①当a?0时，恒有f?(x)?0，则f(x)在(0,??)上是增函数；
②当a?0时，当0?x??11)上是增函数； 时，f?(x)?0，则f(x)在(0,?2a2a当x??11,??)上是减函数 时，f?(x)?0，则f(x)在(?2a2a1)上是增2a综上，当a?0时，f(x)在(0,??)上是增函数；当a?0时，f(x)在(0,?函数，f(x)在(?1,??)上是减函数. 2a(Ⅱ)由题意知对任意a???4,?2?及x??1,3?时， 恒有ma?f?x??a2成立，等价于ma?a2?f?x?max 因为a???4,?2?，所以
211????1 42a2由（Ⅰ）知：当a???4,?2?时，f(x)在?1,3?上是减函数 所以f(x)max?f(1)?2a 所以ma?a2?2a，即m?a?2 因为a???4,?2?，所以?2?a?2?0 所以实数m的取值范围为m??2
【解析】
18.【答案】解：（1）f?(x)?12x2?6xsin?， 当x?
sin?3时，f?(x)有最小值为f?(x)??sin2?， 443434所以?sin2???，即sin2??1， 因为??[0,?]，所以sin??1， 所以f?(x)?12x2?6x，
所以f(x)在(0,)上是减函数，在(??,0)，(,??)上是增函数，
1212
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而f(0)?117?0，f()???0， 32232
sin?， 2故函数f(x)的零点个数有3个；
(2) f?(x)?12x2?6xsin?，令f?(x)?0，得x1?0,x2?函数f(x)存在极值，sin??0，
由??[0,?]及（I），只需考虑sin??0的情况． 当x变化时，f?(x)的符号及f(x)的变化情况如下表：
x f?(x) f(x) (??,0) 0 0 极大值 (0,sin?) 2sin? 2(sin?,??) 2＋ ↗ － ↘ 0 极小值 ＋ ↗ 因此，函数f(x)在x?要使f(sin?sin?11处取得极小值f( )??sin3??， 22432sin?111)?0，必有?sin3???0可得0?sin??， 22 43266?5?所以?的取值范围是??(0,)?(,?)．
【解析】
19.【答案】(I)f?(x)?a,g?(x)?2x?b x?1?f(2)?g(2)?0?4?2b由题知?,即?
??f(2)?g(2)??1a(4?b)??1??1??a??解得?2
??b??2(II)F(x)?f(x?1)?g(x)=alnx?(x2?bx),F?(x)?a?2x?b x?a?F?(2)?0??4?b?0由题知?,即?2 解得a=6,b=-1
?F(1)?0??1?b?0∴F(x)=6lnx-(x2-x),F?(x)?6?(2x?3)(x?2)?2x?1= xx∵x>0,由F?(x)>0,解得0
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故F(x)至多有两个零点,其中x1∈(0,2),x2∈(2, +∞) 又F(2)>F(1)=0,F(3)=6(ln3-1)>0,F(4)=6(ln4-2)<0 ∴x0∈(3,4),故n=3
(III)当b?a?2时,F(x)=alnx?[x2?(a?2)x],
F?(x)?a?(2x?a)(x?1)?2x?(a?2)=, xx由题知F?(x)=0在(0,+∞)上有两个不同根x1,x2,则a<0且a≠-2,此时F?(x)=0的两根为-
a,1, 2a2a由题知|--1|>1,则+a+1>1,a2+4a>0
24又∵a<0,∴a<-4,此时-
a>1 2则F(x)与F?(x)随x的变化情况如下表:
x F?(x) (0,1) - 1 0 极小值 (1, -+ a) 2-a 2(-- a,+∞) 20 极大值 F(x) ∴|F(x1)-F(x)|=F(x)极大值-F(x)极小值=F(-=aln(―
a)―F(1) 2a12)+a―1, 24a1a1设?(a)?aln(?)?a2?1,则??(a)?ln(?)?a?1
2422111111,???(a)??,∵a<-4,∴>―,∴???(a)??>0,
a2a4a2∴??(a)在(―∞,―4)上是增函数,??(a)?(?4)=3-4ln2 所以|F(x1)-F(x)|>3-4ln2.
【解析】
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20.【答案】解：（Ⅰ）存在a?0,b??1使y?f(x)为偶函数， 证明如下：此时：f(x)?e?e?x?ex，x?R ?f(?x)?e?xx?ex?e?x?f(x)，?y?f(x)为偶函数。
（注：a?0,b?0)也可以） （Ⅱ）?g(x)?ex?2x?2x??e?e?e=?2?xx??e?ex(x?2)(x?2)，
①当x?2时g(x)?ex?2?ex，?g'(x)?ex?2?ex?0
?y?g(x)在?2,???上为增函数。
②当x?2时g(x)?e2?x?ex，
则g'(x)??e2?x?ex，令g'(x)?0得到x?1，
（ⅰ）当x?1时g'(x)?0，?y?g(x)在???,1?上为减函数。 （ⅱ） 当1?x?2时g'(x)?0，?y?g(x)在?1,2?上为增函数。 综上所述：y?g(x)的增区间为?1,???，减区间为???,1?。 （Ⅲ）?f1(x)?f2(x0)?1，?f2(x0)?1?f1(x)?f2(x0)?1 ??x0??0,1?对?x??0,1?，f2(x0)?1?f1(x)?f2(x0)?1成立。 即：??f2(x)min?1?f1(x)min
?f2(x)max?1?f1(x)max①当b?0时，f2(x)为增函数或常数函数，?当x?[0,1]时
?f2(x)min?f2(0)?1,f2(x)max?f2(1)?eb
?f1(x)?e 当a?x?a?0 ?f2(x)min?1?f2(0)?1?0?f1(x)min恒成立。
1b时f1(x)max?f1(1)?e1?a ?eb?1?e1?a ?a?1?ln(e?1) 211 ?ln(eb?1)?ln2?lne? ?1?ln(eb?1)?
22 ?a??1?ln(eb?1),?
2??1??第 9 页 共 12 页
当a?12时f1(x)max?f1(0)?ea ?eb?1?ea ?a?ln(eb?1)
?ln(eb?1)?ln2?lne?12
?a???1,ln(eb?1)???2?
综上所述：?a??1?ln(eb?1),ln(eb?1)? ②
当
b?0时，
f2(x)在[0，1]上为减函数?f2(x)max?f2(0)?1,f2(x)min?f2(1)?eb
?f1(x)?ex?a?0,eb?1?e0?1?0 ?f2(x)min?1?f1(x)min恒成立。
当a?1时f1?a1?a21(x)max?f1(1)?e ?f2(x)max?1?2?e ?a?1?ln2 ?a???1?ln2,1???2?
当a?12时f1(x)max?f1(0)?ea ?2?ea ?a?ln2
?a???1,ln2???2? 综上所述：?a??1?ln2,ln2?
由①②得当b?0时，a??1?ln(eb?1),ln(eb?1)?； 当b?0时，a??1?ln2,ln2?. 【解析】
21.【答案】（Ⅰ）因为 f?(x)?x2?(2a?1)x?(a2?a) ?(x?a)[x?(a?1)]
令f?(x)?0，得x1?(a?1)，x2?a
所以f?(x)，f(x)随x的变化情况如下表：
x (??,a) a (a,a?1) a?1 (a?1,??) f'(x) ? 0 ? 0 ? 第 10 页 共 12 页
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