段正敏主编《线性代数》习题解答(6)

（11）设A为非零方阵，当A?A时，则R?A?= n .

T??T?解：方法一：RA?RA?R?A?，由上题结论可知RA?R?A??nor0，由已?知A为非零方阵，则R?A??1，故RA?R?A??n；

????????方法二：AA??AAT?AE

a1n??a11????ann????a1n?n2??a1jan1??j?1?????nann???aanj1j??j?1??a11?AAT???a?n1?a?a1jnj?j?1?? ?n2?anj??j?1?nA为非零方阵，故AAT的对角线元素不全为0，从而AAT为非零方阵?A?0，则

R?A??n.

?1?2??0???0???0?0130000012?0??0???1?3??0???2?0?（12）矩阵A??0??0030000030??0? 的逆矩阵为 2??0?.

?2?0解：A???0??0030000030??0??A1?2??O?0?O??20??02?，，A?A?21??则 ???A2??30??03??AA?1??1?OO??A1?1???A2??O?1?1?000?2????0100??O??3??? ?1?1?A2??000?3???1?000??2?n（13）设n阶可逆方阵A满足2A?kA，k?0，则k?解：由A是可逆方阵知A

2 .

A?0，2A?kA?knA?kn?2，由k?0?k?n2.

25

T?1（14）设n阶方阵A满足A?2，则AA? 4 ，A?12，

nA?=

2n?1，A??3n2???2?n?1?2，A????1?A??3?2???2?，

A?1?A??A?1?A?2 .

T2解：AA?A?2?4，A?1?A?1?2?1?1n?1??2n?1， ，A?A2，

n?A??A?A?1???An?2A?A?n?2n?A?A?n?1?2?2?n?1?2??1113?3??A?A?A?A?A?A????2，

A22?2???A?A?1?A?A?AA?1?1?A?1?A?A?1?3A?A?3A?1?1?13n? 21?1??（15）A为n阶方阵，A为A的伴随阵，A?，则?A??15A?3?4???1??1?n3.

1?1n?1???1?1?1?1解：?A??15A?4A?15?A?A?4A?15?A??A???1??3.

3?4??100??1???A为A的伴随阵，则?A???（16）设A??220?，?345???解：A1A10 .

????1??A?1???A1?A. A10An?2??1??1（17）设A,A分别为n阶方阵A的伴随阵和逆阵，则AA?n?1?1n?2 .

解：A?A?1?A??A?1?A?A?A.

?12?2???1?，B为三阶非零矩阵，且AB?O,则a= -1 . （18）设A??4a?3?11???解：首先证明

A?0：

A?0，则A可逆，两边左乘A?1得B?A?1O?O，与B?O矛

26

方法一：由AB?O，若

盾，故

A?0；

b2b3??O3?3，故?bi?O3?1,i?1,2,3，Abi?O3?1，即

方法二：AB?O，设B??b1Ax?0有非零解，故由定理4.2.1知R?A??n?A?0.

综上有

A?0.

2?212?212?212?212?21A?4a3?11??3?114a1??0?710a?87?701?1?701?1

90a?8900a?1?7?a?1?a?? 1??0?k1x1?k12x2?k13x3?k14?234（19）线性方程组?k2x1?k2x2?k2x3?k2，满足条件k1k2k3?0,k1,k2,k3互不相等时有

?234kx?kx?kx?k3132333?惟一解.

解：由克莱姆法则：

A?0时有唯一解.

1k11k3k12k22?k1k2k3?k2?k1??k3?k1??k3?k2??0 k32k1A?k2k3k122k2k13k333k3?k1k2k31k2k32k1k2k3?0,且k1,k2,k3互不相等.

（20）当?=

13?6412?2x1??x2?3x3?0?，线性方程组??x1?9x2?4x3?0有非零解.

?4x?x?x?0?123解：Ax?0有非零解?A?0

13?641. 22?A??4913?4??2?13??118?0????12．选择题

（1）设A、B均为n阶方阵，则下面结论正确的是（B） （A）若A或B可逆，则AB必可逆； （B）若A或B不可逆，则AB必不可逆； （C）若A、B均可逆，则A+B必可逆； （D）若A、B均不可逆，则A+B必不可逆. 解：A可逆?

A?0，A不可逆?A?0

27

（A）若A可逆，B不可逆?错误； （B）

（A）A?0,B?0，AB?A?B?0，故AB不可逆，故

A?0或B?0?AB?A?B?0，故（B）正确；

（C）设A可逆，则B??A也可逆，但A?B?A?A?O不可逆，故（C）错误；。

?00??10??10?D（）A???，B???均不可逆，但A?B???可逆，故（D）错误.

?01??00??01?（2）设A、B均为n阶方阵，且A(B－E)=O，则（B） （A）A?O或B?E； （B）A?0或B?E?0； （C）A?0或B?1； （D）A=BA. 解：A?B?E??O，两边取行列式，则正确；

（A）反例：AB??（C）

A?B?E?0，故A?0或B?E?0，故（B）

?10??00??00????????O； 000100??????B?E?0?B?1，故（C）错；

A?BA，故（D）错.

（D）A?B?E??O?AB?A?O?AB?A?（3）设A、B均为n阶非零矩阵，且AB?O，则A和B的秩（D）

（A）必有一个为零； （B）一个等于n，一个小于n； （C）都等于n； （D）都小于n.

解：方法一：AB?O，由课本P110例9知：R?A??R?B??n，又A、B均为非零矩阵，故R?A??1，R?B??1，R?A??n?R?B??n?1?n，同理R?B??n，故（D）正确； 方法二：AB?O，A、B均为n阶非零矩阵，则A、B均不可逆?R?A??n，R?B??n反证：若A可逆，则AAB?B?AO?O，与B?O矛盾；

若B可逆，则A?ABB?1?1?1

?OB?1?O，与A?O矛盾.

（4）设n阶方阵A经过初等变换后得方阵B，则（D） （A）A?B； （B）A?B；

（C）AB?0； （D）若A?0,则B?0. 解：由题意知A?B，故?可逆阵P、Q，使PAQ?B,28

P?0,Q?0，

PAQ?P?A?Q?B?A?0?B?0

A?0?B?0

故（D）正确。（A）（B）（C）均不正确，由（B）（C）不成立.

P?A?Q?B，可构造P、Q，使（A）

（E?BA）? （C）. （5）设A、B均为n阶方阵，E?AB可逆，则E?BA也可逆，且

（A）E?AB； （B）E?BA； （C）E?B(E?AB)A； （D）B(E?AB)A. 解：经验证知（C）正确，即

?1?1?1?1?1?1?1?E?BA??1?1?1?E?B?E?AB?A??E?BA??E?B?E?AB?A??E

???1?1?1E?BA?B?E?AB?A?BAB?E?AB?A?E?BA?B?E?AB??E?AB?A

?E?BA?BA?E.

（6）设n阶方阵A,B,C满足ABC?E，则必有（D） （A）ACB?E； （B）BAC?E；

（C）CBA?E； （D）BCA?E.

解：AB?E，则A、B均可逆，且BA?E，即AB?BA?E

E?ABC?ABC?BCA?CAB，故（D）正确.

（7）设n阶方阵A,B,C均是可逆方阵，则ACBT（A）B?1???1?（D）

??T?1A?1C?1； （B）A?1C?1BT???1?1；

（C）B?1C?1A?1； （D）B?1解：ACB??CTA?1.

???1??BT?C?1A?1??B?1?C?1A?1，故（D）正确.

?1T?a11a12?a21a22（8）设A???a31a32??a41a42a13a23a33a43a14??a14??a24?a,B??24?a34a34???a44??a44a13a23a33a43a12a22a32a42a11??a21?， a31??a41??0?0?P1??0??1

010000101??1??0?0，P2???00???0??0001001000??0??1，若A可逆，则B?（C） 0??1?29

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