新思维第四讲 全等(4)

2、 两个全等的含30°、60°角的三角板ADE和三角板ABC如图所示位置，E,A,C三点在一条直线上，连接BD，取BD的中点M，连接ME,MC，试判断△EMC的形状，并说明理由。 试一试 从△ADE≌△BAC出发，先确定△ADB的形状，为判断△EMC的形状奠定基础。

3、已知Rt△ABC中，AC=BC,∠C=90°,D为AB边的中点，∠EDF=90°,将∠EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F．当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC于E时（如图1），

1易证S△DEF+S△CEF=2S△ABC，当∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图2和图3这两种

情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，S△DEF、S△CEF、S△ABC又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．

4、已知点C为线段AB上一点，分别以AC,BC为边在线段同侧作△ACD和△BCE,且CA=CD,CB=CE,∠ACD=∠BCE,直线AE与BD交于点F。 如图1，若∠ACD=60°，则∠AFB=；如图2，若∠ACD=90°，则∠AFB=；如图3，若∠ACD=120°，则∠AFB=；

（2）如图4，若∠ACD=α，则∠AFB=（用含α的式子表示）；

（3）将图4中的△ACD绕点C顺时针旋转任意角度（交点F至少在BD、AE中的一条线段上），变成如图5所示的情形，若∠ACD=α，则∠AFB与α的有何数量关系？并给予证明．

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5、如图1，已知A是OB的垂直平分线上一点，P为y轴上一点，∠OPB=∠OAB。 （1）若∠AOB=60°，PB=4，求P点坐标； （2）在（1）的条件下，求证：PA+PO=PB;

（3）如图2，若点A是OB的垂直平分线上一点，A点坐标为（2,5），求PO+PB的值。

6、阅读理解

如图1，△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分；…；将余下部分沿∠BnAnC的平分线AnBn+1折叠，点Bn与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，∠BAC是△ABC的好角． 小丽展示了确定∠BAC是△ABC的好角的两种情形．情形一：如图2，沿等腰三角形ABC顶角∠BAC的平分线AB1折叠，点B与点C重合；情形二：如图3，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合． 探究发现

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（1）△ABC中，∠B=2∠C，经过两次折叠，∠BAC是不是△ABC的好角？（填“是”或“不是”）． （2）小丽经过三次折叠发现了∠BAC是△ABC的好角，请探究∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系．根据以上内容猜想：若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为． 应用提升

（3）小丽找到一个三角形，三个角分别为15°、60°、105°，发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角．

请你完成，如果一个三角形的最小角是4°，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角．

7、如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，∠CAD=30°，AC=BC=AD，求证：BD=CD。

分析：由条件得∠ACD=∠ADC=75°，∠DAB=∠DCB=15°，要证明BD=CD，即要证∠DBC=15°，或证明点D在BC的中垂线上，又怎样运用条件？构造全等三角形、等边三角形，运用对称变换等，可得多种证法。

（1）如图1，在AB上截取AE=CD,连DE；

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（2）如图2，将△ACB沿AB边翻折到△ABE,连DE；

（3）如图3，以CD为边在△ACD内作等边△OCD，连接AO； （4）如图4，作CE⊥AD于E，作DF⊥BC于F。

请读者完成证明。

1x＋m与x、y轴的正半轴分别2相交于点A、B，过点C（－4，－4）画平行于y轴的直线交AB于点D，CD＝10． （1）求直线l的解析式；

（2）求证：△ABC是等腰直角三角形；

（3）将直线l沿y轴负方向平移，当平移到恰当的距离时，直线l与x、y轴分别相交于点A′、B′．在直线CD上是否存在点P，使得△A′B′P是等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标。

8、 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线l：y＝－

9、某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下： 设∠BAC=θ（0°＜θ＜90°）．现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线AB，AC上． 活动一：

如图甲所示，从点A1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直，A1A2为第1根小棒． 数学思考：

（1）小棒能无限摆下去吗？答：_______．（填“能”或“不能”） （2）设AA1=A1A2=A2A3=1． ①θ=_________度；

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②若记小棒A2n-1A2n的长度为an（n为正整数，如A1A2=a1，A3A4=a2，?） 求出此时a2，a3的值，并直接写出an（用含n的式子表示）．

活动二：

如图乙所示，从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第1根小棒，且A1A2=AA1． 数学思考：

（3）若已经摆放了3根小棒，θ1=_________，θ2=__________，θ3=__________；（用含θ的式子表示）

（4）若只能摆放4根小棒，求θ的范围．

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