1???1?x?2?1?1?∴??1??1
x?1?11?x???2x?1? 解得：{x|－
32≤x＜－1，x∈R}
(3)解：由(1)可知f(x)在［－1，1］上为增函数，且f(1)=1，
故对x∈［－1，1］，恒有f(x)≤1，所以要f(x)≤t－2at+1对所有x∈［－1，1］，a∈［－1，1］恒成立，即要t2－2at+1≥1成立，故t2－2at≥0，
记g(a)=t2－2at，对a∈［－1，1］，g(a)≥0，只需g(a)在［－1，1］上的最小值大于等于0， g(－1)≥0，g(1)≥0，解得，t≤－2或t=0或t≥2 .∴t的取值范围是：{t|t≤－2或t=0或t≥2}.
【例7】 给出一个不等式
x?1?cx?c222
?1?cc（x∈R）。
经验证：当c=1, 2, 3时，对于x取一切实数，不等式都成立。
试问：当c取任何正数时，不等式对任何实数x是否都成立？若能成立，请给出证明；若不
成立，请求出c的取值范围，使不等式对任何实数x都能成立。
解：令f(x)=
x?1?cx?c222，设u=x?c(u≥c)
则f(x)=
u?1u2?u?1u (u≥c)∴f(x)?c?1c?(u?1u)?c?1c?(u?c(uc?1)uc
要使不等式成立，即f(x)－
1cc?1c≥0,∵u≥c>0 ∴只须uc－1≥0
1c1c12∴u2c≥1 u2≥ ∴x2+c≥, ∴x2≥
－c 故当c=时，
原不等式不是对一切实数x都成立，即原不等式对一切实数x不都成立 要使原不等式对一切实数x都成立，即使x≥∵x2≥0 故
1c2
1c－c对一切实数都成立。
－c≤0
∴c≥1(c>0) ∴c≥1时，原不等式对一切实数x都能成立。
不等式的证明
【例1】 已知a?2，求证：log?a?1?a解1：log?a?1?a?loga?a?1??1loga?loga?a?1?
?1??loga?a?1??loga?a?1??a?1????loga?a?1??．
loga?a?1?因为a?2，所以，loga?a?1??0,loga?a?1??0，所以，
?log?loga?a?1????loga?a?1??????a?a?1??loga?a?1??222??22?log?aa?1??24??logaa?
?14所以，log?a?1?a?loga?a?1??0，命题得证．
解2：因为a?2，所以，loga?a?1??0,loga?a?1??0，所以，
1log?a?1?aloga?a?1???a?1?loga?a?1?loga?1?loga?a?1????loga?a?1??，
由解1可知：上式>1．故命题得证．
【例2】 已知a＞0，b＞0，且a+b=1。求证：(a+证法一：(分析综合法)
欲证原式，即证4(ab)2+4(a2+b2)－25ab+4≥0，即证4(ab)2－33(ab)+8≥0， 即证ab≤
141a)(b+
1b)≥
254.
或ab≥8.∵a＞0，b＞0，a+b=1，∴ab≥8不可能成立
14∵1=a+b≥2ab，∴ab≤证法二：(均值代换法) 设a=
?(a?(?12，从而得证.
121a+t1，b=
)(b?212+t2.∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴t1+t2=0，|t1|＜
a212，|t2|＜
12
1b)?(??1a?2b2?1b141412?t1)12?112?t2)1214?1?(?t1?t1(122?1)(?t1)(22?t2?t2?t2)22?1)?t12?t22(?14?t1?t1?1)(14?t2?t22?1)?(54?t2)14?t22
?t24?t225?16?3214t22?t2225?2516?.144?t2显然当且仅当t=0，即a=b=证法三：(比较法）
12时，等号成立.
∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴a+b≥2ab，∴ab≤
1a1b254a222214
(a?)(b?1a)?1b??1b?1254ab?33ab?8(1?4ab)(8?ab)?????0ab44ab4ab?(a?)(b?)?254
证法四：(综合法)
∵a+b=1， a＞0，b＞0，∴a+b≥2ab，∴ab≤
14.
?2?(1?ab)?125????ab4????1?ab?1?14?34?(1?ab)225?2(1?ab)?1??9?16???16? 1?4?ab?
即(a?1a)(b?1b)?254
证法五：(三角代换法）
∵ a＞0，b＞0，a+b=1，故令a=sin2α，b=cos2α，α∈(0，
(a?sin1a4?2)
)(b?1b)?(sin42α?21sin2α2)(cosα?22α?1cos2α2)α)22?α?cosα?2sin4sin2αcos2α2?(4?sin?164sin2α?sin22α?1,?4?sin22α?4?1?3.2
4?2sin2α?16?25?22(4?sin2α)25????1124?4sin2α?24sin2α?1a)(b?1b)?254.即得(a?【例3】 证明不等式1?12?13???1n?2n(n∈N*)
证法一：(1)当n等于1时，不等式左端等于1，右端等于2，所以不等式成立； (2)假设n=k(k≥1)时，不等式成立，即1+
12?13?1k?1k?(k?1)?1k?11k?1?2k?1,12?13???1k＜2k，
则1??????2k?2k(k?1)?1k?1
∴当n=k+1时，不等式成立. 综合(1)、(2)得：当n∈N*时，都有1+
12?13???1n＜2n.
另从k到k+1时的证明还有下列证法：
?2(k?1)?1?2k(k?1)?k?2k(k?1)?(k?1)?(k?k?1)2?0,?2k(k?1)?1?2(k?1),?k?1?0,?2k?1k?1又如:?2k?1?2k?2k?1?k?2k?1?k?1?1k?1,?2k?1.
?2k?1k?1?2k?1.
证法二：对任意k∈N*，都有：
1k因此1??122k??k13?k????2k?11n?2?2(2?1)?2(3?2)???2(n?n?1)?2n.?2(k?k?1),
证法三：设f(n)=2n?(1?12?13???1n),
那么对任意k∈N?* 都有：
f(k?1)?f(k)?2(k?1??1k?1?1k?1?[(k?1)?2k(k?1)?k]?(k?1?k?1k)2k)?1k?1[2(k?1)?2k(k?1)?1]
?0∴f(k+1)＞f(k)
因此，对任意n∈N* 都有f(n)＞f(n－1)＞?＞f(1)=1＞0， ∴1?12?13???1n?2n.
不等式的应用
【例1】 已知不等式 2(log求当x∈M时,函数f(x)?(log20.5x)2?7logx0.5x?3≤0 的解集为 M,
x220.5)(log24)的最大值和最小值.
解：由2(log?(2log0.5x)?7logx?3≤0,
x≤?12?2≤x≤8,0.5x?1)(log0.5x?3)≤0??3≤log0.5
∴M?{x|2≤x≤8}.x2由f(x)?(log得f(x)?(log2)(logx24),x?2)?(log2
x)?3log222x?1)(log2x?2令 u=log2x, 得f(u)?u2?3u?2?(u?32)?214,u∈[12,3]
14,根据复合函数的单调性得：
当u?32即x?22时,[f(x)]min??
当u?3即x?8时,[f(x)]max?2.【例2】 例2、已知函数y （1）判断函数y?log （2）若命题p:|?logax,其中a?{a|20?12a?a}.
2ax的增减性；
f(x)|?1?|f(2x)|为真命题，求实数x的取值范围.
x是增函数；
14解：（1）?a?{a|120?12a?a2},?a2?12a?20?0,即2?a?10,?函数y?log （2）
loga|f(x)|?1?|f(2x)|即|logx|?|log2x|?1aaa，必有
x?0,当0?x?时，
x?loga2x?0，不等式化为?logax?loga2x?1,??loga2x?1，
故loga2x?1,?x?12a,此时12a?x?14；当
14?x?1时,logax?0?loga2x14，
?x?1；
不等式化为?loga当x?1时，0?loga不等式化为logax?logax?loga2x?1,?loga2?1，这显然成立，此时
x?loga2x，
故x?a2,此时1?x?12aa2a2}.2x?1,?loga2x?1 ；
综上所述知，使命题p为真命题的x的取值范围是{x|?x?【例3】 (1995年)设?an?是由正数组成的等比数列，Sn是前n项之和。 (1)证明
lgSn?lgSn?22?lgSn?1
lg(Sn?C)?lg(Sn?2?C)2?lg(Sn?1?C)(2)是否存在常数C>0,使得成立？并证明你的结论。
证明：(I)设?an?的公比为q，则a1?0，q?0
要证lgSn?lgSn?22?lgSn?12 即证Sn?Sn?2?Sn?1?0即可
(1)若q?1，则Sn?na1?Sn?Sn?2?Sn?1?na1(n?2)a1?(n?1)a1??a1?02222
a1(1?q2n?12(2)若q?1，?Sn?a1(1?q)1?qn?SnSn?2?2Sn?1?a1(1?q)(1?q(1?q)22nn?2)?)2(1?q)??a1q2n?02 由(1)(2)可得SnSn?2?Sn?1
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