浅析幂级数展开式的应用(2)

所以

?2k??2n?2k?n??k??n?k??4k?0????n

2.4 应用幂级数求高阶导数

例4 设f?x??ln?2x?x2?，求解 由题目知

f?x??ln?2x?x2fn?1?.

1??x?1???ln??2?

?令t?x?1，则上式就为 ln?1?t2?????n?1?t2nn1n ??1?t?1?

2n???n?1?x?1?

由此可以得到

f2n?1???1n??2n?!??2n!n

f2n?1?1??0

2.5[4] 应用幂级数展开式推导欧拉公式

例5 试用幂级数展开式推导欧拉公式：

sinx?e?e2iix?ixx? cose?e2ix?ix.

解 当x为实数时，由指数函数的幂级数展开式知

?e?x?n?0xnn!,??? x????

用纯虚数ix代替变量x，有

?e?ix?n?0?ix?n!n?1?ix?12!?ix??213!?ix??314!?ix??415!?ix?????

5由于

4

?4n?1??4n?2?i?从而得到

?1，i?i，i??1，i?4n?3???i，i?4n?4??1，n?0,1,2,???

2435????xxxxe??1????????i?x???????

2!4!3!5!????ix?cosx?isinx

即

e?cosx?isinx ?1?

ix在?1?式中以?x替换x可得

e?ix?cosx?isinx ?2?

由?1??2?两式可得

sinx?e?e2iix?ix cosx?e?e2ix?ix

2.6[5] 求非初等函数的原函数

例6 求连续函数e?x的原函数F?x?. 解 由积分知识我们可知e?x的原函数为 因为

?22?x0e?t2 dt x?R

e?令x??t2，从而得到

e?t?2x?n?0xnn! x?R

??n?0??1?nt2nn!2

t6?1?t?t42!?3!???????1?nt2nn!????

对幂级数在收敛区间内逐项求积分得

F?x???x0e?t2dt

5

n?x?x33?12!5?x5?13!7!?x7???????1?n!?x2n?12n?1????

2.7 利用幂级数求数项级数的和

例7 计算数项级数?n?1?nn?12?1n的和.

解 首先构造一个辅助幂级数使其符合下面条件：

?(1) 使?n?1nn?12?1n为幂级数当x取特定值时的结果

(2) 辅助幂级数容易求和

nn?1本题取辅助级数s?x??x，此时其收敛域为??1,1?，然后求辅助幂级数的和函数

ns?x??nn?1?x

n?1?n?1???n?1?x

?n?1?????n?1x??n?1n1n?11x

n?x1?x?1x ?x??xn?1n?1n?1?0 ,x ?? 1 ?记 S1?x???n?1n?1?1n?1x ? x??1 S1'?x??从而得到

?n?1nx?x1?x

?0S1'?t?dt?x?x0t1?tx0dt

S1?x??S1?0????1??1?dt??x?ln?1?x? ??1?t?所以

6

ln?1?x?x S?x???x1?x?1?

?n?1?1??1?nx?S???1?1?2ln?? n ?1?2??2?n ?2?1?ln?2

2.8[6] 幂级数在微分方程中的应用

例8 求方程y???xy?0满足初始条件y?0??0，y??0??1的特解. 解 设y?a0?a1x?a2x2?????anxn????是y???xy?0的特解 则

y??a1?2a2x?????nanxn?1????

y???2a2?????n?n?1?anxn?2????

由y?0??0，y??0??1得

a0?0，a1?1 将y与y??代入y???xy?0中得

2a2??3?2a3?a0?x???????n??n?1?an?an?3??xn?2?????0

由于左边恒等于零，则各项系数必为零，即 2a2?0 6a3?a0?0

??????

n??n?1?an?an?3?0

an?3由此可以得到a2?0和递推公式an?a03?2a25?4n?n?1?

由a0?0得a3??0，进而得到a6,a9???皆为0；

由a2?0得a5??0，进而得到a8,a11???皆为0；

7

由aa11a411?1得a4?4?3?4?3，a7?7?6?7?6?4?3．

故所求特解为：

47y?x?x4?3?x7?6?43????????x????

2.9[7] 幂级数应用于近似计算

?1? 函数值的计算

例9 计算5245的近似值，使之绝对误差不超过10?4. 解 因为

5245?535?2?3?51?235

由 ?1?x???1??x??????1?2????1???????n??1n2 !x?????n !x????令 ??1 , x?2535得

?1??1?1??25245?3 ?1?1?2?5??5???2???5?35??!?5????????2 ?3??

?????3 ??1?1?2??4?2?2?5??2?5??????

??5?3?2 !?5?3???由于 5245??144?3?1?2??5?5???.0 0002??3??2?25?93?0所以

5245?3??1?1?2??? ?5??35???3.0049 ?例10 计算arcsin0.2 ，绝对误差不超过10?4. 解 设f?x??arcsinx，则

8

(x?1)

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