第八章 不定积分
习题
§1 不定积分概念与基本积分公式
1． 验证下列等式，并与（3）、（4）两式相比照：
（1）?f/?x?dx?f?x??C； （2）?df?x??f?x??C
2． 求一曲线y?f?x?，使得在曲线上每一点?x,y?处的切线斜率为2x，且通过点?2,5?.
3． 验证y?x22sgnx是x在???,???上的一个原函数.
4． 据理说明为什么每一个含有第一类间断点的函数没有原函数？ 5． 求下列不定积分：
（1）???1?2?1?x?x3???3?dx； （2）??x?1??x2????x?dx； ?（3）?dx； （4）?2x?3x2gx??2dx；
（5）?3 （6）?x24?4x2dx；3?1?x2?dx；
（7）?tan2xdx； （8）?sin2xdx；
（9）?cos2xcosx?sinxdx； （10）?cos2xcos2x?sin2；
xdx（11）?10t?32tdt； （12）?xxxdx；
（13）???1?x1?x???1??1?x?dx； （14）?cosx?sin?x??x?2dx；
（15）??cosx?cos2x?dx； （16）??ex?e?x?3dx
§2 换元积分法与分部积分法
1． 应用换元积分法求下列不定积分：
（1）?cos?3x?4?dx； （2）?xe2x2dx；
（3）?12x?1dx； （4）??1?x?ndx；
（5）???1?1?2x?3??3?x21?3x2?dx； （6）2dx；???
1
（7）?8?3xdx； （8）?137?5xdx；
（9）?xsinx2dx； （10）?1??2?sin?2x??4??1dx；
（11）?1dx； （12）?dx；
1?cosx（13）?cscxdx； （15）?x 4?x4dx；（17）?x4?； 1?x5?3dx（19）?1x?1?x?dx； （21）?cos5xdx； （23）?1ex?e?xdx； x2（25）??2?x?1?3dx； （27）?1?x2?a2?3dx； 2（29）?x1?3xdx； 2． 应用分部积分法求下列不定积分：（1）?arcsinxdx； （3）?x2cosxdx； （5）??lnx?2dx； （7）??1??ln?lnx???lnx?dx?；
1?sinx（14）?xdx；
1?x2（16）?1xlnxdx；
（18）?x3x8?2dx；
（20）?cotxdx；
（22）?1sinxcosxdx； （24）?2x?3x2?3x?8dx；
（26）?1；
x2?a2dx（28）?x5
1?x2dx；（30）?x?1?1x?1?1dx.
（2）?lnxdx； （4）?lnxx3dx；
（6）?xarctandx； （8）??arcsinx?2dx； 2
（9）?sec3xdx； （10）?x2?a2dx?a?0?.
3． 求下列不定积分：
（1）??f?x???f/?x?dx????1?； （2）?f/?x?2；
1??f?x??dx/（3）?f?x?f?x?dx； （4）?ef?x?f/?x?dx.
4． 证明：
（1）若In??tannxdx,n?2,3,?，则I1n?1n?n?1tanx?In?2；
（2）若I?m,n???cosmxsinnxdx，则当m?n?0时，
m?1xsinn?1I?m,n??cosxm?1
m?n?m?nI?m?2,n?m?1
??cosxsinn?1x?n?1m?nm?nI?m,n?2?,n,m?2,3,?5． 利用上题的递推公式计算：
（1）?tan3xdx； （2）?tan4xdx；
（3）?cos2xsin4xdx.
6． 导出下列不定积分对于正整数n的递推公式：
（1）Inkxn??xedx； （2）In???lnx?ndx； （3）In???arcsinx?ndx； （4）I?xn??esinnxdx.
7． 利用上题的递推公式计算：
（1）?x3e2xdx； （2）??lnx?3dx；
（3）??arcsinx?3dx； （4）?exsin3xdx.
§3有理函数和可化为有理函数的不定积分 1． 求下列不定积分：
（1）?x3x?1dx； （2）?x?2x2?7x?12dx；
（3）?14）x3?1dx； （?1x4?1dx；
（5）?1?2?x?1??dx； （6）x2?1?2?x?2x2?2x?1?2dx.
3
2． 求下列不定积分：
（1）?15?3cosxdx； （2）?12?sin2
xdx；2（3）?11?tanxdx； （4）?x；
1?x?x2dx（5）?1dx； （6）x?x2?11?xx21?xdx.
总练习题
求下列不定积分： （1）?x?23x?1x4dx； （2）?xarcsinxdx；
（3）?1x?1dx； （4）?esinxsin2xdx；
（5）?exdx； （6）?1；
xx2dx?1?tanx2 （7）?11?tanxdx； （8）?x?x?；
x?2?3dx （9）?110）4cos4xdx； （?sinxdx；
（11）?x?532 （12）x?3x?4dx；?arctan?1?x?dx；
（13）?x7414）?tanxx?2dx； （tanx?tan2x?1dx；
2 （15）?x（16）?arcsinx?1?x?100dx； x2dx；
（17）?xln??1?x??dx1?1?x (18) ? ?sinxcos7dx；x2 （19）?ex??1?x??1?x?dx；
? （20）In??vn，其中uudx?a1?b1x,v?a2?b2x，求递推形式解.
习题答案
§1 不定积分概念与基本积分公式
4
2．y?x2?1.
．（1）x?x25x432?4?3x?C； （2）
x33?lnx?433x?C；
x （3）
2x（4）
4x9x?6g?C； ln4?ln9?2ln6?C；
（5）32arcsinx?C； （6）
13?x?arctanx??C；
（7）tanx?x?C； （8）
14?2x?sin2x??C；
（9）sinx?cosx?C； （10）?tanx?cotx?C；
t （11）
90ln90?C； （12）
815815x?C；
（13）2arcsinx?C； （14）x?12cos2x?C；
（15）
1?2?sinx?1sin3x???C； （16）1e3x?3ex?3e?x1?3x?3?3?3e?C；§2 换元积分法与分部积分法 1．（1）1sin?3x?4??C； （2）1e2x234?C；
（3）
1?x?n?12ln2x?1?C； （4）
?1n?1?C；
?2x?2 （5）arcsinx3?13arcsin3x??C；
（6）2ln2?C；
（7）?29?8?3x?3?C； （8）?33210?7?5x??C；
（9）?1cosx22?C； （10）?12cot??2x?????C； ?4? （11）tanx2?C； （12）tanx?secx?C；
（13）?lncscx?cotx?C； （14）?1?x2?C；
（15）1arctanx2 42?C； （16）lnlnx?C；
5
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