第4篇《追求智慧的课堂——智慧型课堂教学案例解读》(2)

在此基础上，再验证我们的猜想，于是，教师出示第五个问题： （5）运用上面发现的规律，自己编一个两位数，比如36，先猜测11×36的乘积是多少，并列竖式计算验证猜测。

果真，猜想正确！

当学生感到三次“发现”的结论可以成立时，教师出示第六问：

（6）按照你自己的猜想，先猜一猜11×57的结果会是多少？再用列竖式的方法验证。 学生们会发现，此时，两位数之和5+7是超过10的数，前面的“猜想”需要修改！ 借助此时的认知冲突，教师引导学生归纳出：只有在“两位数的十位数字与个位数字的和不满十时”，才适用“两边一拉，中间一加”的方式。

而“满十”时，这个“十”应该怎么处理呢？是写成“5127”还是“627”？

再来分析竖式，学生可以发现，此时十位上的“12”应该向百位进一，要写成“627”。 对于修改后的结论，此时的学生往往会尝试一下，比如计算“11×59”“““、“11×67”，发现的确是11×59＝649、11×67＝737。

最终，学生将猜想“两边一位，中间一加”修进一步修改为“两边一拉，中间一加，中间满十，百位加1”。

这是学生根据观察若干个特例（个案）、归纳、猜想、验证、修正的第四次“发现”！

上面的过程其实并非“啰嗦”、多余。让学生经历这样的过程，其真正的意图在于，在巩固“两位数乘两位数”的基础知识、基本技能的教学过程中，让学生多次经历归纳、猜想的思维过程，获得“个案1、?、个案n → 归纳出一个共性规律，发现 → 猜想 → 验证自己的猜想 → 得出一般的结论”的直接经验和体验，让学生经历一次“数学家式”的思考过程，感受智慧产生的过程，体验创新的快乐。

两种设计思路的核心差异在于，归纳式教学与演绎式教学的不同价值取向。在不影响（或者几乎不影响）基础知识、基本技能正常教学的前提下，将整体思路修改为以归纳、抽象、建模的活动为主线，这种似乎“傻”“多余”的设计，恰恰将创新意识培养、基本思想的落实、基本活动经验的获得渗透其中，其实是很智慧的做法、智慧的设计。

（三）教学形式、教学环节设计中的智慧

如果说教学思路的设计体现的是课堂教学的整体方向，那么，教学形式、教学环节的设计则是关注局部的环节、形式。对此，精挑细刻地设计课堂教学的每一个细节、精心组织课堂教学的每一个实施形式，往往能够实现举一反三的效果，同时，达成数学教学特定的教学目标。例如，感受可能性“掷硬币”

一般的设计：掷一枚均匀的硬币，先得到出现正面或反面的概率是0.5，然后让学生通过反复掷硬币去验证这个结果。

修改后的设计：教师首先出示一个硬币，提出“你觉得连续掷10次，会出现几次正面”问题，供全班学生猜想。而后，教师现场操作，一般不会一定出现5次。此时，教师提出“如果你来操作，结果会怎样呢？”，将全班同学每两位一组，分组掷硬币，每组5分钟。而后将全班每组的数据现场统计在黑板上，随着统计

的一组组数据的出现，引导学生分析这些数据，感受数据的随机性。一旦将全班的数据叠加在一起（比如，相当于连续掷200次以上），那么，正面、反面出现的可能性就相差无几。由此我们可以推断，这个硬币是均匀的。

前后两次设计的核心差异，一方面在于活动的形式，教师操作而学生观察、接受获取信息，与学生亲身操作、全班合作完成数据的收集过程。亦即，采取合作式的教学方式与接受式教学方式的差异。

另一方面在于，对于“可能性”教学的理解不同，前者的思路是，先给出可能性的概率定义（即首先肯定均匀的硬币两面出现的可能性应该相等），而后试图通过抛掷硬币计算正面出现的频率，用频率刻画概率。事实上，这是很难做到的。前者的思路是“定义概率，用频率验证”，这是典型的演绎推理方式；而后者是用数据来进行推断，其推理方式主要是归纳。两种思维方式截然不同。

不仅如此，采取后面的方式开展课堂教学，活动教学的重要目的在于获得直接的数学活动经验，体会数据的由来，亲身获得数据随机的直接体验。同时，更有利于培养学生的数据分析意识，建立归纳思维。

（四）课堂信息呈现方式中的智慧

课堂信息的不同呈现方式不仅影响到教学效果，而且，往往产生思维上的差异。

1．基于小学生的现实，以小学生喜闻乐见的方式呈现课堂信息，是小学数学课堂教学智慧生成的重要策略。

以“27+4”的教学为例，教学的难点和焦点在于如何让学生理解十进制。

案例：教师呈现小熊探险的情境，发现蜂蜜，第一堆27瓶，第二堆4瓶，一共多少瓶？而后，引导学生通过摆小棒（每10个一捆），找到“把27与4合在一起”的方法。即，将4拆成3与1，凑成新的一捆，得到三捆和一根小棒，从而是31。

这个片段似乎很成功（教材就是这么编写的）。然而，实际的教学显示，不少学生认为，未必10个一捆，任何数量的小棒用绳子一捆都叫一捆。也就是说，学生对于这里的“一捆”表示一个10并不认同。

修改后的案例：教师呈现准备请客人到家吃饭的情境，老师做饭计划用许多鸡蛋招待客人。家里的冰箱里仅有4个鸡蛋，老师从超市里刚刚买来一箱鸡蛋（共三层，每层都有用纸浆做成的十个窝，每个窝放一个鸡蛋，一共三十个），打开后发现破损了3个，仅仅剩下27个（教师将鸡蛋带到教学现场——只不过，已经将鸡蛋做了处理——将其中的蛋汁抽出来，仅剩下了蛋壳。教师马上提出“现

在的鸡蛋数量一共多少个？”

实际的课堂教学（小学生的亲自操作）表明，小学生很自然地将4个鸡蛋中的3个补到三个空缺中，凑成完整的三层，剩下1个。一共三十一个。 实际的教学显示，修改后的这个片段很成功。几乎所有的学生凭着自然地感觉认为，必须凑成整屉整屉的，也就是说，10个鸡蛋一屉是现实生活中真实存在的，更是学生所认同的，用它来表达十是智慧的、成功的。

不仅如此，在实际的小学数学课堂教学中，对于类似于23-8的问题，采用“10支笔一盒、一共23支笔，准备发给8位同学，每位同学一支笔，还剩下几支？”的方式呈现教学，效果亦非常好——小学一年级的同学几乎不加思索地拆开一个整盒分给8位同学（他会自言自语地说，3支肯定不够8位同学分的，不必考虑3，直接从整盒里取就可以了）！而后将剩下的合在一起。

这种方式也是成功的，其中的原由在于，学生几乎经常见到真实存在的“十个一盒”，一盒就代表10个，这是真实存在的十进制的原型。采取这种方式实施教学是智慧之举。

2．以具有丰富数学内涵的活动为载体呈现课堂教学信息，往往是诱发学生理解性掌握的有效途径，可以很好地避免以语言传递为主要方式的讲授式教学的弊端

以“圆的概念”为例。采取问题驱动式的方式进行设计，总体设想[3]是按照“问题驱动——建立模型——解释应用——拓展反思”的基本环节，将“圆”的概念学习，藏到“自行车的车轮为什么做成圆的？”的解决过程之中，通过学生探索、分析问题，逐步抽象圆的概念，概括出圆的基本特征“边缘上的任何一点到定点的距离保持不变”；而后再通过解释、应用，深化学生对于圆的认识，实现理解性掌握。

环节１．创设情境、激趣导入

师 ：大家喜欢骑自行车吗？ （学生:喜欢）

师:你们一定知道自行车车轮是什么形状的？车轮为什么要设计成圆形呢？（出示图片）设计成方形的如何呢？其中,有什么奥妙呢？ 今天我们就来探索这个问题。

注释 (设计意图) :通过现实生活中实际事例,创设情境,出示问题，一方面可以引起学生的学习兴趣，另一方面为学习新知识做了铺垫。几乎每天都见到、用到的“车轮是圆”其中竟然有某些道理，好奇心驱使学生主动参与到活动中来。 环节２．分析任务、提出问题

教师指导学生分析“车轮子为什么通常做成圆的”这个问题所包含的道理： 师：车轮子作成圆的，为什么不能做成方的、椭圆的等其他形状呢？ 好的，下面请大家以小组为单位，分组探讨车轮子问题。 环节３．动手操作、探究新知

学生利用教师提供的小汽车（可以拆卸车轮子）以及各式各样的车轮子（有方的、椭圆的、梅花掰形状的、圆的等），同时，提供直的道路（类似于铁路的铁轨形状的道路）。 在分组讨论、探究过程中，教师参与其中的一些小组的活动 环节４．总结提炼、建立模型

（１）教师组织学生进行大班交流，分析其中的道理

学生1：当车子沿着直线走时，车轴到车轮与地面接触点的距离，决定着车身的高低、是否平稳，圆形的车轮子可以保持车子的平稳运行。

学生2：如果车轮子是方的，当车子沿着直线走时，车轴到车轮与地面接触点的距离，有高有低，这时，车子运行上下起伏，颠簸，既不舒服，也很容易导致车身的破损。

教师(汇总学生的观点)：只有当车轮做成圆形时，车子才能平稳运行。而平稳运行的要害在于，车轮的边缘上的每一个点到中心（即车轴所在的位置）的距离保持不变，这样的平面图形在我们的生活中随处可见。大家能否给这样的图形起个名字？ 学生纷纷说出自己的主意，“圆”等等。 教师板书“圆”：

如果一个封闭的平面图形,其边缘上的每一个点到某个点的距离保持不变,那么,这样的图形叫做圆。

教师用课件演示一条线段（即车条）绕着一个这条线段的一个端点（即车轴）旋转一周，移动的点所形成的封闭图形就构成一个圆。 （２）教师同时出示圆各部分的名称

在圆的概念中，保持不变的定长叫做圆的半径，定点叫做圆的圆心。 环节５．表达交流、解释应用

（１）联系生活，深化对于圆的概念的理解

师：除了车轮是圆形的，在日常生活中，你还看见过哪些物体是圆形的吗？ 学生举例：

下水道的盖子通常做成圆形的。 喷水池的形状通常做成圆形的。 …

教师收集了一些关于圆的图片，并通过屏幕（课件演示）展示给学生。 （２）操作探究，折出一个圆纸片

①教师出示问题：如何用纸片折出一个圆纸片？ ②学生自主操作、探索，并进行小组交流、合作：

部分学生用一张纸片对折，二次对折，以后每次对折都经过第一次、第二次对折折痕的交点，折到不能对折为止。沿着边缘某个位置撕（保证撕透每一层），就可以得到一个圆形纸片。

教师适时地指导，并组织个别学生进行全班交流。 ③教师组织学生回味自己折纸的过程：

将折好的圆形图片，对折后打开，换个方向后再对折打开，看有几条折痕，相交吗？再折几次，说说你发现了什么？为什么这样对折后就可以得到一个圆形纸片？ 学生相互交流自己的发现：所有的折痕都相交于一点，这一点在圆的中心。 （３）给出圆的相关概念

①教师揭示：这一点我们把它叫做圆心，用字母“ο”表示。 ②连一连，认识半径、直径

连接圆心和圆上任意一点的线段是圆的半径，用字母“γ”表示。

③教师出示问题：同一个圆里能画出多少条半径？这些半径的长度会有什么关系呢？ 学生通过思考、讨论和实际测量认识到在同一个圆里有无数条半径，所有的半径的长度都相等。

④教师给出直径的定义：

通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做圆的直径，用字母“d”表示 ⑤学生互相指一指直径，并在自己画出的圆里画出一条直径。 ⑥教师出示问题：

同一个圆里有多少条直径，所有的直径的长度都相等吗？ 学生通过思考、讨论和实际测量认识到在同一个圆里有无数条直径，所有的直径的长度都相等。

（４）探索直径与半径的关系

①教师出示问题：刚才我们认识了圆心、半径、直径以及半径、直径的特征，那么，在同一个圆里半径和直径之间会有什么关系呢？

②学生自己先动手测量、比较，然后小组探讨交流。 ③小组代表发言

小组一：我们通过测量发现直径的长度是半径的2倍；

小组二：我们把直径对折过去发现刚好是两个半径的长度，所以认为直径是半径的2倍。

④教师归纳小结：

在同一个圆里，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的一半。用字母表示是：d=2r或r=d/2。

注释（设计意图）：这一环节主要以动手操作为主线，通过折一折、量一量、指一指、比一比等活动，让学生自主参与，合作探究、分组交流，给予学生充分展示自我和展开探究活动的空间，让学生在自主探究中发现新知，学生学习的过程是感知的过程，是体验的过程，是感悟的过程，学生在感知、体验、感悟中发现新知，掌握新知。

（５）动手操作，掌握圆的画法

①认识圆规，教师介绍圆规各部分的名称。 ②教师在黑板上示范画圆。

③学生用圆规画圆，指名学生演示画圆，并让学生边演示边归纳画圆的步骤和方法。 ④画一个半径是3厘米的圆，并用字母标出圆心、半径和直径。画完后同桌互相检验。

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