北京航空航天大学
2011－2012 学年第一学期期中考试
《 工科数学分析(I) 》 试卷
班号 学号 姓名 成绩
题 号 成 绩 阅卷人 校对人 一 二 三 四 五 六 七 总分
2011年11月25日
一． 计算下列各题（每道题目5分，共40分）
1) 用Stolz定理计算极限 limn?1+2+3+L+nn2n+1n213243n+1n.
解：使用Stoltz定理，
1+2+3+L+nlimn?n2213243nn1=lim2=lim= 2n?n-(n-1)n?2n-12n+1nn+1n建议评分标准：使用Stoltz定理3分，求出答案2分
2) 设
解：
f(x)=(x3+x2+1)xx 求f'(x).
f'(x)=(3x2+2x)xx+(x3+x2+1)(lnx?xxxx)
建议评分标准：加号前面一部分2分，加号后面一部分3分。
3） 求极限lim1x(1?x)?e.
x?0x1ln(1?x)?1x1x(1?x)?ee?1?limex?0x?0xx解：
11ln(1?x)?1?1ln(1?x)?xex1?x?lime?lime?lime??x?0x?0x?0xx22x2lim
建议评分标准：转换指数形式1分，使用L’hostpital法则3分，答案1分
4） 求函数
''f(x)=3x2(x2-4x)的拐点.
40-1解：f(x)=x3(x-1)，解方程f''(x)=0得x=1，再注意到f''(x)在x=0之外的
9点都有定义，因此
f(x)的可能拐点只能是0或者1，当x?(1, )时，f''(x)>0，函数
f(x)为严格凸，当x?(0,1)时，f''(x)<0，函数f(x)为严格凹，当x?( ,0)时，
f''(x)>0，函数f(x)为严格凸。因此0和1都是拐点。
建议评分标准：求出二阶导数2分，凹凸性判断3分。
2
5） 设?íì?x=a(cost+sint),???y=a(sint-tcost).求
dy. dx解：
dytsintdydx。 =atsint，=a(-sint+cost)，因此=dx-sint+costdtdtdxdy建议评分标准：，各2分，答案1分。
dtdt6） 求函数f(x)?xlnx在(0,??)上的最值.
解：f'(x)?lnx?1，由方程f'(x)?0可解得x?e。因此x?e是f(x)的唯一驻点。
易见当0?x?e时，f'(x)?0，因此f(x)在0?x?e时严格单减。在x?e时，
?1?1?1?1?1f'(x)?0，因此此时f(x)严格单增。由此可得f(x)在x?e?1取得最小值?e?1。又因为如
果f(x)有最大值，则该最大值点也应为驻点，因此f(x)没有最大值。
建议评分标准：求出一阶导数1分，求出驻点1分，判断最小值点2分，最大值点1
1?x27） 判断函数f(x)?ne间断点的类型.
x解：函数在x1当x=10时，由初等函数连续性知，均为连续点。
1x20时，f(x)没有定义，但由L’hospital 法则，我们有
?t?1xetnn!limf(x)?limn?limt2?limt2?0，其中Pn(t)为t的一个多项式。 x?0x?0xt??t??eePn(t)因此x=
建议评分标准：连续点的判断1分，L’hospital法则求极限3分，x=
20为f(x)的可去间断点。
0的间断点类型1分。
8） 求函数ln(1?x?x)在x?0处直到四阶的Taylor展开（Peano余项形式）.
x2x3x4???o(x4)知 由ln(1?x)?x?234 3
111ln(1?x?x2)?x?x2?(x?x2)2?(x?x2)3?(x?x2)4?o((x?x2)4)。
234又由o((x?x2)4)?0(x4)，当x?0时。因此
111ln(1?x?x2)?x?x2?(x?x2)2?(x?x2)3?(x?x2)4?o(x4)234。
121 ?x2?x2?x3?x4?o(x4)234另解：ln(1?x?x)?ln(1?x)?ln(1?x)?x?232122314x?x?x?o(x4)。 234建议评分标准：ln(1?x)或者ln(1?x)的泰勒展开式2分，剩下的计算3分。 二． 证明下面问题（15分）
x31） sinx?x??x?0?;
6x3x2?，F''(x)??sinx?x. 当证明：构造函数F(x)?sinx?(x?)，则F'(x)?cosx?162x?0时，因此F'(x)严格单调递增，因此F'(x)?F'(0)?0，因此F(x)F''(x)??sinx?x?0，
x3严格单调递增，因此F(x)?0在x?0时成立，因此sinx?x??x?0?。
6建议评分标准：构造函数F(x)得2分，判断F'(x)单调性3分，判断F(x)单调性3分
2） 设函数y?xn?1lnx(n为正整数)，证明y(n)?(n?1)!. x证明：用数学归纳法，n?1时，y?lnx，y'?1，命题成立。 xkk?1假设当n?k时命题成立，则当n?k?1时，y?xlnx，y'?kxlnx?xk?2。易得
y(k?1)?(kxk?1lnx?xk?2)(k)?k(xk?1lnx)(k)?k(k?1)!k!?。 xx命题对n?k?1也成立，所以该命题对所有正整数n都成立。
建议评分标准：n?1的证明2分，对n?k?1时，求出y'得2分，归纳过程3分。
三． （10分）设A?0,0?x1?11,xn?1?xn(2?Axn) (n?1,2,?)，证明不等式xn?xn?1?对AAn??所有正整数n成立，并求出极限limxn. 证明：用数学归纳法，n?1时，
4
1x2?x1(2?Ax1)?x1(2?A)?x1，
A111x2?x1(2?Ax1)??A(x1?)2?。
AAA1不等式成立，假设n?k时，xk?xk?1?成立，则n?k?1时，
A1xk?2?xk?1(2?Axk?1)?xk?1(2?A)?xk?1，
A111xk?2?xk?1(2?Axk?1)??A(xk?1?)2?。
AAA1不等式也成立。因此xn?xn?1?对所有正整数n都成立。
A
由于xn单调上升有上界，知limxn存在，设limxn?a，则a满足方程a?a(2?Aa)，解得a?0，
n??n??或a?11，由a?x1知a?0不成立，因此limxn?。
n??AA
建议评分标准：使用数学归纳法证明不等式5分，求极限5分。
四． （10分）用Cauchy收敛原理证明下面数列收敛
xn?sin2xsin3xsinnx????.
2(2?sin2x)3(3?sin3x)n(n?sinnx)解：对数列xn?sin2xsin3xsinnx????而言，
2(2?sin2x)3(3?sin3x)n(n?sinnx)|xn?p?xn|?|sin(n?1)xsin(n?2)xsin(n?p)x????|(n?1)(n?1?sin(n?1)x)(n?2)(n?2?sin(n?2)x)(n?p)(n?p?sin(n?p)x)1111 ??????n(n?1)(n?1)(n?2)(n?p?1)(n?p)n1任取??0，取自然数N?[]，则对于任意的整数n?N，以及正整数p，均有|xn?p?xn|??1??n成立。因此数列{xn}收敛。
建议评分标准：不等式放缩5分，Cauchy收敛原理5分。
五． （15分）设f(x)在x0处二次可导，且f''(x0)?0，由Lagrange中值定理知存在0??(h)?1，
使得式子
f(x)?f(0x)?0?h
f'(0x??(h) h)h 成立，计算或者证明下面结论:
5
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