考点13、平面向量的数量积(2)

方法2：?|b|=1，|c|?1，|b?c|?|b|+|c|?2

当cos???1时，有b?c=(?2,0)，即|b?c|=2，b?c的长度的最大值为2. （2）方法1：由已知可得b?c=(cos??1,sin?),

a?(b?c)?cos?cos??sin?sin??cos??cos(???)?cos?. ?a⊥(b+c)，?a?(b?c)?0，即cos(???)?cos?.

由????4，得cos(?4??)?cos?4，即??4?2k???4(k?z).

???2k???4或??2k?(k?z),于是cos??0或cos??1.

方法2：若???4，则a?(22,22)，又由b?(cos?,sin?)，c?(?1,0)得 a?(b?c)?(22,22)?(cos??1,sin?)?22cos??22sin??22 ?a⊥(b+c)，?a?(b?c)?0，即

22cos??222sin??2?0 ?sin??1?cos?，平方后化简得cos?(cos??1)?0 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解得cos??0或cos??1，经检验，cos??0或cos??1即为所求.

22.（2009湖南高考）已知向量?a?(sin?,cos??2sin?),?b?(1,2).

（Ⅰ）若?a//?b，求tan?的值；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （Ⅱ）若|?a|?|?b|,0????,求?的值.

【解析】（Ⅰ） 因为?a//?b，所以2sin??cos??2sin?,

于是4sin??cos?，故tan??14. （Ⅱ）由|?a|?|?b|知，sin2??(cos??2sin?)2?5,所以1?2sin2??4sin2??5.从而?2sin2??2(1?cos2?)?4，即sin2??cos2???1，

于是sin(2???24)??2.又由0????知，??9?4?2??4?4，

所以2???5??7??3?4?4，或2??4?4.因此??2，或??4. 2008年考题

6

?????1、（2008海南宁夏高考）已知平面向量a=（1，－3），b=（4，－2），?a?b与a垂直，则?是（ ）

A. －1 B. 1

C. －2

D. 2

??????【解析】选A. ?a?b????4,?3??2?,a??1,?3?,∴?a?b?a????4??3??3??2??0，

即10??10?0????1，选Ａ.

????????2、（2008浙江高考）已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a?c)?(b?c)?0,则|c|的最大值是( )

（A）1 （B）2 （C）2 （D）2

2????【解析】选C.?|a|?|b|?1,a?b?0,

B?????2??????展开(a?c)?(b?c)?0?|c|?c?(a?b)?|c|?|a?b|cos?,

AP???????|c|?|a?b|cos??2cos?,则|c|的最大值是2;选C或者利用数形结合,a，b对应的点A,B在圆?x2?y2?1上,c对应的点C在圆x2?y2?2上即可.

??????3、（2008湖北高考）设a?(1,?2)，b?(?3,4)，c?(3,2),则(a?2b)?c?（ ）

A.(?15,12) B.0 C.?3 D.?11

?????【解析】选C.a?2b?(1,?2)?2(?3,4)?(?5,6)，(a?2b)?c?(?5,6)?(3,2)??3，选C.

?11)，，b?(4，1，0)，?a?b?4、（2008海南、宁夏高考）已知向量a?(0，则?? ． 29且??0，

22【解析】由题意?a?b=(4,1??,?)?16?(??1)???29(??0)???3

答案：3

??????05、（2008江苏高考）a,b的夹角为120，a?1,b?3，则5a?b? 。

??2??2?2?2??13??【解析】因为a?b?1?3?(?)?? ，所以5a?b?(5a?b)?25a?b?10a?b=49。

22??因此5a?b?7。

答案：7

6、（2008北京高考）已知向量a与b的夹角为120?，且a?b?4，那么a?b的值为___________． 【解析】a?b?a bcos??4?4?(?1)??8

2答案：－8

????7、（2008湖南高考）已知向量a?(1,3)，b?(?2,0)，则|a?b|=_____________________.

7

????【解析】?a?b?(?1,3),?|a?b|?1?3?2. 答案：２

8、（2008江西高考）直角坐标平面上三点A(1,2)、B(3,?2)、C(9,7)，若E、F为线段BC的三等分点，则???AE?????AF?= ．

【解析】由已知得E(5,1),F(7,4),则???AE?????AF??(4,?1)?(6,2)?22 答案：22

9、（2008江西高考）如图，正六边形ABCDEF中，有下列四个命题： A．???AC?????AF??2???BC?

E D B．???AD??2???AB??2???AF? F

C C．???AC?????AD?????AD?????AB?

A

D．(???AD?????AF?)???EF?B

????AD?(???AF?????EF?)

其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）． 【解析】???AC?????AF?????AC?????CD?????AD??2???BC?, ∴A对 取AD的中点O,则???AD??2???AO??2???AB?????AF?, ∴B对

设|???AB?|?1,

则???AC?????AD??3?2?cos?6?3,而???AD?????AF??2?1?cos?3?1,∴C错

又???AB?????AD??1?2?cos?3?1?(???AF?)2,∴D对

∴真命题的代号是A,B,D 答案：A,B,D

10、（2008全国Ⅱ）设向量a?(1，，2)b?(2，3)，若向量?a?b与向量c?(?4，?7)共线，则?? ．【解析】?a?b＝(??2,2??3)则向量?a?b与向量c?(?4，?7)共线???22??3??4?7???2 答案：2

11、（2008陕西高考）关于平面向量a,b,c．有下列三个命题：

①若a?b=a?c，则b?c．②若a?(1，k)，b?(?2，6)，a∥b，则k??3． ③非零向量a和b满足|a|?|b|?|a?b|，则a与a?b的夹角为60?． 其中真命题的序号为 ．（写出所有真命题的序号） 【解析】①a?b?a?c?a?(b?c)?0，向量a与b?c垂直

8

②a∥b?b??a?1?k?k??3

?26③|a|?|b|?|a?b|?a,b,a?b构成等边三角形，a与a?b的夹角应为30? 所以真命题只有②。 答案：②

????????12、（2008上海高考）若向量a，b满足|a|?1,||b?2且a与b的夹角为?，则|a?b|? ．

3????????????【解析】方法一：|a?b|2?(a?b)?(a?b)?a?a?b?b?2a?b ?2?2??????|a|?|b|?2|a||b|cos?7?|a?b|?7 3a

a?ba b

方法二：由向量加法的几何意义知（如图） ????????|a?b|2?|a|2?|b|2?2|a||b|cos2??7?|a?b|?7 3答案：7 ????????13、（2008天津高考）如图，在平行四边形ABCD中，AC?(1,2),BD?(?3,2)， ????????则AD?AC? .

D C ???????????????a?b??(1,2)?a?(2,0),b?(?1,2) 【解析】令AB?a，AD?b，则????a?b?(?3,2)???????????所以AD?AC?b?(a?b)?3.

A B 答案：3

??????14、（2008浙江高考）已知a是平面内的单位向量，若向量b满足b?(a?b)?0，则|b|的取值范围是 .

????????2???2???【解析】依题b?(a?b)?0，即b?a?|b|?0，∴|a|?|b|cos??|b|且??[0,].，又a为单位向量，∴|a|?1，

2??∴|b|?cos?,??[0,?].∴|b|?[0,1].

2答案：[0,1]

15、（2008北京高考）已知向量a与b的夹角为120°，且｜a｜=|b|=4,那么b·（2a+b）的值为 。 【解析】利用数形结合知，向量a与2a+b垂直。 答案：0

16、（2008福建高考）已知向量m=(sinA,cosA),n=(3,?1)，m·n＝1，且A为锐角.

（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）求函数f(x)?cos2x?4cosAsinx(x?R)的值域.

9

【解析】（Ⅰ）由题意得m?n?3sinA?cosA?1,2sin(A?)?1,sin(A?)?由A为锐角得A??6?61. 2????,A?. 66311232（Ⅱ）由（Ⅰ）知cosA?,所以f(x)?cos2x?2sinx?1?2sinx?2sinx??2(sinx?)?.

22213因为x∈R，所以sinx???1,1?，因此，当sinx?时，f(x)有最大值.

22当sinx=-1时，f(x)有最小值-3，所以所求函数f(x)的值域是??3,?.

2??3??17、（2008福建高考）已知向量m?(sinA,cosA),n?(1,?2),且m?n?0. (Ⅰ)求tanA的值；

(Ⅱ)求函数f(x)?cos2x?tanAsinx(x?R)的值域.

【解析】（Ⅰ）由题意得m·n=sinA-2cosA=0,因为cosA≠0,所以tanA=2. （Ⅱ）由（Ⅰ）知tanA=2得

????13f(x)?cos2x?2sinx?1?2sin2x?2sinx??2(sinx?)2?.

2213因为x?R,所以sinx???1,1?.当sinx?时，f(x)有最大值，

22当sinx=-1时，f(x)有最小值-3，所以所求函数f(x)的值域是??3,?.

2??3??

2007年考题

1.（2007年山东高考）在直角?ABC中，CD是斜边AB上的高，则下列等式不成立的是（ ）

????2????????????2????????（A）AC?AC?AB （B） BC?BA?BC

????????????????????2????????????2(AC?AB)?(BA?BC)（C）AB?AC?CD （D） CD? ????2AB????2????????????????????????????【解析】选C. AC?AC?AB?AC?(AC?AB)?0?AC?BC?0，A是正确的，同理B也正确， ????2????2????2????2对于D答案可变形为CD?AB?AC?BC，通过等积变换判断为正确.

2.（2007年湖北高考）设a=(4,3),a在b上的投影为A.(2,14)

B.(2,-

52,b在x轴上的投影为2,且|b|＜14,则b为（ ） 22) 7D.(2,8)

2) 7 C.(-2,

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