三种常用趋势周期分解方法的比较

第1组，数量经济理论与方法

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三种常用趋势周期分解方法的比较

孙晓涛*

（华中科技大学经济学院）

摘要：本文选取不可观测成分模型分解、BN分解和HP滤波等三种常用的趋势周期分解方法，从它们的分解原理方面进行了对比。虽然这三种方法的理论出发点是不同的，但本文的研究发现：不可观测成分模型分解和BN分解可以统一在一个扩展的不可观测成分模型框架内；HP滤波可以看作一个受约束的不可观测成分模型分解。本文同时应用我国的GDP序列对以上结论进行了验证。本文的研究还发现，我国GDP序列中的趋势成分和周期成分间存在不完全的负相关，这与传统的不可观测成分模型分解和BN分解的设定是不同的。

关键词 趋势周期分解 UC模型 BN分解 HP滤波 中图分类号 F224.0 文献标识码 A

Comparison of Three Commonly Used Trend-Cycle Decompositions

Abstract: This paper selects three commonly used trend-cycle decompositions, including unobserved components (UC) model decomposition, BN decomposition and HP filter, and compares these methods in theoretical aspects. Although the starting points of these methods are different, this study shows that UC model decomposition and BN decomposition can be unified in a broader UC model decomposition, and HP filter is consistent with a constrained UC model decomposition. At the same time, Chinese GDP is used to verify the above conclusions. Different from traditional UC model decomposition and BN decomposition, this study also finds that the trend and cycle components of Chinese GDP have non-perfect negative correlation.

Key words: Trend-Cycle Decomposition; UC Model; BN Decompositions; HP Filter

一、引言

近年来，我国经济遭受了一系列的随机冲击，如2007年下半年以来的始于猪肉价格上涨的通货膨胀，2008的汶川地震和年底的全球金融危机，2009年以来美国的量化宽松政策，2010年以来的欧洲主权债务危机。以上这些随机冲击无疑都会对我国经济产生影响，同时也正是这些随机冲击造成了我国经济的波动，即国内生产总值（GDP）的波动。另一方面，改革开放以来的33年里，我国实际GDP保持了10%的平均增长速度，这说明长期来看，我国经济一直保持着快速增长。如何分解经济中的长期增长和短期波动，也就是对GDP序 * 孙晓涛，男，1981年11月生，华中科技大学数量经济学博士研究生在读，中国数量经济学会会员。通讯地址：湖北省武汉市华中科技大学经济学院515室，邮政编码：430074，联系电话：15072438163，电子信箱：sunxt@sjp.buaa.edu.cn。

列的趋势周期分解，一直是经济学中一个最重要的研究课题。

传统的货币主义学派和凯恩斯主义学派认为经济的运行是存在一个确定性的线性趋势，随机冲击所造成的经济波动经过若干期后就将消失，不存在对经济的持久性影响。所以他们的趋势周期分解就是用时间的线性函数对GDP序列做回归，所得的样本回归直线即为趋势，残差即为周期。随着非平稳时间序列理论的建立和发展，研究发现大部分的宏观经济时间序列都表现出非平稳性（Nelson and Plosser, 1982）。基于此，GDP序列中的趋势成分不仅包含确定性的线性趋势，还包含由随机冲击所形成随机趋势，这部分随机冲击将对GDP序列有持久性的影响，从而对以上理论提出了挑战。Kydland and Prescott (1982)和Long and Plosser (1983)建立随机均衡模型来说明趋势成分也存在着波动。King et al. (1987, 1991)则通过在经典的周期理论模型中，对技术冲击引入随机游走过程，从而使趋势成分存在波动。

基于非平稳时间序列理论，计量经济学为研究趋势周期分解建立了一个广泛接受的框架，GDP序列可以被分解为趋势成分和周期成分，趋势成分包括确定性趋势和随机趋势。其中确定性趋势表示GDP随着时间的稳定增长；随机趋势是由随机扰动项中的持久性冲击所构成，对GDP序列有持久性的影响；周期成分为随机扰动项中的瞬时性冲击所构成，对GDP序列没有持久性影响。在这个框架下做变量的趋势周期分解时，由于趋势成分是由对GDP序列具有持久性影响的因素所组成的，所以需要为它指定一个非平稳过程；同时由于周期成分是由对GDP序列具有瞬时性影响的因素所组成的，所以需要为它指定一个平稳过程。正因为在此框架下，趋势和周期成分都被事先指定为服从某一过程，所以此类趋势周期分解方法也被称为基于模型（Model-Based）的分解方法。目前广泛应用的基于模型的分解方法包括两类：不可观测成分模型分解（Unobserved Components Model Decomposition, 简称UC模型分解）和BN分解（Beveridge and Nelson Decomposition）。

Harvey and Todd(1983)和Harvey (1985)奠定了UC模型分解方法的基础，Watson (1986)和Clark (1987)应用此类方法对美国GDP数据进行的应用研究都被广泛的引用，所以他们所使用的模型也被相应的称为Watson模型和Clark模型。BN分解是Beveridge and Nelson (1981)提出的趋势周期分解方法。BN分解理论提出后，Newbold（1990）、Ari?o和Newbold（1998）和Morley（2002）等为该分解理论设计了相应的算法。针对UC模型分解与BN分解之间关系的研究是目前趋势周期分解理论研究的热点，其中的研究工作包括Morley et al. (2003)、Proietti (2006)、Oh et al. (2008)和Morley (2011)等。

与基于模型的分解方法相对应的是非基于模型（Non-Model-Based）的分解方法，也被称为经验方法。这种方法并没有为趋势和周期成分事先指定应服从的过程，而是先验的假定趋势成分满足某种光滑性，①从而实现GDP序列的趋势周期分解。经验方法包括HP滤波方法、低通滤波（Lowpass Filter）方法、带通滤波（Band-Pass filter）方法、小波（Wavelet） ① 这种光滑性可以通过几种方式进行约束，如对趋势成分进行约束使某个指标达到最小（HP滤波方法），使趋势成分的频率处于某个低频区间内（低通滤波和带通滤波），使趋势成分趋近于一族事先给定函数的线性组合（小波方法）。

方法等。其中最常用的是HP滤波方法，它是由Hodrick and Prescott (1997)提出来的，由于其使用方便，从而得到了快速的推广。

国内针对GDP的趋势周期分解的研究包括，王少平和胡进（2009）利用BN分解方法，分解了我国GDP的趋势和周期成分；董进（2006）利用滤波方法对我国经济波动的周期进行了测度；杨天宇和黄淑芬（2010）用小波方法估计了我国的产出缺口。对不同趋势周期分解方法的对比研究包括：刘金全和刘志刚（2004）应用多种分解方法分解了我国GDP增长率序列的周期成分，并对分解结果进行了比较；郑挺国和王霞（2010）用实时数据对滤波方法和UC模型分解方法的分解结果进行了比较。但以上的对比研究都是针对各种方法的分解结果进行的，到目前为止，国内还没有从分解原理方面对各种方法进行对比的研究工作。为此，本文选取了三种常用的趋势周期分解方法：UC模型分解、BN分解和HP滤波，从分解原理方法对其进行对比。通过对各趋势周期分解方法原理的对比，可以使我们从更深层次了解各种方法的特性，从而为正确的选择趋势周期分解方法提供依据。

本文的结构安排如下：第二部分对UC模型分解方法和BN分解方法进行介绍，并分析两种方法之间的联系，从而对传统的UC模型进行扩展。第三部分对HP滤波方法进行介绍，并分析其与UC模型分解方法之间的联系。第四部分为结论与展望。

二、UC模型分解与BN分解

UC模型分解和BN分解都是基于模型的分解方法，所以它们都需要指定趋势和周期成分服从某种模型。由于趋势成分只含有持久性因素的影响，所以被指定为某种形式的随机游走过程。而周期成分只含有瞬时性因素的影响，所以被指定为ARMA过程。本部分将对UC模型分解和BN分解进行介绍，并分析两种方法之间的联系，从而对传统的UC模型进行扩展。

（一）数据说明

本文所用数据是以2005年1季度为基的1991年1季度至2011年2季度实际GDP的对数百分化数据，具体处理过程如下。首先用2005年季度CPI定基比数据平减2005年名义

①季度GDP数据，得到以2005年1季度为基的实际季度GDP数据，并将其转换成累计数据。

再通过1992年1季度至2011年2季度的实际GDP累计同比增长率数据，得到1991年1季度至2011年2季度的实际GDP累计数据，并处理成当月实际GDP数据。本文研究所用数据为对数百分化的实际GDP数据（简称LGDP序列）②，共包含82个观测值，如图1所示，图2为ΔLGDP序列，即LGDP序列的一阶差分。本文所用的原始数据均来自中经网统计数据库。

① 本文之所以选择2005年CPI进行平减，是因为2005年我国价格水平变化比较平稳，以2005年季度CPI数据代替季度GDP平减指数误差不大。CPI季度定基比数据可由此季度内月度的定基比数据的平均值来代替，月度定基比数据可由月度环比数据推算。

② 对数百分化数据，即将数据取对数后再乘以100，是为了使分解后的周期成分在数值上不会过小，从而方便处理，这样做并不会改变数据的性质，具体细节可参见Hamilton (1994, p.438)。

1200110010009005432101991Q11993Q11995Q11997Q11999Q12001Q12003Q12005Q12007Q12009Q12011Q11991Q11993Q11995Q11997Q11999Q12001Q12003Q12005Q12007Q12009Q1 2011Q1 图1 LGDP序列 图2 ΔLGDP序列

如前所述，UC模型分解和BN分解都是针对非平稳时间序列的，为了检验LGDP序列的平稳性，本文分别使用ADF、PP和KPSS检验。ADF和PP为单位根检验，KPSS为平稳性检验，通过综合分析三种检验方法的结果可以更好的确认结论的正确性。检验结果如表1所示，结果显示LGDP序列为I(1)过程，即变量本身是非平稳过程，其一阶差分为平稳过程。

表1 LGDP序列的单位根检验结果

被检验变量 LGDP LGDP LGDP ΔLGDP ΔLGDP ΔLGDP 检验方法 ADF PP KPSS ADF PP KPSS 检验方程的形式与估计结果 Δyt=61.35+0.1445t-0.06256yt-1+εt Δyt=61.35+0.1445t-0.06256yt-1+εt yt=939.5+2.3980t+εt Δyt=2.2122-0.8918yt-1+εt Δyt=2.2122-0.8918yt-1+εt yt=2.5037+εt 原假设 单位根 单位根 平稳 单位根 单位根 平稳 统计量值 -2.1887 -2.2125 0.1487 -8.0719 -8.0616 0.3308 临界值 结论 -3.4662 是 -3.4662 是 0.1460 否 -2.8981 否 -2.8981 否 0.4630 是 注：表中的临界值均为5%显著性水平下的临界值。表格中的yt代表被检验的变量。

（二）UC模型分解方法介绍

UC模型也被称为结构模型，它依据经济理论来为趋势和周期成分建立模型。如前所述，趋势成分被定义为只含有持久性因素的影响，所以随机游走过程是一个合理的模型。观察图1所示的LGDP序列，长期来看，LGDP序列存在一个稳定的向上趋势。为了能够拟合这种向上的趋势，趋势成分可以是一个带漂移的随机游走过程。同时这种向上的趋势可能会随着时间而改变，所以当考虑这种时变性时，趋势成分可以被扩展为一个局部线性趋势（Local Linear Trend）。下面依次介绍这两类UC模型。

1．趋势成分为带漂移的随机游走过程

这类UC模型给定趋势成分为带漂移的随机游走过程，给定周期成分为ARMA模型，用yt代表LGDP序列，这类模型可以写成如下形式

yt??t?ct?t????t?1?vt， ?(L)ct??(L)wtpvt~WN(0,?v2)wt~WN(0,?)2w (1)

~其中L为滞后算子，?(L)?I??1L????pL，?(L)?I??1L????qLq；随机扰动项

~~~vt和wt不相关。可以看出此类模型中的趋势成分为一个带漂移的随机游走过程，可以写成

?t??0??t??tj?1vj，其中?0??t即为确定性的线性趋势，?tj?1vj即为随机趋势，随机

扰动项vt对序列yt存在持久性的影响。同时从公式(1)中可以看到周期成分为一个平稳过程，

随机扰动项wt对序列yt不存在持久性的影响。本文将模型(1)记为UC-RW-ARMA(p,q)模型。被广泛应用的Watson模型就是模型(1)的一个特例，它的周期成分为一个AR(2)过程，所以可以记为UC-RW-AR(2)。

~~2(?,?1,?,?p,?1,?,?q,?v2,?w)进行估计，得到未知参数的估计量后，再对趋势成分?t和周

期成分ct进行估计。具体的算法为：首先将模型(1)写成状态空间模型的形式，通过Kalman滤波方法构造此状态空间模型的极大似然函数，对此函数进行优化，从而得到未知参数的估计量。再将这些未知参数的估计量代回到状态空间模型，便得到一个确定的模型，再次应用Kalman滤波方法便可以得到趋势和周期成分的估计量。

下面以Watson模型，即UC-RW-AR(2)模型为例，说明分解方法。一个通用的状态空间模型可以写成如下形式

要将趋势成分?t和周期成分ct从模型(1)中分解出来，首先要对模型(1)中的未知参数

??t?1?d?T?t??t (2) ??yt?Z?t以上两个方程分别被称为状态方程（State Equation）和测量方程（Measurement Equation），其中?t被称为状态变量，d、T和Z均为状态空间模型的系数矩阵，?t~WN(0,R)。对于Watson模型其状态方程可以写为：

??t?1?????100???t??vt?1????????????ct?1???0???0?1?2??ct???wt?1? (3) ?c??0??010??c??0??t??????t?1???测量方程可以写成：

yt??110???tct?ct?1? (4)

Kalman滤波方法就是对如下公式(5)-(7)进行循环计算，从而产生序列?t|t?1，①?t|t，

*Pt，Kt t|t?1，Pt|t，vt，F??t|t?1?d?T?t?1|t?1，Pt|t?1?TPt?1|t?1T?R (5)

?vt?yt?yt|t?1?yt?Z?t|t?1，Ft?ZPt|t?1Z (6)

**?1?，?t|t??t|t?1?Kt*vt，P?(I?KZ)PK?PZFt|ttt|t?1tt|t?1t (7)

利用序列vt和Ft可以构造状态空间模型(2)的极大似然函数

NTln(2?)1TlnL(?|y1,?,T)??lnf(yt|y1,?,t?1;?)????(ln|Ft|?vt?Ft?1vt) (8)

22t?1t?1T其中?代表未知参数，N代表序列vt的维数，以Watson模型为例??(?,?1,?2,?v,?w)， ① 符号αt|t-1表示E(αt|Ωt-1)，即以t-1时刻的所有信息对t时刻序列α值的预测，以下皆同。其中αt|t被称为

αt的滤波（Filtered）估计量，αt|T被称为αt的平滑（Smoothed）估计量，其中T代表所有已知时刻。

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