数学(理)卷·2010届北京市东城区高三第一学期期末教学目标检测(2(3)

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x2y2解：（Ⅰ）设椭圆C的方程为2?2?1(a?b?0)．

ab?a2?b2?c2??由题意?a:b?2:1????????????2分

???c?2解得a?4，b?2．

22

y2x2??1．??????????4分 所以椭圆C的方程为42（Ⅱ）由题意知P（1，2），两直线PA，PB的斜率必存在，设PB的斜率为k， 则PB的直线方程为y?2?k(x?1)．

?y?2?k(x?1)?由?y2x2得

?1??2?4(2?k2)x2?2k(2?k)x?(2?k)2?4?0

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

设A(xA,yA)，B(xB,yB)，则

k2?22k?2， xB?1?xB?22?kk2??22k?2同理可得xA?， 22?k则xA?xB?8k42ky?y??k(x?1)?k(x?1)?，． ABAB2?k22?k2所以直线AB的斜率kAB?yA?yB?2为定值．???????????8分

xA?xB（Ⅲ）设AB的直线方程为y?2x?m．

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?y?2x?m?22由?y2得4x?22mx?m?4?0． x2?1??2?4由△?(22m)2?16(m2?4)?0，得m?8．????????????10分

2m2?42m此时xA?xB??，xAxB?．

42P到AB的距离为d?|m|， 3|AB|?(xA?xB)2?(yA?yB)2

3??m2?12

2则S?PAB?113|m| |AB|d?12?m2?222311211m2?m2?82?m(?m?8)???2． 22222因为m?4使判别式大于零， 所以当且仅当m??2时取等号，

所以△PAB面积的最大值为2．?????????????????????13分

20．（本小题满分14分）

（Ⅰ）解：依题意，Sn?1?Sn?an?1?Sn?3n，即Sn?1?2Sn?3n， 由此得Sn?1?3n?1?2(Sn?3n)．

因此，所求通项公式为bn?Sn?3n?(a?3)2n?1，n?N．????????5分

*2bn(a?3)2n?1（Ⅱ）证明：由已知cn?3log2?1?3log2?1?3n?2，

a?3(a?3)则1?11，所以 ?1?cn3n?2

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(1?11111)．????????7)(1?).....(1?)=（1+1）(1?)???(1?43n?2c1c2cn分

下面用数学归纳法证明不等式

(1?11111) )(1?).....(1?)=（1+1）(1?)???(1?43n?2c1c2cn?33n?1成立．

①当n?1时,左边=2,右边=34,因为2>34,所以不等式成立．???????8分 ②假设当n?k时不等式成立,即

(1?11111)?33n?1成立． )(1?).....(1?)=（1+1）(1?)???(1?43n?2c1c2cn则当n?k?1时， 左边=(1?1111)(1?).....(1?)(1?) c1c2ckck?114111)[1?]?33k?1·[1?] 3k?23(k?1)?23(k?1)?2=（1+1）(1?)???(1?=?33k?1·（

3k?2） 3k?1?3(3k?2)3?????????????????????????????11分 2(3k?1)(3k?2)3>?33(k?1)?1成立， 2(3k?1)要证?3(3k?2)3只需证>3k?4成立， 2(3k?1)由于(3k?1)?0，

只需证(3k?2)?(3k?4)(3k?1)成立，

只需证27k?54k?36k?8?27k?54k?27k?4成立， 只需证9k?4?0成立，

*由于k?N，所以9k?4?0成立．

3232232

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即(1?1111)(1?).....(1?)(1?) c1c2ckck?11411)[1?]?33(k?1)?1成立． 3k?23(k?1)?2=（1+1）(1?)???(1?所以当n?k?1时,不等式也成立．

由①，②可得不等式恒成立．????????????????????14分

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