段正敏主编《线性代数》习题解答(7)

（A）AP1P2；

?1?1 （B）P2AP1；

?1?1（C）P1P2A； （D）P1AP2. 解：A???1?2?3?4?，则B???4?3?2?1??APP12?AP2P1，其中

P,4?，P2?E?2,3?， 1?E?1对初等方阵有：

?1?1??1???1E?i,j??E?i,j?,E?i?k???E?i???,E?j?k?,i??E?j??k?,i?

??k???1?1故P1?P1,P2?P2

?1?1?1?1B?1??AP2P?P?PP1?1P2A12A，故（C）正确. ?1?1?1B?1??APP?P2?1P?P2P12?1A1A

?1?1（9）设A是m?n矩阵，B是n?m矩阵，则（A）

（A）m?n时必有AB=0； （B）m?n时必有AB=0； （C）m?n时必有AB?0； （D）m?n时必有AB?0.

m?m解：对（A）（C）有m?n，R?AB??R?A??n?m?AB?0，故（A）正确；

???m?AB?0对（B）（D）有m?n，R?AB??R?A??m?n，R?AB??均有可能，

?m?AB?0??m?m故（B）（D）错误.

?abb???（10）设A=?bab?，A的伴随阵的秩为1，则（B）.

?bba???（A）a?b或a?2b?0 ； （B）a?b且a?2b?0；

（C）a?b或a?2b?0； （D）a?b且a?2b?0.

?n,R?A??n?3,R?A??3????解：R?A???1,R?A??n?1，此题有R?A???1,R?A??2

?0,R?A??n?2?0,R?A??1???由RA?1?R?A??2?A?0

??30

abbA?bab?a3?2b3?3ab2??a?b??a?2b??0?a?bora?2b?0

bba?bbb???若a?b，A?bbb，R?A??1与R?A??2矛盾；

???bbb????000???若a?2b?0，a??2b，此时b?0，若b?0，则a??2b?0，A?000，与

???000???b???2bb???2bb?2bb?，故b?0. A??b故R?A??2. R?A??2矛盾，?3b2?0，

b?2b?b?b?2b??综上所述，a?b且a?2b?0，（B）正确. 3．写出下列矩阵A?(aij) （1）aij?i?j的3×2矩阵； （2）aij?ij的的4阶方阵.

2解：（1）A?aij??3?2?0?1?????10? ?21???（2）A?aij??4?4?1?2???3??4234??468? ?6912?81216??112??123?????A??11?1?；B???1?22?，

?2?11??03?1?????4．设矩阵

求 3AB?2A及(AB).

TT?063??112??003?T??????T解：AB??0?36?，A??11?1?，?AB???6?39?

?393??363??2?11???????31

?063??112??0189??224???2165???????????3AB?2AT?3?0?36??2?11?1???0?918???22?2????2?1120?

??393????2?11????9275．计算下列矩阵的乘积

?13?1?（1）??2140??1?133?01?2??；???? ?1?31??20?1???213???（2）??01?1???120??017??；

??005????00?3???3?（3）?123???2??；

???1???2（4）???1???02?；

???3???432?（5）??1?25????x1??x?2?；

??310????x3???a11a12a13??x1?（6）?x1x2x?3??aa????21a2223?a31a32a??x2?.

33????x3????13?1?解：（1）??2140??01?2?6?5?1?133????1?31??????10?7?20?1???213???120???25?2?（2）??01?1????017?????0110??005????00?3??

????00?15???3?（3）?123???2???1?3?2?2?3?1?4

???1??32

9????4?22????5297??0?1?? ?2??04?（4）??1??02???02?

???3???????0?6???（5）?432???1?25??x1??4x1?3x2?2x3????x????x?2?1?(?2)x2?5x3?

?310????x3????3x1?x2???a11a12a13??x1?（6）?x1x2x??3?a21aa??

?22?a31aa??x?232?3233????x3???x1??a11x1?a21x2?a31x3a12x1?a22x2?a32x3a???13x1?a23x2?a33x3??x2?

??x3???a2a2211x1?22x2?a33x3??a12?a21?x1x2??a13?a31?x1x3??a23?a32?x2x3

6．设A???10???1?，求?Ak (k为正整数).

解：A???10?，?10??1??A2????2?1?，?A3?A2A???10??3?1?，猜测?Ak???1?k?用数学归纳法证明：

①当k?1时，A???10???1?成立；

?②设当k?n,n?1时，An???10??n?1?成立，

?则当k?n?1时，An?1?AnA???10???n?1??10?0???1?????1???n?1??1?成立，

?故由数学归纳法知Ak???10??k?1??

?7．设??10??0?1??，求Ak (k为正整数).

??00???33

0?1??

??10???00??010???????解：A??0?1???0?0???001??00???00???000?????????B，且

?010??001??000???????B??001?，B2??000?，B3??000??O3?3，Bk?O,k?3，

??000????000????000??可得：Ak????B?k??kCik?iBi??k?C1k?12k?22k?k?B?Ck?B??Bk

i?0???2k?k?k?1??2??Ak??k?C1k?12k?2B2??k?2?k?B?Ck???0?2k??? ??00?2???????2000?8．设?0200???1020??，求Ak (k为正整数). ?0102????O??20???O???O???2解：方法一：A???E??，其中?????02?，?A2???E?????E??????2?A3????2O???O???3O???kO??2??2????E??????3??3?，假设Ak????k??k?， ?Ak?1????kO???O?O??k??k????E???????k?1???k?1???k?1?? ???2k000??Ak??02k00???k?1?k202k0? ??0k2k?102k?????22000?000?022方法二：A2??00????232300????2?20220?，A3??0?23?220230? ??02?2022??????023?22023???34

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