考点13、平面向量的数量积(3)

【解析】选B.设a与b的夹角为θ，则有|a|cosθ=且|b|＜14,结合图形可知选B.

52，θ=45°，因为b在x轴上的投影为2, 23.（2007年湖南高考）设a，b是非零向量，若函数f(x)?(xa?b)?(a?xb)的图象是一条直线， 则必有（ ） A．a⊥b

B．a∥b

C．|a|?|b|

D．|a|?|b|

【解析】选A.f(x)?(xa?b)?(a?xb)??a?bx2?(|a|2?|b|2)x?a?b,

b=0?a⊥b. 若函数f(x)的图象是一条直线，即其二次项系数为0， ?a?4.（2007年福建高考）对于向量，a 、b、c和实数，下列命题中真命题是（ ）

A 若C 若＝

，则a＝0或b＝0 B 若，则a＝b或a＝－b D 若

，则λ＝0或a＝0

，则b＝c

【解析】选B.a⊥b时也有a·b＝0，故A不正确；同理C不正确；由a·b=a·c得不到b=c，如a为零向量或a与b、c垂直时，选B.

??5.（2007年上海高考）在直角坐标系xOy中，若直角三角形ABCi,j分别是与x轴，y轴平行的单位向量，????????????中，AB?2i?j，AC?3i?kj，则k的可能值有（ ）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

??????????????????【解析】选B.方法一：BC?BA?AC??2i?j?3i?kj?i?(k?1)j

（1） 若A为直角，则AB?AC?(2i?j)(3i?kj)?6?k?0?k??6；

????????????????????????（2） 若B为直角，则AB?BC?(2i?j)[i?(k?1)j]?1?k?0?k??1； ????????????（3） 若C为直角，则AC?BC?(3i?kj)[i?(k?1)j]?k2?k?3?0?k??.

所以 k 的可能值个数是2，选B

方法二：数形结合．如图，将A放在坐标原点，则B点坐标为(2,1)，C点坐标为(3,k)，

所以C点在直线x=3上，由图知，只可能A、B为直角，C不可能为直角．所以 k 的可能值个数是2， 选B.

??????????6.（2007年广东高考）若向量a,b满足|a|?|b|?1，a,b的夹角为60°，则a?a?a?b=______； ????13【解析】a?a?a?b?1?1?1??.

22

11

3答案：.

27.（2007年北京高考）已知向量a=?2，，4?b=?11，?．若向量b?(a+?b)， 则实数?的值是

．

???????【解析】已知向量a=?2，，4?b=?11，?．向量a??b?(2??,4??)，b?(a+?b)，则2+λ+4+λ=0，

实数?=－3． 答案：-3

????????8.（2007年上海高考）若向量a，b的夹角为60，a?b?1，则a?a?b? ．

??????2???2??11【解析】a?a?b?a?a?b?a?a?bcos60??1??.

22??答案：

1 2B

D A

9.（2007年天津高考） 如图，在?ABC中，?BAC?120?,AB?2,AC?1,D是边

????????BC上一点，DC?2BD,则AD?BC?__________.

C

AB2?AC2?BC2【解析】方法一：由余弦定理得cos?BAC?得BC?7 2?AB?ACAB2?BC2?AC2AB2?BD2?AD213cosB??得,AD?，

2?AB?BC2?AB?BD3????????BD2?AD2?AB23298?????又AD,BC夹角大小为?ADB，cos?ADB?，

2?BD?AD9413?791????????AD?BC?cos?ADB??所以AD?BC?3.

8A????????????法二：根据向量的加减法法则有:BC?AC?AB

????????????????1????????1????2????AD?AB?BD?AB?(AC?AB)?AC?AB,此时

333????????1????2????????????1????21????????2????2AD·BC?(AC?AB)(AC?AB)?AC?AC·AB?AB

333331818?????. 33338答案：?

3BDC10.（2007年江西高考）在平面直角坐标系中，正方形OABC的对角线OB的两端点

????????分别为O(0，0)，B(11)，，则AB?AC? ???????? ．

【解析】AB?AC?(0,1)?(?1,1)?0?(?1)?1?1?1. 答案：1

12

11.（2007年广东高考）已知ΔABC三个顶点的直角坐标分别为A(3，4)、B(0，0)、C(c，0)．

(1)若???AB?????AC??0，求c的值；

(2)若c?5，求sin∠A的值

【解析】(1)???AB??(?3,?4)，???AC??(c?3,?4)

由?A?B???A?C?????3(c?3)?16?25?c3?得c?253 (2)???AB??(?3,?4)，???AC??(2,?4)

??? cos?A????A?B????A?C?6?16A?B????A?C?520?15 sin?A?1?cos2?A?255. 12.（2007年山东高考）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，tanC?37． （1）求cosC；

（2）若

???CB?????CA??52，且a?b?9，求c． 【解析】（1）?tanC?37，?sinCcosC?37 又?sin2C?cos2C?1 解得cosC??18．

?tanC?0，?C是锐角． ?cosC?18．

（2）????CB?????CA??52， ?abcosC?52， ?ab?20．

又?a?b?9

?a2?2ab?b2?81． ?a2?b2?41．

?c2?a2?b2?2abcosC?36． ?c?6．

13

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