2017-2018学年上海市复旦附中高二(上)期末数学试卷

2017-2018学年上海市复旦附中高二（上）期末数学试卷

一.填空题

1．（3分）准线方程为y+1=0的抛物线标准方程为

2．（3分）已知圆O：x2+y2=5和点A（1，2），则过点A且与圆O相切的直线方程是 ． 3．（3分）若椭圆

+

=1的弦被点（4，2）平分，则此弦所在直线的斜率为 ．

4．（3分）参数方程（θ为参数，且θ∈R）化为普通方程是

5．（3分）已知椭圆值为

与双曲线有相同的焦点，则a的

6．（3分）设F1和F2为双曲线4x2﹣2y2=1的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2=60°，则△F1PF2的面积是

7．（3分）已知抛物线y2=4x的焦点F和A（1，1），点P为抛物线上的动点，则|PA|+|PF|取到最小值时点P的坐标为 8．（3分）椭圆

+

=1上的点到直线l：x﹣2y﹣12=0的最大距离为 ．

9．（3分）双曲线的左右焦点分别为F1、F2，P为右支上一点，且

，

则双曲线渐近线的夹角为

10．（3分）已知定点P（﹣4，0）和定圆Q：x2+y2=8x，动圆M和圆Q外切，且经过点P，求圆心M的轨迹方程

11．（3分）设直线l与抛物线y2=4x相交于A、B两点，与圆（x﹣5）2+y2=r2（r＞0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条．则r的取值范围是 ．

12．（3分）已知l1：mx﹣y﹣3m+1=0与l2：x+my﹣3m﹣1=0相交于点P，线段AB是圆C：（x+1）2+（y+1）2=4的一条动弦，且

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，则的最小

值是

二．选择题

13．（3分）当ab＜0时，方程ax2﹣ay2=b所表示的曲线是（ ） A．焦点在x轴的椭圆 B．焦点在x轴的双曲线 C．焦点在y轴的椭圆 D．焦点在y轴的双曲线

14．（3分）已知点P（a，b）（ab≠0）是圆O：x2+y2=r2内一点，直线m是以P为中点的弦所在的直线，若直线n的方程为ax+by=r2，则（ ） A．m∥n且n与圆O相离 B．m∥n且n与圆O相交 C．m与n重合且n与圆O相离 D．m⊥n且n与圆O相离 15．（3分）椭圆数列{|PnF|}是公差大于A．2017

B．2018

上有n个不同的点P1，P2，P3，…，Pn，椭圆右焦点F，的等差数列，则n的最大值为（ ） C．4036

D．4037

16．（3分）如图，过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，以AB为直径的圆与准线l的公共点为M，若∠AMF=60°，则∠MFO的大小为（ ）

A．15° B．30° C．45° D．不确定 三.解答题

17．已知抛物线C：y2=4x与直线l交于A、B两点 （1）若直线l的方程为y=2x﹣4，求弦AB的长度；

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（2）O为坐标原点，直线l过抛物线的焦点，且△AOB面积为方程．

18．已知双曲线

．

，求直线l的

（1）求与双曲线C有共同的渐近线，且实轴长为20的双曲线的标准方程； （2）P为双曲线C右支上一动点，点A的坐标是（4，0），求|PA|的最小值． 19．已知曲线C1：x2+y2=4，点N是曲线C1上的动点． （1）已知定点M（﹣3，4），动点P满足

，求动点P的轨迹方程；

得到点B，

（2）设点A为曲线C1与x轴的正半轴交点，将A沿逆时针旋转点N在曲线C1上运动，若20．已知椭圆

，求m+n的最大值． ，四点P（1）、P（1）、11，20，

、

中恰有三点在椭圆C上．

（1）求C的方程：

（2）椭圆C上是否存在不同的两点M、N关于直线x+y=1对称？若存在，请求出直线MN的方程，若不存在，请说明理由；

（3）设直线l不经过点P2且与C相交于A、B两点，若直线P2A与直线P2B的斜率的和为1，求证：l过定点．

21．已知曲线Γ：2（a﹣2）x﹣by2+b﹣4=0（a，b∈R）

（1）若a=b=4，求经过点（﹣1，0）且与曲线Γ只有一个公共点的直线方程： （2）若a=4，请在直角坐标平面内找出纵坐标不同的两个点，此两点满足条件：无论b如何变化，这两个点都不在曲线Γ上；

（3）若曲线Γ与线段y=x（0≤x≤1）有公共点，求a2+b2的最小值．

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2017-2018学年上海市复旦附中高二（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一.填空题

1．（3分）准线方程为y+1=0的抛物线标准方程为 x2=4y

【分析】根据准线方程为y=﹣1，可知抛物线的焦点在y轴的正半轴，再设抛物线的标准形式为x2=2py，根据准线方程求出p的值，代入即可得到答案． 【解答】解：由题意可知抛物线的焦点在y轴的正半轴， 设抛物线标准方程为：x2=2py（p＞0）， ∵抛物线的准线方程为y=﹣1， ∴=1， ∴p=2，

∴抛物线的标准方程为：x2=4y． 故答案为：x2=4y．

【点评】本题主要考查抛物线的标准方程、抛物线的简单性质．属基础题．

2．（3分）已知圆O：x2+y2=5和点A（1，2），则过点A且与圆O相切的直线方程是 x+2y﹣5=0 ．

【分析】利用过圆x2+y2=r2上的一点（x0，y0）的切线方程为 x0x+y0y=r2，可得结论．

【解答】解：由于A（1，2）在圆O：x2+y2=5上，故过点A且与圆O相切的直线方程是x+2y﹣5=0， 故答案为：x+2y﹣5=0．

【点评】本题主要考查奇圆的切线方程，利用过圆x2+y2=r2上的一点（x0，y0）的切线方程为 x0x+y0y=r2，属于基础题．

3．（3分）若椭圆

+

=1的弦被点（4，2）平分，则此弦所在直线的斜率为

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．

【分析】设出弦的两个端点坐标，代入椭圆方程后作差，整理后即可得到弦所在直线的斜率的等式，代入弦中点坐标后即可得到

【解答】解：设弦的两个端点为A（x1，y1），B（x2，y2）， 则

+

=1，①，

+=1，②．

①﹣②得：

∵点（1，2）是弦的中点 ∴x1+x2=8，y1+y2=4， ∴k=

=﹣．

=﹣．

故答案是﹣．

【点评】本题考查了直线和圆锥曲线的关系，涉及弦中点问题，常采用“点差法”，是中档题．

4．（3分）参数方程

（θ为参数，且θ∈R）化为普通方程是 x2+y=3

【分析】由sin2θ+cos2θ=1，得y﹣2+x2=1，由此能求出普通方程． 【解答】解：∵参数方程

∴由sin2θ+cos2θ=1，得y﹣2+x2=1， ∴参数方程故答案为：x2+y=3．

【点评】本题考查曲线的普通方程的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．

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（θ为参数，且θ∈R），

（θ为参数，且θ∈R）化为普通方程是x2+y=3．

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