高等代数考研真题 第一章 多项式(2)

48、（东南2004—15分）设a1,a2?,an互不相同的整数，

（1）求证g(x)在有理数域Q上不可约。 g(x)?(x?a1)(x?a2)?(x?an)?1，

（2）对于整数t≠?1，问h(x)?(x?a1)(x?a2)?(x?an)?t在有理数域Q上是否可

约，为什么？

49、（浙大2004—10分）设整系数多项式f(x)的次数是n?2m或n?2m?1（其中为正整

数）。证明：如果有k(?1)个不同的整数?1,L,?k使f(?i)取值?1或1则f(x)在有理数域上不可约。（提示：用反证法）

50、（北师大2005—10分）试用n元初等对称多项式?(x)??i???ixi?xi,k?1,2,?,n表

1k1k达下列多项式：

2（1）n?2，(x1?x2)

2（2）?x1x2，此处?表示对脚标进行所有可能的n元置换后对不同的项求和

4（3）?x1

51、（西安交大2005—12分）求由下述行列式所表示的一元多项式f(x)的最高次幂项：

?1?nf(x)??2?1x?xx?3?2?1????4?3?2?xx?????n?n?1?n?2??n?1?其中，a1,a2?,an为数域P中的数。

?3?2

?1x?2?152、（西安电子科大2005—12分）设f0(x),f2(x),?,fn?1(x)是n?1（n?2）个多项式，

nnn?2n23n?1fn?1(x)能被1?x?x???x整除，证明：如果多项式f1(x)?xf2(x)???x则每个fi(x)(i?1,2,?,n?1)的所有系数之和为零。

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53、（华南师大2004—15分）设c是复数，并且是有理数Q上的一个非零多项式的根，令J={f(x)?Q(x)f(c)?0}。证明J中存在唯一的首项系数为1的多项式p(x)，使得对于任意f(x)∈J，f(x)?p(x)q(x),q(x)?Q(x)

54、（华南师大2003—15分）设f(x),g(x)是数域F上的多项式，m是一正整数。

证明：fm(x)gm(x)?f(x)g(x)

55、（华南师大2004—15分）设f(x)是数域F上的多项式，f(x)?cp1(x)p2(x)?psks(x)

是其标准分解式（c?0,ki?0,pi(x)是首项系数为1不可约多项式），f?(x)是f(x)的导数。证明：（1）

f(x)(f(x),f?(x))?cp1(x)p2(x)?ps(x)

k1k2 （2）f(x)无重因式当且仅当(f(x),f?(x))=1

56、（华南师大2002—12分）设f(x)，g(x)是数域F上的多项式，

f(x)?d(x)f1(x),g(x)?d(x)g1(x)，证明：d(x)是f(x),g(x)的最大公因式当且仅当 (f1(x),g1(x))?1

57、（华南师大1999—20分）（1）设a≠0，证明：(xm?am)(xn?an)的充要条件mn； （2）设f(x),g(x),h(x)是数域F上的多项式，证明(f(x),g(x)h(x))?1的充要条件是

(f(x),g(x))?1且(f(x),h(x))?1

58、（华南师大2005—15分）令f(x)与g(x)是数域F上的多项式， a,b,c,d∈F且ad?bc

≠0，证明(af(x)+bg(x),cf(x)+dg(x))/=(f(x),g(x))

59、（华南师大1998—15分）设F是数域，f1(x),?,fn?1n?1(x)?F[x],a?F,a?0

证明：若(x?a)

n?i?0fi(x)x，则必有(x?a)fi(x),i?0,1,2,n?1

ni7

60、（华南师大1998—10分）求多项式f(x)?6x4?x3?5x2?x?1的有理数。

61、（华南师大2000—20分）（1）设f(x),g(x)是两个不同时为0的实系数多项式，证明：对于任意正整数n，(f(x),g(x))n?(fn(x),gn(x))

（2）设是a一个实数，证明：多项式f(x)?xn?axn?1?a2xn?2???an?1x?an最多只有一个实根（不计重数）

62、（华南师大1997—10分）设f(x)?x3?a2x2?a1x?a0，ai为整数，i?0,1,2 如果a2a0?a1a0为奇数，证明：f(x)无正整根。

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