乐安二中2011届高三数学专题复习(不等式)[1]

乐安二中2011届高三数学专题复习:不等式 ZLF 2011.03.23

一、本章知识结构：

实数的性质

不等式的性质 均值不等式

比较法 综合法 分析法 其它方法 一元一次不等式 一元二次不等式 分式高次不等式 含绝对值不等式 函数性质的讨论 最值的计算与讨论 实际应用问题 不等式的证明 不等式的解法 不等式的应用 二、高考要求

（1）理解不等式的性质及其证明。

（2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数定理，并会简单应用。

（3）分析法、综合法、比较法证明简单的不等式。 （4）掌握某些简单不等式的解法。 （5）理解不等式|a|﹣|b| ≤|a+b|≤|a| +|b|。 三、热点分析

不等式部分的内容是高考较为稳定的一个热点,考查的重点是不等式的性质、证明、解法及最值方面的应用。高考试题中有以下几个明显的特点：

（1）不等式与函数、数列、几何、导数,实际应用等有关内容综合在一起的综合试题多，单独考查不等式的试题题量很少。

（2）选择题,填空题和解答题三种题型中均有各种类型不等式题，特别是应用题和压轴题几乎都与不等式有关。

（3）不等式的证明考得比得频繁,所涉及的方法主要是比较法、综合法和分析法，而放缩法作为一种辅助方法不容忽视。

四、复习建议

强化不等式的应用,高考中除单独考查不等式的试题外，常在一些函数、数列、立体几何、解析几何和实际应用问题的试题中涉及不等式的知识，加强不等式应用能力，是提高解综合题能力的关键.因此，在复习时应加强这方面训练，提高应用意识，总结不等式的应用规律，才能提高解决问题的能力. 如在实际问题应用中，主要有构造不等式求解或构造

函数求函数的最值等方法，求最值时要注意等号成立的条件，避免不必要的错误. 五、典型例题

不等式的解法

【例1】 解不等式：解：原不等式可化为：

ax?2?1?a

＞0，即［(a－1)x+(2－a)］(x－2)＞0.

(a?1)x?(2?a)x?2a?2a?1当a＞1时，原不等式与(x－若

a?2a?1)(x－2)＞0同解.

a?2a?1≥2，即0≤a＜1时，原不等式无解；若

a?2a?1＜2，即a＜0或a＞1，于是a＞1

时原不等式的解为(－∞，)∪(2，+∞).

a?2a?1当a＜1时，若a＜0，解集为(，2)；若0＜a＜1，解集为(2，

a?2a?1a?2a?1)

综上所述：当a＞1时解集为(－∞，)∪(2，+∞)； )；

当0＜a＜1时，解集为(2，当a=0时，解集为?； 当a＜0时，解集为(

a?2a?1a?2a?1，2).

【例2】 设不等式x2－2ax+a+2≤0的解集为M，如果M?［1，4］，求实数a的取值范围.

解：M?［1，4］有n种情况：其一是M=?，此时Δ＜0；其二是M≠?，此时Δ＞0，分三种情况计算a的取值范围.

设f(x)=x2 －2ax+a+2，有Δ=(－2a)2－(4a+2)=4(a2－a－2) (1)当Δ＜0时，－1＜a＜2，M=?［1，4］

(2)当Δ=0时，a=－1或2.当a=－1时M={－1}?［1，4］；当a=2时，m={2}［1，4］. (3)当Δ＞0时，a＜－1或a＞2.设方程f(x)=0的两根x1，x2，且x1＜x2，那么M=［x1，x2］，M?［1，4］?1≤x1＜x2≤4???f(1)?0,且f(4)?0?1?a?4,且??0

??a?3?0?

18?18?7a?0

即?，解得：2＜a＜

7?a?0

?a??1或a?2?

，

∴M?［1，4］时，a的取值范围是(－1，

187).

【例3】 解关于x的不等式：log2?x?1??log4[a?x?2??1]?a?0?．

?x?1?0?解：原不等式等价于?a?x?2??1?0

?2??x?1??a?x?2??1?x?1?1?①，即?x?2?a????x?a??x?2??0.

1??x?2?由于a?1，所以1?2?，所以，上述不等式等价于?aa??x?a??x?2??0?1 ②

解答这个含参数的不等式组，必然需要分类讨论，此时，分类的标准的确定就成了解答的关键．如何确定这一标准？

1??x?2?（1）当1?a?2时，不等式组②等价于?a?x?2或x?a?1???a?1??此时，由于?2???a?a?a?2

1a?0，所以 2?1a?a．从而 2?32?x?a或x?2．

3??x?（2）当a?2时，不等式组②等价于?2?x?2?,所以 x?，且x?2．

1??x?2?（3）当a?2时，不等式组②等价于?a?x?2或x?a?此时，由于2?1a?2，

所以，2?1a?x?2或x?a．

????x?a或x?2?a?1综上可知：当1?a?2时，原不等式的解集为?x2?当a?2时，原不等式的解集为?xx???13；

?，且x?2?2?；

．

当a?2时，原不等式的解集为?x2??4?log???x?2或x?a?a?a【例4】 解关于x的不等式：解：原不等式等价于

?4?logx?0a??logax?2?0??4?logax??logax?logx?2?a?0，a?1?

ax?2?2??2?logax?4?2?logax?4????2??logax?3或log?logax?3logax?0ax?0

?3?logax?4，∴当a?1时，原不等式的解集为xa?x?a?34?

当0?a?1时，原不等式的解集为xa4?x?a3

??【例5】 设函数f?x??ax?x2?1， （1）当a?2时，解不等式

f(x)?f?1?；

（2）求a的取值范围，使得函数f?x?在?1,???上为单调函数． 讲解：（1）a?2时，

f(x)?f?1?可化为：2?x?1??x?12，等价于：

??x?1?0 ?22??4?x?1??x?1 ① 或

??x?1?0?2??x?1?0 ②

解①得 1?x?53，解②得 x??1．

??5?x1?x?或x??1?3??所以，原不等式的解集为 ．

（2）任取x1,x2??1,???，且x1?x2，则

?f?x1??f?x2???ax1??2??x1?1???ax2???x2x22222??1????a?x1?x2?????a?x1?x2??????x1?x2??a???x1?1?x1?x2x1?1?222??1??

?1????1??x2x1?x2x1?1?2x22要使函数f?x?在?1,???上为单调函数，需且只需：

x1?x2x1?1?2a?x22恒成立，（或a?1?2x1?x2x1?1?x22恒成立）．

?1 因此，只要求出

x1?x2x1?1?2x2?12在条件“x1,x2??1,???，且x1?x2”之下的最

大、最小值即可．为了探求这个代数式的最值，我们可以考虑极端情况，如：x1?1,x2?1，容易知道，此时

2x1?x2x1?1?x2?12???；若考虑x1?x2???，则不难看出，此时

x1?x2x1?1?2x2?12?1，至此我们可以看出：要使得函数f?x?为单调函数，只需a?1．

事实上，当

a?1时，由于x1?x2?x1?1?2x2?1?02恒成立，所以，

x1?x2x1?1?2x22所以，在条件“x1,x2??1,???，且x1?x2?1．

?1”之下，必有：f?x1??f?x2??0．

所以，f?x?在区间?1,???上单调递减．

当a?1时，由（1）可以看出：特例a?2的情况下，存在f?1???5?f???3?．由此可以猜想：

函数f?x?在区间?1,???上不是单调函数．为了说明这一点，只需找到x1,x2??1,???，使得f?x1??f?x2?即可．简便起见，不妨取x1?1，此时，可求得x2?a2?1???af?1??f??a2?1????aa22?1?1?1，也即：

，所以，f?x?在区间?1,???上不是单调函数．

另解：f??x??a?xx?12，对x??1,???，易知：

当x?1时，xx?12???；当x???时，xx?12?1；

所以当x??1,???时，xx?12?1，

从而只须a?1，必有f??x??0，函数在x??1,???上单调递减。

【例6】 已知f(x)是定义在［－1，1］上的奇函数，且f(1)=1，若m、n∈［－1，1］，

m+n≠0时

f(m)?f(n)m?n＞0.

(1)用定义证明f(x)在［－1，1］上是增函数； (2)解不等式：f(x+

2

12)＜f(

1x?1)；

(3)若f(x)≤t－2at+1对所有x∈［－1，1］，a∈［－1，1］恒成立，求实数t的取值范围.

解：(1)证明：任取x1＜x2，且x1，x2∈［－1，1］， 则f(x1)－f(x2)=f(x1)+f(－x2)=∵－1≤x1＜x2≤1， ∴x1+(－x2)≠0，由已知

f(x1)?f(?x2)x1?x2f(x1)?f(?x2)x1?x2·(x1－x2)

＞0，又 x1－x2＜0，

∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x)在［－1，1］上为增函数. (2)解：∵f(x)在［－1，1］上为增函数，

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库乐安二中2011届高三数学专题复习(不等式)[1]在线全文阅读。