考点13、平面向量的数量积

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【考点13】平面向量的数量积

2009年考题

????????????????????????1. （2009海南宁夏高考）已知O，N，P在?ABC所在平面内，且OA?OB?OC,NA?NB?NC?0，

????????????????????????且PA?PB?PB?PC?PC?PA，则点O，N，P依次是?ABC的（ ）

（A）重心 外心 垂心 （B）重心 外心 内心 （C）外心 重心 垂心 （D）外心 重心 内心 （注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）

????????????????????????【解析】选C.由OA?OB?OC知,O为?ABC的外心；由NA?NB?NC?0知，O为?ABC的重心;

?????????????????????????????????????????????PA?PB?PB?PC，?PA?PC?PB?0，?CA?PB?0,?CA?PB,??

同理，AP?BC,?P为?ABC的垂心，选C.2. （2009海南宁夏高考）已知a???3,2?,b???1,0?，向量?a?b与a?2b垂直，则实数?的值为（ ） （A）?1111 （B） （C）? （D） 77661. 7【解析】选A.向量?a?b＝（－3?－1，2?），a?2b＝（－1,2），因为两个向量垂直， 故有（－3?－1，2?）×（－1,2）＝0，即3?＋1＋4?＝0，解得：?＝?3.（2009福建高考）设a，b，c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a与b不共线，a?c, ∣a∣=∣c∣,则∣b ? c∣的值一定等于w.w.w.k. （ ）s.5

A．以a，b为两边的三角形面积 B. 以b，c为两边的三角形面积 C．以a，b为邻边的平行四边形的面积 D. 以b，c为邻边的平行四边形的面积

??????????【解析】选C.依题意可得b?c?b?c?cos(b,c)?b?a?sin(a,c)=S平行四边形.故选C.

4.（2009浙江高考）设向量a，b满足：|a|?3，|b|?4，a?b?0．以a，b，a?b的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为 ( ) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m A．3 B．4 C．5 D．6

【解析】选B.对于半径为1的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆，此时只有三个交点，对于圆的位置稍一右移或其他的变化，能实现4个交点的情况，但5个以上的交点不能实现．

5.（2009浙江高考）已知向量a?(1,2)，b?(2,?3),若向量c满足(c?a)//b，c?(a?b)，则c? （ ）

1

777777,?) C．(,) D．(?,?) 393993?????????【解析】选D．不妨设C?(m,n)，则a?c??1?m,2?n?,a?b?(3,?1)，对于c?a//b，则有

A．(,) B．(?7793?????77?3(1?m)?2(2?n)；又c?a?b，则有3m?n?0，则有m??,n??.

93??6. （2009辽宁高考）平面向量a与b的夹角为600，a?(2,0)，b?1 则a?2b?（ ） （A）3 (B) 23 (C) 4 (D)12 【解析】选B.由已知|a|＝2,|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2＝4＋4×2×1×cos60°＋4＝12 ∴a?2b?23. b＝0，则?a?c???b?c?的最小值为 ( ) 7. （2009全国Ⅰ）设a、b、c是单位向量，且a·

（A）?2 （B）2?2 （C）?1 (D)1?2 【解析】选D.?a,b,c是单位向量?a?c?b?c?a?b?(a?b)?c?c

???????????????????2???????1?|a?b|?|c|?1?2cos?a?b,c??1?2. 8. （2009全国Ⅰ）设非零向量a、b、c满足|a|?|b|?|c|,a?b?c，则?a,b??（ ）

（A）150° (B）120° （C）60° （D）30°

【解析】选B.由向量加法的平行四边形法则，知a、b可构成菱形的两条相邻边，且a、b为起点处的对角线长等于菱形的边长.

9. （2009全国Ⅱ）已知向量a??2,1?,a?b?10,|a?b|?52，则|b|? （ ）.w.

A.

5

B.

10 C.5 D. 25

??2?2???2?2?【解析】选C.?50?|a?b|?|a|?2a?b?|b|?5?20?|b|?|b|?5.

10. （2009重庆高考）已知a?1,b?6,a?(b?a)?2，则向量a与向量b的夹角是（ ） A．

? 6 B．

? 4

2 C．

? 3

2 D．

? w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2【解析】选C.因为由条件得a?b?a?2,所以a?b?2?a?3?a?bcos??1?6?cos?,

1?所以cos??，所以??.

23????????o11.（2009安徽高考）给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为120.

????如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上变动.

2

????????????若OC?xOA?yOB,其中x,y?R,则x?y的最大值是________.

【解析】设?AOC??

1?????????????????????????cos??x?y????OC?OA?xOA?OA?yOB?OA,2 ????????????????，即??????????1??cos(1200??)??x?y?OC?OB?xOA?OB?yOB?OB,??20∴x?y?2[cos??cos(120??)]?cos??3sin??2sin(???6)?2

答案：2.

1?2?12.（2009天津高考）若等边?ABC的边长为23，平面内一点M满足CM?CB?CA,则

63?MA?MB?________.

【解析】合理建立直角坐标系，因为三角形是正三角形，故设C(0,0),A(23,0),B(3,3)

?33131?35这样利用向量关系式，求得M(,)，然后求得MA?(,?),MB?(?,?)，运用数量积公

222222??式解得为-2. 答案：-2

??????o13.（2009江苏高考）已知向量a和向量b的夹角为30，|a|?2,|b|?3，则向量a和向量b的

??数量积a?b= _____. 【解析】考查数量积的运算.

??3a?b?2?3??3 2.

答案：3

??????14.（2009江西高考）已知向量a?(3,1)，b?(1,3)，c?(k,7)，若(a?c)∥b，则k= ．

【解析】答案：5

3?k?6??k?5. 13??????15.（2009江西高考）已知向量a?(3,1)，b?(1,3)， c?(k,2)，若(a?c)?b 则k= ．

??【解析】因为a?c?(3?k,?1),所以k?0.

答案：0

?16.（2009上海高考）已知a?3,?????b?2. 若a?b??3，则a与b夹角的大小为 .

3

【解析】?cos?a,b?a?b?312?|a|?|b|?3?2??2,??a,b??3.

答案：

23? 17. （2009广东高考）已知向量a?(sin?,?2)与b?(1,cos?)互相垂直，其中??(0,?2)．

（1）求sin?和cos?的值； （2）若sin(???)?1010,0????2，求cos?的值．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【解析】（1）∵a与b互相垂直，则a?b?sin??2cos??0，即sin??2cos?， 代入sin2??cos2??1得sin???255,cos???55， 又??(0,?52)，∴sin??25,cos??55. （2）∵0????2，0????2，

∴??2??????2，则cos(???)?1?sin2(???)?31010， ∴cos??cos[??(???)]?cos?cos(???)?sin?sin(???)?22. 18.（2009广东高考）已知向量a?(sin?,?2)与b?(1,cos?)互相垂直，其中??(0,?2)

（1）求sin?和cos?的值

（2）若5cos(???)?35cos?，0????2,求cos?的值 【解析】（１）Qav?bv,?avgbv?sin??2cos??0,即sin??2cos? 又∵sin2??cos2??1, ∴4cos2??cos2??1,即cos2??145,∴sin2??5 又 ??(0,?2)?sin??255,cos??55 (2) ∵5cos(???)?5(cos?cos??sin?sin?)?5cos??25sin??35cos? ?cos??sin? ,?cos2??sin2??1?cos2? ,即cos2??12

又 0????2 , ∴cos??22

4

??19. （2009海南宁夏高考）已知向量a?(sin?,cos??2sin?),b?(1,2).

（Ⅰ）若?a//?b，求tan?的值；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

（Ⅱ）若|?a|?|?b|,0????,求?的值.

【解析】（Ⅰ） 因为?a//?b，所以2sin??cos??2sin?,于是4sin??cos?，故tan??14.

（Ⅱ）由|?a|?|?b|知，sin2??(cos??2sin?)2?5,所以1?2sin2??4sin2??5.

从而?2sin2??2(1?cos2?)?4，即sin2??cos2???1，

于是sin(2???24)????92.又由0????知，?4?2??4?4，

所以2????5?44，或2???4?7?.因此???，或??3?. 20.（2009江苏高考）设向量?4a?(4cos?,sin?),?2b?(sin?,4cos?),?4c?(cos?,?4sin?)

（1）若?a与?b?2?

c垂直，求tan(???)的值；

（2）求|?b??c|的最大值;

（3）若tan?tan??16，求证：?a∥?b

【解析】(1)由a与b?2c垂直，a?(b?2c)?a?b?2a?c?0， 即4sin(???)?8cos(???)?0，tan(???)?2；

(2)b?c?(sin??cos?,4cos??4sin?)

|b?c|2?sin2??2sin?cos??cos2??16cos2??32cos?sin??16sin2? ?17?30sin?cos??17?15sin2?，最大值为32，

所以|b?c|的最大值为42. (3)由tan?tan??16得sin?sin??16cos?cos?， 即4cos??4cos??sin?sin??0，所以a∥b.

21.（2009湖北高考）已知向量a?(cosa,sina),b?(cos?,sin?),c?(?1,0)

（Ⅰ）求向量b?c的长度的最大值； （Ⅱ）设a??4，且a?(b?c)，求cos?的值.

【解析】（1）方法1：b?c=(cos??1,sin?),则|b?c|2?(cos??1)2?sin2??2(1?cos?).??1?cos??1,?0?|b?c|2?4，即0?|b?c|?2. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

当cos???1时，有|b?c|?2,所以向量b?c的长度的最大值为2.

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