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20．（本小题满分14分）
设数列{an}的前n项和为Sn．已知a1?a(a?3)，an?1?Sn?3n,n?N*，．
（Ⅰ）设bn?Sn?3n，求数列{bn}的通项公式； （Ⅱ）若cn?3log2bn?1(n?N*)，证明对任意的n?N* ，不等式 a?3 (1?
111)(1?).....(1?)?33n?1恒成立． c1c2cn
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参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1．A 2．D 3．B 4．A 5．D 6．D 7．C 8．A 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9．1?2i
10．8或-18
?2x?3,x?011f(x)??．
5?4x,x?0?12．3 3 13．1?e≤2 14．-2
注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分． 三、解答题（本大题共6小题，共80分） 15．（本小题满分13分）
解:（Ⅰ）f(x)?loga(x?1)?loga(1?x)，则
?x?1?0解得?1?x?1． ??1?x?0故所求函数f(x)定义域为{x|?1?x?1}．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)的定义域为{x|?1?x?1}，
且f(?x)?loga(?x?1)?loga(1?x),
??[loga(x?1)?loga(1?x)]
??f(x)
故f(x)为奇函数．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分
（Ⅲ）因为当a?1时，f(x)在定义域{x|?1?x?1}内是增函数，
所以f(x)?0?解得0?x?1．
所以使f(x)?0的x的取值范围是{x|0?x?1}．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．13分
x?1?1.． 1?x16．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由向量a?(cos?,1)，b?(?2,sin?)，且a⊥b． 可得a·b=(cos?,1)·(?2,sin?)?0．
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即?2cos??sin??0． 所以cos??1sin?．???????????????????????3分 2因为sin2??cos2??1，
2所以sin??43?)， ． 因为a?(?,52
所以sin???25?????????????????????????6分 55． 5 （Ⅱ）由（Ⅰ）可得cos???
则tan??2?????????????????????????????8分
tan(???4)?tan??1??3?????????????????????12分
1?tan?17．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）证明：连结BD． 因为底面ABCD是正方形， 所以AC⊥BD．
因为SD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD， 所以AC⊥SD．?????????3分 又因为SD?BD=D，
所以AC⊥平面BDS．??????5分 因为BE?平面BDS，
所以AC⊥BE．????????7分 （Ⅱ）因为SD⊥平面ABCD， 所以SD⊥CD．
因为底面ABCD是正方形， 所以AD⊥CD．
又因为SD?AD=D，
所以CD⊥平面SAD，
所以CD⊥AS．?????????10分
过点D在平面SAD内作DF⊥AS于F，连结CF． 由于，DF?CD=D
所以AS⊥平面DCF。 所以AS⊥CF．
故∠CFD是二面角C—AS—D的平面角．???????????????12分 在Rt△ADS中，SD?2，AD?2，可求得DF?23． 3在Rt△CFD中，DF?2303，CD?2，可求得CF?． 33
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所以cosCFD?DF10． ?CF510．????????????????14分 5即二面角C—AS—D的余弦值为
解法（二）（Ⅰ）如图以D为原点建立空间直角坐标系D?xyz．
则D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），E（0，0，
2），
S（0，0，2），
AC?(?2,2,0)，BE=(?2,?2,2)???????3分 AC·BE=2-2+0=0
所以AC⊥BE．即AC⊥BE．??????????????????????7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得SA=(2，0，-2)， ． SC=（0，2，-2）
设平面ACS的法向量为n?(x,y,z)， 则由n⊥SA，n⊥SC得
??n?SA?0 ???n?SC?0??2x?2z?0即? ??2y?2z?0取z?2，得．n?(2,2,2)????????????????????11分
易知平面ASD的一个法向量为DC=(0,2,0)． 设二面角C—AS—D的平面角为θ． 则cos??n?DC|n||DC|?10． 5
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即二面角C—AS—D的余弦值为18．（本小题满分14分）
10．????????????????14分 5解：（Ⅰ）因为f(x)?aln(x?1)?(x?1)2，
a?2x?2．??????????????????2分 x?1a由f'(1)?0，可得?2?2?0，a??8．
2所以f'(x)?经检验a??8时，函数f(x)在x?1处取得极值，
所以a??8．????????????????????????5分 （Ⅱ）f(x)??8ln(x?1)?(x?1)，
2f'(x)???82(x?1)(x?3)?2x?2?．????????????7分 x?1x?1而函数f(x)的定义域为（-1，+∞），
当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表：
x f'(x) f(x) （-1，1） - ↘ 1 0 极小值 （1，+∞） + ↗ 由表可知，f(x)的单调减区间为（-1，1），f(x)的单调增区间是（1，+∞）??10
分
（Ⅲ）由于g(x)?f'(x)?所以g'(x)??8?2x?2， x?18?2，当x?1时，g'(1)?4，g(1)?0． 2(x?1)所以切线斜率为4，切点为（1，0），
所以切线方程为y?4(x?1)，即4x?y?4?0．????????????13分 令x?0，得y??4，令y?0，得x?1． 所以△AOB的面积S?19．（本小题满分13分）
1?|?4|?1?2．???????????????14分 2
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