三种常用趋势周期分解方法的比较(2)

?代N=1。通过优化公式(8)使其达到最大值，就可以产生未知参数?的估计量。将此估计量?回状态空间模型(2)中，便得到了确定的状态空间模型，再次利用公式(5)-(7)进行循环计算产生序列，其中序列?t|t即为状态变量?t的滤波估计量。同时?t|t中的分量?t|t和ct|t即为趋势成分?t和周期成分ct的滤波估计量，也就是从序列yt中分解出来的趋势和周期成分。

2．趋势成分为局部线性趋势

这类UC模型给定趋势成分为局部线性趋势（Local Linear Trend），给定周期成分为ARMA模型，可以写成如下形式

yt??t?ct?t??t??t?1?vt2， ut~WN(0,?u) (9)

?t??t?1?ut2wt~WN(0,?w)~?(L)ct??(L)wt其中随机扰动项ut、vt和wt不相关。本文将这种模型记为UC-LL-ARMA(p,q)模型。可以看

2到，当?u?0时趋势成分退化为带飘移的随机游走过程，此时模型(9)便退化为模型(1)。当2?u??v2?0时，趋势成分便只是一个确定性的线性趋势。被广泛应用的Clark模型就是模

vt~WN(0,?v2)型(9)的一个特例，它的周期成分为一个AR(2)过程，所以可以记为UC-LL-AR(2)。Clark模型的状态空间模型形式可以写成

??t?1??1?????t?1??0?c???0?t?1???c??0?t??0???t??vt?1??????100???t??ut?1??? (10) ???0?1?2ctwt?1??????????010??ct?1??0??10yt??1010???t?tct?ct?1? (11)

22同样可以利用Kalman滤波方法估计模型(10)和(11)中的未知参数(?,?1,?2,?u,?v2,?w)，并

得到趋势成分?t和周期成分ct的估计量。

（三）BN分解方法介绍

BN分解是Beveridge and Nelson (1981)针对I(1)变量所提出的一种趋势周期分解方法。BN分解对趋势成分做了一个合理的设定，即剔除预测区间内的平均增长后，对变量的无穷远期的预测。所以趋势成分?t可以表示为

?t?limh??(yt?h|t??h) (12)

其中?为yt的平均增长率，即?yt的期望值。在此基础上，周期成分ct定义为对趋势成分?t的偏离。由于?yt为平稳过程，由Wold表述可知?yt可以表示成MA(∞)模型

?yt????t???j?1?j?t?j，对其迭代，BN分解可以表示为：

t?~dsyt?(y0??t)?(1??i??1?i)?j?1?j??j?0?j?t?j??t??t?ct (13)

其中?td?y0??t为确定性趋势，?t?(1?s??i?1?i)?tj?1?j为随即趋势，?t??td??ts即

为趋势成分；ct???j?0~?为周期成分，其中系数?~????。从以上周期分解??i?j?1ijt?jj结果可以看出，长期趋势包括确定性趋势和随机趋势，其中确定性趋势表示变量随着时间的稳定增长；随机趋势是由随机扰动项中的持久性冲击所构成，故其累积就构成一个随机游走过程。周期成分是由随机扰动项中的瞬时性冲击所形成，经过若干期后这些瞬时性冲击就将消失，因而是一个平稳过程。

如何基于BN分解的定义（13）实现趋势周期分解，其关键是如何处理无穷和，现有的文献有多种方法，Morley（2002）基于状态空间的方法表现出相对较高的精度和计算简洁而被广泛应用。本文应用Morley的方法分解趋势和周期，为此将?yt表示为ARMA(p,q)模型

(?yt??)??1(?yt?1??)????p(?yt?p??)??t??1?t?1????q?t?q (14)

基于信息准则和模型残差的Ljung-Box Q白噪声检验来确定模型（14）的最优滞后阶，使之最大限度的近似于MA(?)。对于（14），利用Harvey（1993）的方法将其表示成类似公式(2)的状态空间模型形式：

??t?1?T?t??t (15) ??y???Z?t?t其中?t?H?t，T、Z和H均为状态空间模型的系数矩阵

??11?0??1??1????????0????? Z???? H??1? (16) T????m?10?1?????????????0?0?0????m??m?1?其中m?max(p,q?1)。上述状态方程实际上是关于状态变量?t的VAR(1)过程，所以有

?t?j|t?Tj?t|t，Tj为矩阵T的j次方，将上式代入测量方程有?yt?j|t?ZTj?t|t。对趋势

定义（3）进行变换可得?t?yt?limh??示为ct??Z(?hj?1?yt?j|t，由此整理后，yt的周期成分可以表

??j?1j?1Tj)?t|t，由于??j?1T?T(I?T)所以

ct??ZT(I?T)?1?t|t (17)

其中?t|t就是状态变量?t的滤波估计量。

同样可以利用Kalman滤波方法估计模型(15)中的未知参数(?,?1,?,?p,?1,?,?q,??)，并得到状态变量?t的滤波估计量，将其代入公式(17)中就可以得到周期成分ct的估计量。

（四）SSOE模型及其与BN分解的比较 1．SSOE模型介绍

通过公式(13)可知，BN分解的趋势成分和周期成分的随机扰动项是完全相关的，这不同于传统的UC模型（其趋势和周期的随机扰动项是不相关的，如模型(1)和(9)所示）。Anderson et al. (2006)构造了一个与?yt的ARMA(p,q)模型(14)等价的模型

2yt??t?ctvt??(1)?t?t????t?1?vt， wt?[1??(1)]?t (18) ?(L)ct??(L)wt其中

~?t~WN(0,??2)?(L)?~?(L)??(1)?(L) (19)

[1??(1)](1?L)~~~?[max(p,q)?1]阶多项式，??(L)为q0?1；?(L)和?(L)分别为模型(14)中AR系数和

MA系数的多项式。从形式上看，模型(18)类似于传统的UC模型(1)，但与模型(1)中vt和wt的不相关不同，模型(18)中的趋势和周期的随机扰动项vt和wt是完全相关的，所以模型(18)被Anderson et al. (2006)称为单误差源模型（Single-Source-of-Error Model, 简称SSOE模型），

~)模型。SSOE模型(18)中未知参数的估计和趋势周期本文将模型(18)记为SSOE-ARMA(p,q的分解都可以采用与传统UC模型相同的方法。

2．SSOE模型与BN分解的比较

为了验证SSOE模型(18)与ARMA(p,q)模型(14)是等价的，SSOE模型的趋势周期分解结果和BN分解是一致的，本文以我国LGDP序列为例做如下对比分析。

与王少平和胡进（2009）保持一致，本文用ARMA(1,4)模型来拟合ΔLGDP序列。基于状态空间模型(15)，应用Kalman滤波方法得到模型中未知参数的估计值，如表2所示。在进行极大似然估计时未知参数的初值选取很重要，本文的初值来自于对ARMA(1,4)模型的非线性最小二乘估计，如表2所示。将以上用Kalman滤波方法得到的未知参数的估计值代回状态空间模型(15)中，再次利用Kalman滤波可以得到状态变量的估计值，利用公式(17)就可以得到BN分解的周期成分，如图3所示。①通过以上Kalman滤波，同时还可以得到残差εt的估计值，对其进行Ljung-Box Q白噪声检验，按通常做法此检验的自由度取为样本数的自然对数或平方根，由于一阶差分后样本数量为81，所以本文将自由度分别取为5和9，检验的p值分别为97.62和88.47。从以上检验的结果来看，用ARMA(1,4)模型来拟合ΔLGDP序列是合适的。

由公式(18)可知与ARMA(1,4)模型相对应的SSOE模型为SSOE-ARMA(1,3)模型，同样应用Kalman滤波方法，得到SSOE-ARMA(1,3)模型中未知参数的估计值，如表2所示。对比SSOE-ARMA(1,3)模型和ARMA(1,4)模型的参数估计结果，表2中ARMA(1,4)模型项目

22下的(?1,?2,?3)值是通过公式(19)由其他参数的估计值计算得到的，?v和?w的值是通过公

~~~式(18)得到的。由此可知，两个模型是等价的。将SSOE-ARMA(1,3)模型的未知参数的估计值代回状态空间模型(18)中，再次利用Kalman滤波可以得到周期成分的估计量，它与ARMA(1,4)模型所得的周期成分估计量完全相等，如图3所示，这也再次说明了两个模型是等价的。通过以上Kalman滤波，同时还可以得到随机扰动项vt和wt的估计值，对其进行 ① 由于我国LGDP序列波动的持久性很强，按Nelson (2008)所述对周期成分的符号进行了反转。

Ljung-Box Q白噪声检验，自由度分别取为5和9，对残差vt检验的p值分别为97.36和88.54，对残差wt检验的p值分别为99.34和90.19，从以上检验的结果来看，为LGDP序列建立SSOE-ARMA(1,3)模型是合适的。

表2 ARMA(1,4)和SSOE-ARMA(1,3)模型估计结果的比较

初值 ARMA(1,4) SSOE-ARMA(1,3) 初值 ARMA(1,4) SSOE-ARMA(1,3) ?2.45 ?1 0.51 0.5576 0.5576 ?1 -0.46 -0.5009 ?2 0.04 -0.0017 ?3 -0.15 -0.0327 ?4 0.44 0.3325 ??2 0.67 0.6553 2.5060 2.5060 ~?1 ?2 “0.37” ~?3 “0.55” ~?v2 “2.19” 2 ?w似然值 -99.0638 -99.0638 “0.42” “0.43” “0.4215” 0.4215 “0.3718” “0.3738” “0.4146” “2.1280” 0.3718 0.3738 0.4146 2.1280 注：此处的初值来自Δyt的ARMA(1,4)模型的非线性最小二乘估计，带引号的值是由相应项目下的其他值通过公式(18)和(19)计算得到的。 420-2-40.8UC-LL-AR(2)0.40-0.4-0.8TSOE-LL-AR(2)1991Q11993Q11995Q11997Q11999Q12001Q12003Q12005Q12007Q12009Q12011Q11991Q11993Q11995Q11997Q11999Q12001Q12003Q12005Q12007Q12009Q1 2011Q1 图3 BN分解和SSOE模型分解结果 图4 Clark模型扩展前后对比 （五）对UC模型的扩展——TSOE模型

在传统的UC模型(1)中随机扰动项vt和wt是不相关的，但在SSOE模型(18)中随机扰动项vt和wt是完全相关的，既然随机扰动项vt和wt可以不相关，也可以完全相关，那么它们的相关系数也就应该可以为任意值，此时的模型被称为双误差源模型（Two-Source-of-Error Model, 简称TSOE模型）。显然TSOE模型是对传统UC模型和SSOE模型的扩展，与传统UC模型(1)和(9)相对应，将对其扩展的TSOE模型分别记为TSOE-RW-ARMA(p,q)和TSOE-LL-ARMA(p,q)。

下面以传统的Clark模型，即UC-LL-AR(2)模型和扩展后的Clark模型，即TSOE-LL-AR(2)为例，对我国LGDP序列进行建模和趋势周期分解，从而对两个模型进行比较。未知参数的估计结果如表3所示。从表3中可以看到，TSOE-LL-AR(2)模型中随机扰动项vt和wt的相关系数的估计结果为-0.27，这说明趋势成分和周期成分之间是存在着负相关，那么传统UC模型中假定两者不相关是不合适的。

将估计值代回UC-LL-AR(2)和TSOE-LL-AR(2)的状态空间模型中，再次利用Kalman滤波可以得到趋势和周期的估计值。图4展示了两模型所得的周期成分的估计结果，可以看出两个周期间存在差别，但差别并不是很大。通过趋势和周期成分的估计值可以得到随机扰动项vt和wt的估计值，对其进行Ljung-Box Q白噪声检验，自由度分别取为5和9，检验结

果如表3所示。结果显示两个模型的设定都是合适的，虽然对于随机扰动项vt，模型UC-LL-AR(2)比模型TSOE-LL-AR(2)的p值高一些，但对于随机扰动项wt，后者的p值比前者高很多，所以TSOE-LL-AR(2)模型要比UC-LL-AR(2)模型更合理。

表3 Clark模型及其扩展模型的估计结果

UC-LL-AR(2) TSOE-LL-AR(2) ?1 0.1767 0.1666 ?2 -0.9656 -0.974 ?u2 0.01870 0.01841 ?v2 0.4738 0.4996 2 ?w?vw 0 LBQ-v 33.3/61.8 LBQ-w 54.0/83.0 97.2/99.1 0.006684 0.005133 -0.2707 30.6/59.3 注：LBQ-v和LBQ-w项下的值，分别表示自由度为5和9时对残差vt和wt进行Ljung-Box Q检验的p值。在对UC-LL-AR(2)模型进行估计时，1和2的初值来自ΔLGDP序列的AR(2)模型的非线性最小二乘估计，本文也尝试用ARMA(2,1)和ARMA(2,2)

2的初值分别为（0.1，?2?2?w1，1）。在对TSOE-LL-AR(2)模型进行估计时，初值来自于UC-LL-AR(2)模型，其中?vw的初值为零。

??模型中AR项的非线性最小二乘估计值作为初值，结果对未知参数的估计值是一样的。u、v和

三、HP滤波与UC模型分解的关系

HP滤波方法属于经验的趋势周期分解方法，它对趋势成分进行约束从而使某个指标达到最小，这与UC模型分解方法等基于模型的分解方法存在很大的不同，但两种方法同样可以统一在一个框架内。下面首先介绍HP滤波及其与UC模型的联系，再以我国LGDP序列为例做对比分析。

HP滤波是通过对趋势成分进行约束，从而使公式(20)达到最小值，公式(20)的第一部分反应趋势成分?t对时间序列yt的拟合程度，第二部分反应趋势成分?t的光滑程度。

?Tt?122 (20) (yt??t)2???T[(1?L)?]t?3t式中?为调节参数，?越大表明给趋势成分?t的光滑程度的权重越大。通常对于季度数据?取1600，对于年度数据取100。通过令公式(20)对趋势成分求导后的结果为零，可以得到趋势成分的估计量

??[In??(?2In)?(?2In)]?1y (21) ?其中?2In表示对n阶单位阵的两次差分。用序列yt减去趋势成分的估计量便可以得到周期成分的估计量。

Harvey and Jaeger (1993)指出HP滤波可以通过以下受约束的UC模型分解来实现

yt??t?ct?t??t?1??t?12， wt~WN(0,?w) (22)

?t??t?1?ut2?w/?u2??ct?wt222可以看出模型(21)是对UC-LL-ARMA(0,0)模型添加了?v同样可?0和?w/?u??的约束。2以利用Kalman滤波方法首先估计模型(22)中的未知参数?w，将估计量带回模型(22)后，再

2ut~WN(0,?u)利用Kalman滤波方法得到状态变量?t的平滑估计量，从而得到周期成分的平滑估计量。

为了验证以上两种方法对周期成分的估计是一致的，本文应用以上两种方法对我国

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