复变练习题

第二章 解析函数

一、选择题：

1．函数f(z)?3z在点z?0处是( )

（A）解析的 （B）可导的

（C）不可导的 （D）既不解析也不可导 2．函数f(z)在点z可导是f(z)在点z解析的( )

（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件

（C）充分必要条件 （D）既非充分条件也非必要条件 3．下列命题中，正确的是( )

（A）设x,y为实数，则cos(x?iy)?1

（B）若z0是函数f(z)的奇点，则f(z)在点z0不可导

（C）若u,v在区域D内满足柯西-黎曼方程，则f(z)?u?iv在D内解析 （D）若f(z)在区域D内解析，则if(z)在D内也解析 4．下列函数中，为解析函数的是( )

（A）x2?y2?2xyi （B）x2?xyi （C）2(x?1)y?i(y?x?2x) （D）x?iy 5．函数f(z)?zIm(z)在Z=0处的导数( )

（A）等于0 （B）等于1 （C）等于?1 （D）不存在

6．若函数f(z)?x?2xy?y?i(y?axy?x)在复平面内处处解析，那么实常 数a?( )

（A）0 （B）1 （C）2 （D）?2 7．如果f?(z)在单位圆z?1内处处为零，且f(0)??1，那么在z?1内

2222222332f(z)?( )

（A）0 （B）1 （C）?1 （D）任意常数 8．设函数f(z)在区域D内有定义，则下列命题中，正确的是

（A）若f(z)在D内是一常数，则f(z)在D内是一常数 （B）若Re(f(z))在D内是一常数，则f(z)在D内是一常数 （C）若f(z)与f(z)在D内解析，则f(z)在D内是一常数

（D）若argf(z)在D内是一常数，则f(z)在D内是一常数 9．设f(z)?x2?iy2，则f?(1?i)?( )

（A）2 （B）2i （C）1?i （D）2?2i 10．i的主值为( )

（A）0 （B）1 （C）e （D）e11．e在复平面上( )

（A）无可导点 （B）有可导点，但不解析 （C）有可导点，且在可导点集上解析 （D）处处解析 12．设f(z)?sinz，则下列命题中，不正确的是( )

（A）f(z)在复平面上处处解析 （B）f(z)以2?为周期

zi?2??2

eiz?e?iz（C）f(z)? （D）f(z)是无界的

213．设?为任意实数，则1( )

（A）无定义 （B）等于1

（C）是复数，其实部等于1 （D）是复数，其模等于1 14．下列数中，为实数的是( )

（A）(1?i) （B）cosi （C）lni （D）e15．设?是复数，则( )

??（A）z在复平面上处处解析 （B）z的模为z?33?i2??

（C）z一般是多值函数 （D）z的辐角为z的辐角的?倍 二、填空题

1．设f(0)?1,f?(0)?1?i，则limz?0??f(z)?1? z2．设f(z)?u?iv在区域D内是解析的，如果u?v是实常数，那么f(z)在D内是

3．导函数f?(z)??u?v?i在区域D内解析的充要条件为 ?x?x33?i)? 2233224．设f(z)?x?y?ixy，则f?(?5．若解析函数f(z)?u?iv的实部u?x2?y2，那么f(z)? 6．函数f(z)?zIm(z)?Re(z)仅在点z? 处可导

7．设f(z)?i15z?(1?i)z，则方程f?(z)?0的所有根为 58．复数i的模为 3?4i)}? 9．Im{ln(10．方程1?e三、设

?z?0的全部解为 f(z)?u(x,y)?iv(x,y)为z?x?iy的解析函数，若记

w(z,z)?u(?wz?zz?zz?zz?z,)?iv(,)，则?0． 22i22i?z四、试证下列函数在z平面上解析，并分别求出其导数 1．f(z)?cosxcoshy?isinxsinhy;

2．f(z)?ex(xcosy?ysiny)?iex(ycosy?ixsiny);

dwd2w,2. 五、设w?2zw?e?0，求

dzdz3z?xy2(x?iy)?,z?0六、设f(z)??x2?y4试证f(z)在原点满足柯西-黎曼方程，但却不可导.

?0,z?0?22七、已知u?v?x?y，试确定解析函数f(z)?u?iv.

八、设s和n为平面向量，将s按逆时针方向旋转

?????即得n.如果f(z)?u?iv为解析函2数，则有

???u?v?u?v???,??（与分别表示沿s,n的方向导数）. ?s?n?n?s?s?n九、若函数f(z)在上半平面内解析，试证函数f(z)在下半平面内解析. 十、解方程sinz?icosz?4i.

第三章 积分

一、选择题：

1．设c为从原点沿y2?x至1?i的弧段，则(x?iy)dz?( )

c?2（A）

15151515?i （B）??i （C）??i （D）?i 666666662．设c为不经过点1与?1的正向简单闭曲线，则

zdz为( ) ?2c(z?1)(z?1)（A）

?i?i （B）? （C）0 （D）(A)(B)(C)都有可能 22sinzdz? ( ) ?2c?c1?c2z3．设c1:z?1为负向，c2:z?3正向，则

（A） ?2?i （B）0 （C）2?i （D）4?i 4．设c为正向圆周z?2，则

coszdz? ( ) ?2c(1?z)1z?2dz? ( ) 2(1?z)（A）?sin1 （B）sin1 （C）?2?isin1 （D）2?isin1

5．设c为正向圆周z?1，则?2cz3cos（A）2?i(3cos1?sin1) （B）0 （C）6?icos1 （D）?2?isin1

e?d?，其中z?4，则f?(?i）?( ) 6．设f(z)????z??4（A）?2?i （B）?1 （C）2?i （D）1

7．设f(z)在单连通域B内处处解析且不为零，c为B内任何一条简单闭曲线，则积分

f??(z)?2f?(z)?f(z)dz ( ) ?cf(z)（A）于2?i （B）等于?2?i （C）等于0 （D）不能确定 8．设c是从0到1??2i的直线段，则积分?zezdz?（ ）

c（A）1??e2 (B) ?1??e2 (C)1??e2i (D) 1??e2i

sin(z)229．设c为正向圆周x?y?2x?0，则?24dz? ( )

z?1c?（A）

22?i （B）2?i （C）0 （D）??i 2210．设c为正向圆周z?i?1,a?i，则

zcoszdz?( ) ?2(a?i)c（A）2?ie （B）

2?i （C）0 （D）icosi e11．设f(z)在区域D内解析，c为D内任一条正向简单闭曲线，它的内部全属于D．如果f(z)在c上的值为2，那么对c内任一点z0,f(z0)( )

（A）等于0 （B）等于1 （C）等于2 （D）不能确定

12．下列命题中，不正确的是( ) （A）积分

z?a?r?1dz的值与半径r(r?0)的大小无关 z?a（B）

?(xc2?iy2)dz?2,其中c为连接?i到i的线段

（C）若在区域D内有f?(z)?g(z)，则在D内g?(z)存在且解析 （D）若f(z)在0?z?1内解析，且沿任何圆周c:z?r(0?r?1)的积分等于零，则f(z)在z?0处解析

二、填空题

1．设c为沿原点z?0到点z?1?i的直线段，则2zdz?

c?z2?3z?22．设c为正向圆周z?4?1，则?dz? c(z?4)2sin(?)2d?,其中z?2，则f?(3)? 3．设f(z)????2??z4．设c为正向圆周z?3，则

??cz?zdz? z

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