上海市嘉定区2014届高三上学期期末质量调研(一模)数学(理)试卷(2)

所以，函数f(x)的单调递增区间是?k??（2）由已知，f(A)?2sin?2A???5???． ?????（1分） ,k???（k?Z）

1212???1???1，所以sin?2A???， ?????（1分） 3?3?2????4??5??因为0?A?，所以?2A??，所以2A??，从而A?． ?（2分）

2333364又AB?AC?|AB|?|AC|?cosA?2，，所以，|AB|?|AC|?2， ??????（1分）

??所以，△ABC的面积S???1122． ????（2分） ?|AB|?|AC|?sinA??2??2222

21．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） （1） 因为C的焦点在x轴上且长轴为4，

x2y2故可设椭圆C的方程为， ???????????（1分） ?2?1（a?b?0）

4b?3??在椭圆C上，所以1?3?1， ??????????（2分） 因为点?1,?2?44b2??2解得b?1， ????（1分）

x2?y2?1． ?????????????（2分） 所以，椭圆C的方程为4x?m（2）设P(m,0)（?2?m?2），由已知，直线l的方程是y?， ??（1分）

21?y?(x?m),??2由?2? 2x2?2mx?m2?4?0 （*） ?????????（2分） ?x?y2?1,??4设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1、x2是方程（*）的两个根，

m2?4所以有，x2?x2?m,x1x2?， ??????????????（1分）

2222222所以，|PA|?|PB|?(x1?m)?y1?(x2?m)?y2

115?(x1?m)2?(x1?m)2?(x2?m)2?(x2?m)2?[(x1?m)2?(x2?m)2]

444552?[x12?x2?2m(x1?x2)?2m2]?[(x1?x2)2?2m(x1?x2)?2x1x2?2m2] 445． ????????????（3分） ?[m2?2m2?(m2?4)?2m2]?5（定值）

422所以，|PA|?|PB|为定值． ????????????????????（1分）

（写到倒数第2行，最后1分可不扣） 22．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）

·6·

（1）设P(x,y)，则y?x?2222m?2， x2m??|PQ|?x?(y?2)?x??x?? ????????????????（1分）

x??m2?2x?2?2m?22|m|?2m?2， ??????????????（1分）

x2当m?0时，解得m?所以，m?2?1；当m?0时，解得m??2?1． ????（1分）

2?1或m??2?1． ????????????????（1分）

（只得到一个解，本小题得3分）

（2）由题意，任取x1、x2?[2,??)，且x1?x2，

??x1x2?mmm??2??x1??2??(x?x)?则f(x2)?f(x1)?x2??0，??（2分） 21?x2xxx1??12因为x2?x1?0，x1x2?0，所以x1x2?m?0，即m?x1x2， ??????（2分） 由x2?x1?2，得x1x2?4，所以m?4．

所以，m的取值范围是(??,4]． ??????????????????（2分） （3）由f(x)?kx，得x?m?2?kx， xm2因为x??,1?，所以k?2??1， ????????????????（2分）

xx?2?令t??1?122，则t?[1,2]，所以k?mt?2t?1，令g(t)?mt?2t?1，t?[1，2]， x?1???于是，要使原不等式在x??,1?有解，当且仅当k?g(t)min（t?[1，．??（1分） 2]）

21?11?因为m?0，所以g(t)?m?t???1?图像开口向下，对称轴为直线t???0，

mm?m?因为t?[1,2]，故当0??当?2132?，即m??时，g(t)min?g(2)?4m?5；?（4分） m23132?，即??m?0时，g(t)min?g(1)?m?3． ????????（5分） m23·7·

综上，当m??当?2时，k?[4m?5,??)； 32?m?0时，k?[m?3,??)． ?????????????（6分） 3 23．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） （1）因为Sn?1?t?Sn?a ① 当n?2时，Sn?t?Sn?1?a ②，

①—②得，an?1?t?an（n?2）， ??????????????????（2分） 又由S2?t?S1?a，得a2?t?a1， ??????????????????（1分） 所以，{an}是首项为a，公比为t的等比数列，所以an?a?tn?1（n?N）．??（1分）

*（2）当t?1时，an?a，Sn?na，bn?na?1， ???????????（1分） 由|bn|?|b3|，得|na?1|?|3a?1|，(n?3)a[(n?3)a?2]?0 （*） ????（1分） 当a?0时，n?3时，（*）不成立； 当a?0时，（*）等价于(n?3)[(n?3)a?2]?0 （**） （**）成立． n?3时，

22恒成立，所以a??． n?3712n?1时，有4a?2?0，a??．n?2时，有5a?2?0，a??． ???（3分）

252??2综上，a的取值范围是??,??． ??????????????????（1分）

7??5n?4时，有(n?3)a?2?0，即a??a(1?tn)a(1?tn)aatn?1?1??（3）当t?1时，Sn?，bn?， ???（1分）

1?t1?t1?t1?tanat(1?tn)atn?11?a?tk(1?t)2?atcn?k?n?????n?， ???（2分）

1?t1?t(1?t)2(1?t)2(1?t)2?1?a?t?0,?a?t?1,?1?t??所以，当?时，数列{cn}是等比数列，所以?t ???（2分） 2k(1?t)?atk?,???0t?1?2??(1?t)又因为a，t，k成等差数列，所以2t?a?k，即2t?t?1?t， t?1解得t?5?1． ?????????????????????????（1分） 2·8·

从而，a?5?1，k?25?3． ??????????????????（1分） 25?3时，数列{cn}为等比数列．??（1分） 2所以，当a?5?15?1，t?，k?22·9·

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