北航-2011-2012第一学期期中考试[1](2)

1） 写出f(x)和f'(x)在x?x0处的Taylor公式； 2） 证明 lim?(h)?h?01. 2解：

1）f'(x0?h)?f'(x0)?f''(x0)h?o(h)，

f(x0?h)?f(x0)?f'(x0)h?1''f(x0)h2?o(h2). 22) 由f'(x)在x?x0处的泰勒展开式知

f(x0?h)?f(x0)?f'(x0??(h)h)h?f(x0)?(f'(x0)?f''(x0)?(h)h?o(?(h)h))h ?f(x0)?f'(x0)h?f''(x0)?(h)h?o(h)与f(x)在x?x0处的Taylor展开式

22 （1）

1111o(h2)22lim?(h)?比较可得f''(x0)?(h)h?f''(x0)h?o(h)，即?(h)??，因此。 2h?0222f''(x0)h2建议评分标准：Taylor展式各3分，（1）式3分，?(h)的表达式4分，最后求极限得结论2分。

六． （10分）设f'(x)在(0,a]连续，且极限lim证明：由于函数x?0?xf'(x)存在，证明f(x)在(0,a]上一致连续.

xf'(x)在(0,a]连续，且极限limxf'(x)存在，xf'(x)可以扩充为[0,a]上的

x?0连续函数，因此xf'(x)在(0,a]上有界，取M?0，使得|

xf'(x)|?M对所有x?(0,a]成立。

f(x1)?f(x2)?2?f'(?)成

x1?x2对于任意的x1?x2?(0,a]，由Cauchy中值定理，存在?，使得立，因此|f(x1)?f(x2)|?2M|x1?x2|总是成立。由于x在[0,a]上一致连续，任取??0，

x1?x2|?存在??0，只要|x1?x2|??，就有|?2M，此时|f(x1)?f(x2)|??，因此f(x)在

(0,a]上一致连续。

建议评分标准：xf'(x)的有界性3分，Cauchy中值定理的使用3分，一致连续性判断4分。

附加题：

七． 下面题目任选其一（10分）

6

1） 设f(x)?C[0,1]，且 M(x)=f(x)>0，令

maxf(t),x [0,1]

0＃tx证明：函数Q(x)=lim(f(x))n连续的充要条件是

n?M(x)f(x)是单调递增的.

2） 证明开区间套定理

1） 设开区间序列In??an,bn?,n?N*满足

a1

),

?limbn??.

n??2）区间长度 |In|=bn-an?0 (n 则存在唯一????a,b? 满足limaiii?1n???n解：1）的证明：先证必要性，易知当

当f(x)=M(x)时，Q(x)=1，f(x)￡M(x)总是成立，

f(x)

成立，则

f(x2)

Q(x2)=0，设

[Q0,x1，由]Q(x)连续性知Q(a)=0。又易知Q(0)=1，因此

x?aa10。由a的取法，当x

Q(x)连续矛盾。

再证充分性，若连续。

建议评分标准：Q(x)的性质的讨论3分，充分性3分，必要性4分

2）的证明：由于an是单调递增的且有上界b1，因此liman存在，由于bn是单调递减的且有下界

n?则f(f(x)是单调上升的，x)=M(x)总是成立，此时Q(x)o因此Q(x)1，

a1，因此limbn存在，又由于limbn-an=0，因此liman=limbn，记x=liman=limbn，

n?n?n?n?n?n?由单调有界数列的性质知，任取自然数n, 有x?an+1?an及x?bn+1'因此x?(an,bn). 因bn，

此??

??a,b?. 若还存在另一点????a,b?，则对不等式?'iiiii?1i?1??an两侧取极限知?'??，类

7

似地，由?'?bn知?'??，因此?'??，由此得?的唯一性。

建议评分标准：由单调有界得极限的过程6分，?满足的性质讨论2分，唯一性讨论2分。

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