2017-2018学年上海市复旦附中高二(上)期末数学试卷(2)

5．（3分）已知椭圆值为 4

【分析】求出双曲线的两焦点坐标，即为椭圆的焦点坐标，即可得到c的值，然后根据椭圆的定义得到a，最后利用a，b，c的关系即可求出a的值． 【解答】解：双曲线由此得a=3，b=c=2

，

，

，

与双曲线

有相同的焦点，则a的

椭圆中，则a2=b2+c2=4+12=16． 则a的值为4． 故答案为：4．

【点评】此题考查学生掌握圆锥曲线的共同特征，会求椭圆的标准方程，是一道综合题．本题还考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，利用条件求出a，b，c值，是解题的关键．

6．（3分）设F1和F2为双曲线4x2﹣2y2=1的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2=60°，则△F1PF2的面积是

【分析】利用双曲线的简单性质，通过双曲线焦点三角形面积公式，求出△F1PF2的面积．

【解答】解：∵F1、F2是双曲线4x2﹣2y2=1的两个焦点，P是此双曲线上的点，∠F1PF2=60°，可得b=

，

．

由双曲线焦点三角形面积公式故答案为：

．

【点评】本题考查双曲线的简单性质，双曲线焦点三角形面积公式的应用，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线的简单性质的合理运用．

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7．（3分）已知抛物线y2=4x的焦点F和A（1，1），点P为抛物线上的动点，则|PA|+|PF|取到最小值时点P的坐标为 （

）

【分析】设点P在准线上的射影为D，由抛物线的定义把问题转化为求|PA|+|PD|的最小值，同时可推断出当D，P，A三点共线时|PA|+|PD|最小，答案可得． 【解答】解：过点P作PB垂直于准线，过A作AH垂直于准线，PA+PF=PA+PB≤AH，

此时最小，点P与点A的坐标为相同，所以点P为故答案为：

．

．

【点评】本题考查了抛物线的定义与标准方程、平面几何中求距离和的最小值等知识，正确运用抛物线的定义是关键．

8．（3分）椭圆

+

=1上的点到直线l：x﹣2y﹣12=0的最大距离为 4 ．

【分析】先将椭圆方程化为参数方程，再求圆心到直线的距离d，利用三角函数的性质求其最大值，故得答案． 【解答】解：由题意，设P（4cosθ，2则P到直线的距离为d=当sin（θ﹣故答案为：4

）=1时，d取得最大值为4．

， sinθ）

=

，

【点评】本题主要考查椭圆的特殊性，利用了椭圆的几何性质和点到直线的距离

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公式，属于基础题．

9．（3分）双曲线

的左右焦点分别为F1、F2，P为右支上一点，且

，或

，

则双曲线渐近线的夹角为

【分析】利用双曲线的定义，求出

，通过焦点三角形面积公式求出b，

然后求出双曲线的渐近线方程，即可得到双曲线渐近线的夹角． 【解答】解：根据题意由焦点三角形面积公式渐近线为夹角为故答案为：

，

，或

，或

．

．

，

则

， ，∴b2=6，

【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，注意焦点三角形面积公式的应用．

10．（3分）已知定点P（﹣4，0）和定圆Q：x2+y2=8x，动圆M和圆Q外切，且经过点P，求圆心M的轨迹方程 双曲线

的左支

【分析】画出图形，利用双曲线的定义转化求解即可．

【解答】解：结合图象可得，MQ﹣MP=4，可得a=2，c=4，则b=M的轨迹为双曲线

的左支．

，

故答案为：双曲线的左支．

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【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，及解方程的求法，考查计算能力．

11．（3分）设直线l与抛物线y2=4x相交于A、B两点，与圆（x﹣5）2+y2=r2（r＞0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条．则r的取值范围是 2＜r＜4 ．

【分析】先确定M的轨迹是直线x=3，代入抛物线方程可得y=±2与圆心（5，0）的距离为4，即可得出结论．

【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0）， 斜率存在时，设斜率为k，则y12=4x1，y22=4x2， 相减得（y1+y2）（y1﹣y2）=4（x1﹣x2）， 当l的斜率存在时，利用点差法可得ky0=2， 因为直线与圆相切，所以即M的轨迹是直线x=3． 将x=3代入y2=4x，得y2=12， ∴﹣2

＜y0＜2

，

=﹣，所以x0=3，

，所以交点

∵M在圆上， ∴（x0﹣5）2+y02=r2， ∴r2=y02+4≤12+4=16， ∵直线l恰有4条， ∴y0≠0， ∴4＜r2＜16，

故2＜r＜4时，直线l有2条；

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斜率不存在时，直线l有2条； 所以直线l恰有4条，2＜r＜4， 故答案为：2＜r＜4．

【点评】本题考查直线与抛物线、圆的位置关系，考查点差法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题

12．（3分）已知l1：mx﹣y﹣3m+1=0与l2：x+my﹣3m﹣1=0相交于点P，线段AB是圆C：（x+1）2+（y+1）2=4的一条动弦，且值是 3 ，则

的最小

【分析】根据l1与l2的解析式，得到l1⊥l2，l1过定点（3，1），l2过定点（1，3），

22从而得到点P轨迹为圆（x﹣2）+（y﹣2）=2，作垂直线段CD⊥AB，求得CD=1，

则﹣1．

，得到的最小值是3

【解答】解：∵l1：mx﹣y﹣3m+1=0与l2：x+my﹣3m﹣1=0， ∴l1⊥l2，l1过定点（3，1），l2过定点（1，3）， ∴P轨迹为圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=2， 作垂直线段CD⊥AB，CD=1， 则∴最小值为故答案为：3

，

﹣1

【点评】本题主要考查了直线与圆相交的性质，理解题意是关键，是中档题．

二．选择题

13．（3分）当ab＜0时，方程ax2﹣ay2=b所表示的曲线是（ ） A．焦点在x轴的椭圆 B．焦点在x轴的双曲线 C．焦点在y轴的椭圆 D．焦点在y轴的双曲线 【分析】化简方程，然后判断表示的曲线即可． 【解答】解：当ab＜0时，方程ax2﹣ay2=b化简得点坐标在y轴上；

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，方程表示双曲线．焦

故选：D．

【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．

14．（3分）已知点P（a，b）（ab≠0）是圆O：x2+y2=r2内一点，直线m是以P为中点的弦所在的直线，若直线n的方程为ax+by=r2，则（ ） A．m∥n且n与圆O相离 B．m∥n且n与圆O相交 C．m与n重合且n与圆O相离 D．m⊥n且n与圆O相离

【分析】利用直线m是以P为中点的弦所在的直线可求得其斜率，进而根据直线n的方程可判断出两直线平行；表示出点到直线n的距离，根据点P在圆内判断出a，b和r的关系，进而判断出圆心到直线n的距离大于半径，判断出二者的关系是相离．

【解答】解：直线m是以P为中点的弦所在的直线 ∴直线m⊥PO， ∴m的斜率为﹣， ∵直线n的斜率为﹣ ∴n∥m

圆心到直线n的距离为∵P在圆内， ∴a2+b2＜r2， ∴

＞r

∴直线n与圆相离 故选：A．

【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系．直线和圆的位置关系分相交，相离，相切三种状态，常利用圆心到直线的距离与半径的大小关系来判断．

15．（3分）椭圆

上有n个不同的点P1，P2，P3，…，Pn，椭圆右焦点F，

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