 ,- ,可得 ????
2
2
2
313
5?? 52??10
2
2
66
=(-a,b),从而有???? 2???? =-a+b=(5b-a). 又????
2
2
22
=0,故MN⊥AB. 由(1)的计算结果可知a=5b,所以 ????2 ????
1
65616
8.(2014课标Ⅱ,20,12分)设F1,F2分别是椭圆C:2+2=1(a>b>0)的左,右焦点,M是C上一点且MF2与x轴垂直.直线MF1与C的另一个交点为N.
(1)若直线MN的斜率为,求C的离心率;
(2)若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|=5|F1N|,求a,b. 解析 (1)根据c= ??2-??2及题设知M ??, ,2b=3ac.
2
??2??2????
34
??2??
将b=a-c代入2b=3ac,解得=或=-2(舍去).
2
2
2
2
??1??2????
故C的离心率为.
??2??2
12
(2)由题意,知原点O为F1F2的中点,MF2∥y轴,所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点,故=4,即b=4a,① 由|MN|=5|F1N|得|DF1|=2|F1N|. 设N(x1,y1),由题意知y1<0,则 2(-??-??1)=c,??1=-2c, 即 -2??1=2,??1=-1.代入C的方程,得
9??21
+=1.② 4??2??29(??2-4a)1
+=1. 4??24??3
将①及c= ??2-??2代入②得
2
解得a=7,b=4a=28.故a=7,b=2 7.
教师用书专用(9—14)
9.(2013课标全国Ⅱ,5,5分)设椭圆C:2+2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是C上的点,PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,则C的离心率为( ) A. 6
3??2??2
????
B.
13
C.
12
D. 3
3
百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库高考数学椭圆及其性质(2)在线全文阅读。
相关推荐：