复变练习题(2)

ez5．设c为负向圆周z?4，则?dz? 5c(z??i)6．解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的 7．设f(z)在单连通域B内连续，且对于B内任何一条简单闭曲线c都有那么f(z)在B内

三、计算积分 1.

?f(z)dz?0，

c6zdz,其中R?0,R?1且R?2; ?2z?R(z?1)(z?2)dz． ?42z?2z?2z?22.

四、设f(z)在单连通域B内解析，且满足1?f(z)?1(x?B).试证 １．在B内处处有f(z)?0；

２．对于B内任意一条闭曲线c，都有

?cf??(z)dz?0 f(z)z?a?r五、设f(z)在圆域z?a?R内解析，若maxf(z)?M(r)(0?r?R)，

则f(n)(a)?n!M(r)(n?1,2,?).

rn?ezdz，从而证明?ecos?cos(sin六、求积分??)d???.

0zz?1七、设f(z)在复平面上处处解析且有界，对于任意给定的两个复数a,b，试求极限

f(z)dz并由此推证f(a)?f(b)（刘维尔Liouville定理）.

R????(z?a)(z?b)z?Rlim八、设f(z)在z?R(R?1)内解析，且f(0)?1,f?(0)?2，试计算积分

2?f(z)2?(z?1)dzcosf(ei?)d?之值. 并由此得出?2?02zz?12

第四章 级 数

一、选择题：

(?1)n?ni(n?1,2,?)，则liman( ) 1．设an?n??n?4（A）等于0 （B）等于1 （C）等于i （D）不存在

2．下列级数中，条件收敛的级数为( )

?1?3in(3?4i)n（A）?( ) （B）?2n!n?1n?1??in(?1)n?i（C） ? （D）?

n?1n?1nn?1?3．下列级数中，绝对收敛的级数为( )

?1i(?1)ni（B） ?(1?) （B）?[?n]

nn2n?1nn?1??in(?1)nin(C)? （D）? n2n?2lnnn?1??4．若幂级数

?cn?0nzn在z?1?2i处收敛，那么该级数在z?2处的敛散性为( )

（A）绝对收敛 （B）条件收敛

（C）发散 （D）不能确定 5．设幂级数

?cnz,?ncnznn?0n?0??n?1和

cnn?1z的收敛半径分别为R1,R2,R3，则?n?1n?0?R1,R2,R3之间的关系是( )

（A）R1?R2?R3 （B）R1?R2?R3 （C）R1?R2?R3 （D）R1?R2?R3 6．设0?q?1，则幂级数

?qnzn的收敛半径R?( )

n?0?2（A）q （B）

1 （C）0 （D）?? q7．幂级数

?n?1?sinn?2(z)n的收敛半径R?( ) n2（A） 1 （B）2 （C）2 （D）??

(?1)nn?18．幂级数?z在z?1内的和函数为

n?1n?0?1?z) （B）ln(1?z) （A）ln(（D）ln11 (D) ln 1?z1?z??ezn9．设函数的泰勒展开式为?cnz，那么幂级数?cnzn的收敛半径R?( )

coszn?0n?0（A）?? （B）1 （C）

? （D）? 210．级数

112??1?z?z??的收敛域是( ) 2zz（A）z?1 （B）0?z?1 （C）1?z??? （D）不存在的

11．函数

?1在z??1处的泰勒展开式为( ) z2n（A）

?(?1)n?1?n(z?1)n?1（B）(z?1?1) ?(?1)n?1n(z?1)n?1n?1??(z?1?1)

（C）??n(z?1)n?1n?1(z?1?1) （D）?n(z?1)n?1n?1(z?1?1)

12．函数sinz，在z???2处的泰勒展开式为( )

(?1)n?（A）?(z?)2n?12n?0(2n?1)!(?1)n?（B）?(z?)2n2n?0(2n)!?(z??2???)

(z??2???)

(?1)n?1?（C）?(z?)2n?12n?0(2n?1)!?(z??2???)

(?1)n?1?（D）?(z?)2n2n?0(2n)!?(z??2???)

13．设f(z)在圆环域H:R1?z?z0?R2内的洛朗展开式为

n????c?n，(z?z)c为Hn0内绕z0的任一条正向简单闭曲线，那么

f(z)?c(z?z0)2dz?( )

(A)2?ic?1 （B）2?ic1 （C）2?ic2 （D）2?if?(z0)

??3n?(?1)n,n?0,1,2,?n14．若cn??，则双边幂级数的收敛域为( ) cz?nn4,n??1,?2,?n????（A）

11?z? （B）3?z?4 4311?z??? （D）?z??? 43（C）

15．设函数f(z)?1在以原点为中心的圆环内的洛朗展开式有m个，那么

z(z?1)(z?4)m?( )

（A）1 （B）2 （C）3 （D）4 二、填空题 1．若幂级数

?cn?0?n(z?i)n在z?i处发散，那么该级数在z?2处的收敛性

为 ． 2．设幂级数

?cn?0?nz与?[Re(cn)]zn的收敛半径分别为R1和R2，那么R1与R2之间

nn?0?的关系是 ． 3．幂级数

?(2i)n?0?nz2n?1的收敛半径R?

4．设f(z)在区域D内解析，z0为内的一点，d为z0到D的边界上各点的最短距离，那么当z?z0?d时，f(z)??cn?0?n(z?z0)n成立，其中cn? ．

5．函数arctanz在z?0处的泰勒展开式为 ． 6．设幂级数

?cn?0?nnR的收敛半径为，那么幂级数的收敛半径z(2?1)cz?nnnn?0?为 ．

7．双边幂级数为 ．

?1znn(?1)?(?1)(1?)??22(z?2)n?1n?1n?的收敛域

8．函数e?e在0?z???内洛朗展开式为 ． 9．设函数cotz在原点的去心邻域0?z?R内的洛朗展开式为级数收敛域的外半径R? ． 10．函数

ncz?n，那么该洛朗?z1zn???1在1?z?i???内的洛朗展开式为 ．

z(z?i)?1nz?0三、若函数在处的泰勒展开式为，则称?an?为菲波那契(Fibonacci)az?n21?z?zn?0数列，试确定an满足的递推关系式，并明确给出an的表达式． 四、试证明 1．e?1?ezz?1?zez(z???);

(z?1);

z2．(3?e)z?e?1?(e?1)z五、设函数f(z)在圆域z?R内解析，Sn??k?0nf(k)(0)kz试证 k!11．Sn(z)?2?i???r?n?1?zn?1d?f(?)??z?n?1f(?)d??n?1(??z)??r??(z?r?R).

zn?1?Sn(z)?2．f(z）2?i?2n(z?r?R)。

n2六、设幂级数?nz的和函数，并计算?n之值.

n?1n?12七、设f(z)??an?0?nz(z?R1),g(z)??bnzn(z?R2)，则对任意的r(0?r?R1)，

nn?0?在z?rR2内

?anbnzn?n?0?12?i??r?zd?。 f(?)g()??八、设在

z?R内解析的函数f(z)有泰勒展开式

f(z)?a0?a1z?a2z2???anzn??

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