2016-2017学年人教版九年级数学上册《圆》期中复习试卷含答案(3)

∴∠ADC=180°﹣∠ABC=50°， ∴∠AOC=2∠ADC=100°． ∵OA=OC， ∴∠OAC=∠OCA，

∴∠OAC=（180°﹣∠AOC）=40°．

【点评】本题主要考查圆内接四边形的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质及三角形内角和定理，关键在于求出∠AOC的度数．

12．（2014秋?陇西县期末）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，CD⊥AB于点E，点G在直径DF的延长线上，∠D=∠G=30． （1）求证：CG是⊙O的切线； （2）若CD=6，求GF的长．

【考点】切线的判定．

【分析】（1）连接OC，根据三角形内角和定理可得∠DCG=180°﹣∠D﹣∠G=120°，再计算出∠GCO的度数可得OC⊥CG，进而得到CG是⊙O的切线；

（2）设EO=x，则CO=2x，再利用勾股定理计算出EO的长，进而得到CO的长，然后再计算出FG的长即可．

【解答】（1）证明：连接OC． ∵OC=OD，∠D=30°， ∴∠OCD=∠D=30°． ∵∠G=30°，

∴∠DCG=180°﹣∠D﹣∠G=120°． ∴∠GCO=∠DCG﹣∠OCD=90°．

∴OC⊥CG．

又∵OC是⊙O的半径． ∴CG是⊙O的切线．

（2）解：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB， ∴CE=CD=3．

∵在Rt△OCE中，∠CEO=90°，∠OCE=30°， ∴EO=CO，CO2=EO2+CE2． 设EO=x，则CO=2x． ∴（2x）2=x2+32． 解得x=∴CO=2∴FO=2

（舍负值）． ． ．

在△OCG中，∵∠OCG=90°，∠G=30°， ∴GO=2CO=4

．

．

∴GF=GO﹣FO=2

【点评】此题主要考查了切线的判定，关键是掌握切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

13．（2015秋?海淀区期中）已知：如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点．求证：OP垂直平分线段AB．

【考点】切线的性质．

【分析】由PA与PB为圆的两条切线，根据切线长定理得到PA=PB，且PO平分两切线的夹角，进而得到三角形PAB为等腰三角形，根据三线合一得到PC为高，PC为中线，可得出OP垂直平分线段AB，得证．

【解答】证明：∵PA，PB分别为⊙O的切线， ∴PA=PB，PO为∠APB的平分线， ∴PO⊥AB，C为AB的中点， 则OP垂直平分线段AB．

【点评】此题考查了切线的性质，涉及的知识有：切线长定理，以及等腰三角形的性质，熟练掌握切线长定理是解本题的关键．

14．（2015秋?海淀区期中）已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的半圆O交AB于F，E是BC的中点． 求证：直线EF是半圆O的切线．

【考点】切线的判定．

【分析】连接OF，CF，利用等边对等角即可证得OF⊥EF，从而证得EF是圆的切线． 【解答】证明：连接OF，CF． ∵AC是直径， ∴∠AFC=90°， ∴∠BFC=90°， 又∵E是BC的中点，

∴EF=EC， ∴∠EFC=∠ECF， ∵OC=OF， ∴∠OFC=∠FCO，

∵∠ACB=∠FCO+∠ECF=90°， ∴∠EFC+∠OFC=90°，即∠EFO=90°， ∴OF⊥EF， ∴EF是⊙O的切线．

【点评】本题考查了切线的判定，直角三角形的性质等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．解决本题的关键是正确作出辅助线．

15．（2015秋?海淀区期中）已知：⊙O的半径OA=1，弦AB、AC的长分别为求∠BAC的度数．

【考点】垂径定理；解直角三角形．

【分析】根据题意画出图形，作出辅助线，由于AC与AB在圆心的同侧还是异侧不能确定，故应分两种情况进行讨论．

【解答】解：分别作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别是D、E． ∵OE⊥AC，OD⊥AB， ∴AE=AC=

，AD=AB=

，

，

，

∴sin∠AOE===，sin∠AOD==，

∴∠AOE=60°，∠AOD=45°，

∴∠BAO=45°，∠CAO=90°﹣60°=30°，

∴∠BAC=45°+30°=75°，或∠BAC′=45°﹣30°=15°． ∴∠BAC=15°或75°．

【点评】本题考查的是垂径定理及直角三角形的性质，解答此题时进行分类讨论，不要漏解．

16．（2015秋?海淀区期中）已知：⊙O的半径为25cm，弦AB=40cm，弦CD=48cm，AB∥CD．求这两条平行弦AB，CD之间的距离． 【考点】垂径定理；勾股定理．

【分析】分情况进行讨论，（1）如图，AB和CD再圆心的同侧，连接OB，OD，作OM⊥AB交CD于点N，由AB∥CD，即可推出ON⊥CD，则MN为AB，CD之间的距离，通过垂径定理和勾股定理即可推出OM和ON的长度，根据图形即可求出MN=OM﹣ON，通过计算即可求出MN的长度，（2）AB和CD在圆心两侧，连接OB，OD，做直线OM⊥AB交CD于点N，由AB∥CD，即可推出MN⊥CD，则MN为AB，CD之间的距离，通过垂径定理和勾股定理即可推出OM和ON的长度，根据图形即可求出MN=OM+ON，通过计算即可求出MN的长度．

【解答】解：（1）如图1，连接OB，OD，做OM⊥AB交CD于点N， ∵AB∥CD， ∴ON⊥CD，

∵AB=40cm，CD=48cm， ∴BM=20cm，DN=24cm， ∵⊙O的半径为25cm， ∴OB=OD=25cm， ∴OM=15cm，ON=7cm， ∵MN=OM﹣ON， ∴MN=8cm，

（2）如图2，连接OB，OD，做直线OM⊥AB交CD于点N，

∵AB∥CD， ∴ON⊥CD，

∵AB=40cm，CD=48cm， ∴BM=20cm，DN=24cm， ∵⊙O的半径为25cm， ∴OB=OD=25cm， ∴OM=15cm，ON=7cm， ∵MN=OM+ON， ∴MN=22cm．

∴平行弦AB，CD之间的距离为8cm或22cm．

【点评】本题主要考查垂径定理和勾股定理的运用，平行线间的距离的定义，平行线的性质等知识点，关键在于根据题意分情况进行讨论，正确的做出图形，认真的做出辅助线构建直角三角形，熟练运用垂径定理和勾股定理推出OM和ON的长度，利用数形结合的思想即可求出结果．

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