新思维第四讲 全等(2)

A.10cm B.11cm C.12cm D.13cm

2、如图，在△ABC中，∠BAC、∠BCA的平分线交于点I，若∠B=35°，BC=AI+AC，则∠BAC的度数是（ ）。 A.60° B.70° C.80° D.90°

3如图，已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB、∠DBA，CD过点E，求证：AB=AC+BD。

4、如图，五边形ABCDE中，BC＝DE，AE＝DC，∠C＝∠E，DM⊥AB于M，试说明M是AB中点. D E

C

A M B 5、复习全等三角形的知识时，老师布置了一道作业题： “如下图①，已知在△ABC中，AB=AC，P是△ABC内部任意一点，将AP绕A顺时针旋转至AQ，使得∠QAP=∠BAC，连接BQ、CP，则BQ=CP．” 小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图①的分析，证明了△ABQ≌△ACP，从而证得BQ=CP．之后，小亮又将点P移到等腰三角形ABC之外，原题中的条件不变，发现“BQ=CP”任然成立，请你就图②给出证明。

6、已知一个三角形的两条边长分别是1cm和2cm，一个内角为40．

（1）请你借助图1画出一个满足题设条件的三角形；

（2）你是否还能画出既满足题设条件，又与（1）中所画的三角形不全等的三角形？若能，请你在图1的右边用“尺规作图”作出所有这样的三角形；若不能，请说明理由．

（3）如果将题设条件改为“三角形的两条边长分别是3cm和4cm，一个内角为40”，那么满足这一条件，且

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彼此不全等的三角形共有 个． 友情提醒：请在你画的图中标出已知角的度数和已知边的长度，“尺规作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹．

图1

CA?CB．E，F分别是直线CD上两点，7、 CD经过?BCA顶点C的一条直线，且?BEC??CFA???． （1）若直线CD经过?BCA的内部，且E，F在射线CD上，①如图1，若?BCA?90，???90，则

BE CF；②如图2，若0??BCA?180，请添加一个关于??与?BCA关系的条件 ，使①

中的结论仍然成立，并说明理由．

（2）如图3，若直线CD经过?BCA的外部，????BCA，请提出EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想： ． B B B E F A

D F D E E

C C F A C A D （图1） （图2） （图3）

8、如图① ，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6，D为BC的中点。 （1）若E、F分别是AB、AC上的点，且AE=CF，求证△AED≌△CFD；

（2）当点F,E分别从C,A两点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿CA,AB运动，到点A,B时停止，设△DEF的面积为y，F点运动的时间为x，求y与x的函数关系式；

如图②，在（2）的条件下，点F,E分别沿CA,AB的延长线继续运动，求此时y与x的函数关系式。

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9、如图，等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，点A,B分别在坐标轴上。

（1）如图1，若C点的横坐标为5，求B点的坐标；

（2）如图2，若x轴恰好平分∠BAC，BC交x轴于点M，过C点作CD⊥x轴于D点，求

CD的值； AM（3）如图3，若点A的坐标为（－4，0），点B在y轴的正半轴上运动时，分别以OB、AB为边在第一、第二象限作等腰Rt三角形△OBF，连接EF交y轴于P点，当点B在y轴上移动时，PB的长度是否发生改变？若不变，求出PB的值，若变化，求PB的取值范围。

EyPFxB图1 图2

AO图3 旋转你晕了吗？

1、如图，将△ABC绕着C点按顺时针方向旋转20°，B点落在B′位置，A点落在A′位置，若AC⊥A′B′，则∠A=_______.

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2、 等腰直角△ABC，其中AB＝AC，∠BAC＝90°，过B、C作经过A点直 线L的垂线，垂足分别为M、N

（1）你能找到一对三角形的全等吗？并说明． （2）BM，CN，MN之间有何关系？

（3）若将直线l旋转到右图的位置，其他条件不变，那么上题的结论是否依旧成立？

3、已知：正方形ABCD和正方形AEFG有一个公共点A, 点G、E分别在线段AD、AB上.

(1)如图1, 连结DF、BF,若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转,判断命题:“在旋转的过程中线段DF与BF的长始终相等.”是否正确,若正确请证明,若不正确请举反例说明;

(2)若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转, 连结DG,在旋转的过程中,你能否找到一条线段的长与线段DG的长始终相等.并以图2为例说明理由.

CDDC解：

GFG F

ABB AEE 图1 图2

4、如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角．点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF． 解答下列问题：（1）如果AB=AC，∠BAC=90o． ①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为 ，数量关系为 ． ②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？

F 9

EAAFFA

（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90o，点D在线段BC上运动．试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？画出相应图形，并说明理由．（画图不写作法）

5、如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，1），OA=AC，∠OAC=90°，点D为x轴上一动点，以AD

为边在AD的右侧作正方形ADEF．

（1）当点D在线段OC上时（不与点O、C重合），则线段CF与OD之间的数量关系为 ；位置关系为 ．

（2）当点D在线段OC的延长线上时，（1）中的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请举一反例； （3）设D点坐标为（t，0）当D点从O点运动到C点时，用含t的代数式表示E点坐标，并直接写出E点所

经过的路径长．

6、如图，已知△ABC中，∠A=60°，BE、CD分别平分∠ABC、∠ACB，P为BE、CD的交点。求证：BD+CE=BC.

分析与解 截长法（或补短法）是证明线段和差问题的基本方法，即在BC上截取BF=BD,则△BPD≌△BPF，以下只要证明CF=CE，充分利用角平分线构造全等三角形。

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