6 Fluent高级应用与实例分析 DF(x,y,z,t)Dt?DF[x(a,b,c,t),y(a,b,c,t),z(a,b,c,t),t]???F?x?x?t?F?xu???F?y?y?tv??F?t??F?z?z?tw???F?t?F?y?F?z?F?t (1-26)
?(v??)F?式中：D/Dt表示随体导数。
从中可以看出，对于质点物理量的随体导数，欧拉描述与拉格朗日描述大不相同。前者是两者之和，而后者是直接的偏导数。
4. 定常流动与非定常流动
根据流体流动过程以及流动过程中的流体的物理参数是否与时间相关，可将流动分为定常流动(steady flow)与非定常流动(unsteady flow)。
定常流动：流体流动过程中各物理量均与时间无关，这种流动称为定常流动。
非定常流动：流体流动过程中某个或某些物理量与时间有关，则这种流动称为非定常流动。
5. 流线与迹线
常用流线和迹线来描述流体的流动。
迹线(track)：随着时间的变化，空间某一点处的流体质点在流动过程中所留下的痕迹称为迹线。在t =0时刻，位于空间坐标(a,b,c)处的流体质点，其迹线方程为
?dx(a,b,c,t)?udt??dy(a,b,c,t)?vdt?dz(a,b,c,t)?wdt? (1-27)
式中：u、v、w分别为流体质点速度的三个分量；x、y、z为在t时刻此流体质点的空间 位置。
流线(streamline)：在同一个时刻，由不同的无数多个流体质点组成的一条曲线，曲线上每一点处的切线与该质点处流体质点的运动方向平行。流场在某一时刻t的流线方程为
dxu(x,y,z,t)?dyv(x,y,z,t)?dzw(x,y,z,t) (1-28)
对于定常流动，流线的形状不随时间变化，而且流体质点的迹线与流线重合。在实际流场中除驻点或奇点外，流线不能相交，不能突然转折。
6. 流量与净通量
流量(flux)：单位时间内流过某一控制面的流体体积称为该控制面的流量Q，其单位为m3/s。若单位时间内流过的流体是以质量计算，则称为质量流量Qm；不加说明时“流量”一词概指体积流量。在曲面控制面上有
Q???v?ndA (1-29)
A
第1章 CFD基础 7 净通量(net flux)：在流场中取整个封闭曲面作为控制面A，封闭曲面内的空间称为控制体。流体经一部分控制面流入控制体，同时也有流体经另一部分控制面从控制体中流出，此时流出的流体减去流入的流体，所得出的流量称为流过全部封闭控制面A的净流量(或净通量)，通过式(1-30)计算：
q???v?ndA (1-30)
A对于不可压缩流体来说，流过任意封闭控制面的净通量等于0。 7. 有旋流动与有势流动
由速度分解定理，流体质点的运动可以分解为： (1) 随同其他质点的平动； (2) 自身的旋转运动；
(3) 自身的变形运动(拉伸变形和剪切变形)。
在流动过程中，若流体质点自身做无旋运动(irrotational flow)，则称流动是无旋的，也就是有势的，否则就称流动是有旋流动(rotational flow)。流体质点的旋度是一个矢量，通常用?表示，其大小为
ij??yvk??zw1?2?xu?? (1-31)
若?=0，则称流动为无旋流动，否则就是有旋流动。
?与流体的流线或迹线形状无关；粘性流动一般为有旋流动；对于无旋流动，伯努利方程适用于流场中任意两点之间；无旋流动也称为有势流动(potential flow)，即存在一个势函数?(x,y,z,t)，满足：
V?grad? (1-32) 即
u?8. 层流与湍流
流体的流动分为层流流动(laminar flow)和湍流流动(turbulent flow)。从试验的角度来看，层流流动就是流体层与层之间相互没有任何干扰，层与层之间既没有质量的传递也没有动量的传递；而湍流流动中层与层之间相互有干扰，而且干扰的力度还会随着流动而加大，层与层之间既有质量的传递又有动量的传递。
判断流动是层流还是湍流，是看其雷诺数是否超过临界雷诺数。雷诺数的定义如下：
Re?VL???x，v????y，w????z (1-33)
? (1-34)
式中：V为截面的平均速度；L为特征长度；?为流体的运动粘度。
对于圆形管内流动，特征长度L取圆管的直径d。一般认为临界雷诺数为2320，即
8 Fluent高级应用与实例分析 Re?vd? (1-35)
当Re<2320时，管中是层流；当Re>2320时，管中是湍流。
对于异型管道内的流动，特征长度取水力直径dH，则雷诺数的表达式为
Re?VdH? (1-36)
异型管道水力直径的定义如下：
dH?4AS (1-37)
式中：A为过流断面的面积；S为过流断面上流体与固体接触的周长。
临界雷诺数根据形状的不同而有所差别。根据试验几种异型管道的临界雷诺数如 表1-1所示。
表1-1 几种异型管道的临界雷诺数
正方形 正三角形 偏心缝隙 管道截面形状 Re?Rec Va3? VVdH? Va? ?(D?d) 对于平板的外部绕流，特征长度取沿流动方向的长度，其临界雷诺数为5×105～3×106。
2070 1930 1000 1.2 CFD基本模型
流体流动所遵循的物理定律，是建立流体运动基本方程组的依据。这些定律主要包括质量守恒、动量守恒、动量矩守恒、能量守恒、热力学第二定律，加上状态方程、本构方程。在实际计算时，还要考虑不同的流态，如层流与湍流。
1.2.1 基本控制方程
1. 系统与控制体
在流体力学中，系统是指某一确定流体质点集合的总体。系统以外的环境称为外界。分隔系统与外界的界面，称为系统的边界。系统通常是研究的对象，外界则用来区别于系统。系统将随系统内质点一起运动，系统内的质点始终包含在系统内，系统边界的形状和所围空间的大小可随运动而变化。系统与外界无质量交换，但可以有力的相互作用，及能
第1章 CFD基础 9 量(热和功)交换。
控制体是指在流体所在的空间中，以假想或真实流体边界包围，固定不动形状任意的空间体积。包围这个空间体积的边界面，称为控制面。控制体的形状与大小不变，并相对于某坐标系固定不动。控制体内的流体质点组成并非不变的。控制体既可通过控制面与外界有质量和能量交换，也可与控制体外的环境有力的相互作用。
2. 质量守恒方程(连续性方程)
在流场中，流体通过控制面A1流入控制体，同时也会通过另一部分控制面A2流出控制体，在这期间控制体内部的流体质量也会发生变化。按照质量守恒定律，流入的质量与流出的质量之差，应该等于控制体内部流体质量的增量，由此可导出流体流动连续性方程的积分形式为
??t????dxdydz????v?ndA?0 (1-38)
VA式中：V表示控制体，A表示控制面。等式左边第一项表示控制体V内部质量的增量；第二项表示通过控制表面流入控制体的净通量。
根据数学中的奥-高公式，在直角坐标系下可将其化为微分形式：
???t?u?(?u)?x?u?x?v?(?v)?y?w?z?w?(?w)?z?0 (1-39)
对于不可压缩均质流体，密度为常数，则有
??v?y??0 (1-40)
对于圆柱坐标系，其形式为
???t??vrr??(?vr)?r?vr?r??(?v?)r????(?vz)?z?0 (1-41)
对于不可压缩均质流体，密度为常数，则有
vrr???v?r????vz?z?0 (1-42)
3. 动量守恒方程(运动方程)
动量守恒是流体运动时应遵循的另一个普遍定律，描述为：在一给定的流体系统，其动量的时间变化率等于作用于其上的外力总和，其数学表达式即为动量守恒方程，也称为运动方程，或N-S方程，其微分形式表达如下：
??????????????dudtdvdtdwdt??Fbx???Fby???Fbz??pxx?x?pxy?x?pxz?x??pyx?y?pyy?y?pyz?y??pzx?z?pzy?z?pzz?z?? (1-43)
??式中：Fbx、Fby、Fbz分别是单位质量流体上的质量力在三个方向上的分量；pyx是流体内应力张量的分量。
10 Fluent高级应用与实例分析 动量守恒方程在实际应用中有许多表达形式，其中比较常见的有如下几种。 (1) 可压缩粘性流体的动量守恒方程
????????????????????????dudt??fx??p?x???????x????u2??u?v?w?????????2?????z?????x3??x?y????w?u?????z???x??????????u?v?????y???y?xdvdt??fy??p?y??????????z??????y????v2??u?v?w?????????2?????z??????y3??x?y (1-44)
????v?w??????u?v????????????????z???z?y???x???y?x??dwdt??fz??p?z???????z????w2??u?v?w?????23??x?y?z??z????????????????w?u??????v?w??????y??????????x???x?z???z???z?z??(2) 常粘性流体的动量守恒方程
?dvdt??F?gradp??3grad(divv)???v
2 (1-45)
(3) 常密度常粘性流体的动量守恒方程
?dvdt??F?gradp???v2 (1-46)
(4) 无粘性流体的动量守恒方程(欧拉方程)
?dvdt??F?gradp (1-47)
(5) 静力学方程
?F?gradp (1-48)
(6) 相对运动方程
在非惯性参考系中的相对运动方程是研究像大气、海洋及旋转系统中流体运动的所必须考虑的。由理论力学得知，绝对速度va为相对速度vr及牵连速度ve之和，即
va?vr?ve (1-49)
其中，ve?v0???r，v0为运动系中的平动速度，?是其转动角速度，r为质点矢径。
而绝对加速度aa为相对加速度ar、牵连加速度ae及科氏加速度ac之和，即
aa?ar?ae?ac (1-50)
其中，ae?dv0dt?d?dt?r???(??r)，ac?2??vr。
将绝对加速度代入运动方程，即得到流体的相对运动方程
?dvrdt??Fb?divP?ac?2?vr
(1-51)
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