段正敏主编《线性代数》习题解答

线性代数习题解答

张应应 胡佩 2013-3-1

目 录

第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章

行列式 .................................................................................................................... 1 矩阵 ...................................................................................................................... 22 向量组的线性相关性 .......................................................................................... 50 线性方程组 .......................................................................................................... 69 矩阵的相似对角化 .............................................................................................. 91 二次型 ................................................................................................................ 114

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附录：习题参考答案 ........................................................................................................... 129

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教材：段正敏，颜军，阴文革:《线性代数》，高等教育出版社，2010。

第一章 行列式

1．填空题：

（1）3421的逆序数为 5 ；

解：该排列的逆序数为t?0?0?2?3?5. （2）517924的逆序数为 7 ；

解：该排列的逆序数为t?0?1?0?0?3?3?7. （3）设有行列式

21D?65?130?12045?432=?(aij)， 10078?11132含因子a12a31a45的项为 -1440，0 ；

解：(?1)t(23154)a12a23a31a45a54?(?1)3?5?2?6?8?3??1440

(?1)t(24153)a12a24a31a45a53?(?1)4?5?0?6?8?1?0

所以D含因子a12a31a45的项为-1440和0.

（4）若n阶行列式Dn??(aij)?a,则D??(?aij)?解：

行列式D中每一行可提出一个公因子?1，

nn??1?na；

?D??(?aij)???1??(aij)???1?a.

11（5）设f(x)?111112?2x，则f(x)?0的根为 1，2，-2 ； 244x8?8x3解：f(x)是一个Vandermonde行列式，

?f(x)?(x?1)(x?2)(x?2)(?2?1)(?2?2)(2?1)?0的根为1，2，-2.

（6）设x1,x2,x3是方程x?px?q?0的三个根，则行列式

3x1 x3x2x1x3x3x2? 0 ； x1x2解：根据条件有x3?px?q?(x?x1)(x?x2)(x?x3)?x3?(x1?x2?x3)x2?ax?x1x2x3 比较系数可得：x1?x2?x3?0，x1x2x3??q

1

?x13??px1?q?3再根据条件得：?x2??px2?q

?x3??px?q3?3333原行列式=x1?x2?x3?3x1x2x3??p(x1?x2?x3)?3q?3?(?q)?0.

x（7）设有行列式?123x0=0，则x= 1，2 ；

x10x解：?123x0?x2?3x?2?(x?1)(x?2)?0 x10?x?1,2.

a11（8）设f(x)?a12a22xa42a13xa33a43xa24，则多项式f(x)中x3的系数为 0 ； a34a44a21a31x解：按第一列展开f(x)?a11A11?a21A21?a31A31?xA41，

A11,A21,A31中最多只含有x2项，?含有x3的项只可能是xA41

a12a22xa13xa33xa24a34xA41?x(?1)4?1

3?????????x?xaa?aa?aa?x?a13a22a34?a12a24a33??????123413242233?xA41不含x3项，?f(x)中x3的系数为0. 16（9）如果

0016解：

00250034232500342343=0，则x= 2 ； x343122x???(5?12)(6?3x)?0 x65333?x?2.

2

0b（10）

000b0000c0000d00c0000da0= -abcd ； 00解：将行列式按第一行展开：

ab000?a?(?1)1?40c0??abcd. 000d0a31a?3b?3c?321??r1?3r3??r2?2r3（11）如果b01=1，则521??A?ATca31解：b1??abc3021114= 1 ； 1a?3b?3c?3512141?1.

01c21a11a12a22a32a132a112a122a222a322a12?2a132a22?2a23= -16 ， 2a32?2a33（12）如a21a312a112a122a13a23=2，则2a212a31a33a21?a31a22?a32a23?a33a13a21?3a11a22?3a12a23?3a13a11a12a22a320a11= -4 ，a12a130a21a22a23a110a31a32a33a21a22a2321= -4 ； 23a31a32??1a33解：A?a21a31a23??1?2?3?AT?a12a33a13?2?3?2

2a112a122a12?2a132a22?2a23?2?12?22a32?2a332?2?2?3?23?1?2?2??3??3??8?0?A???16

2a212a222a312a32?????????????????????????????????????????8??1?2?2??1?23

2a112a122a13a21?3a11a22?3a12a23?3a13a21?a31a22?a32?2?1a23?a33?2?3?1?2??3?2?1?2?3?1?2??3?2?2??3??1?3?1?2??3??????????????????????????????????????????????2??1?????????????????????????????????????????????2?1?2?2??3?2??1?2?2??1?2?3???????????????????????????????????????????????2AT??40a11a12a130a21a22a230a31a32a3321??按第一行展开??23ab1?42（?-1）AT??4.

（13）设n阶行列式D=a?0，且D中的每列的元素之和为b，则行列式D中的第二行的代数余子式之和为=??????；

a11解：

a12a22an2a1na11a12ban2a1nbann=ba111an1a121an2a1n1ann

a21an1a2n??每行元素加到第二行??bannan1??按第二行展开??b?A21?A22??A2n??a?0

?b?0,且A21?A22??A21?A22??A2n??A2n?0

a b?Ain?a,i?1,2,b,n.

实际上，由上述证明过程可知任意行代数余子式之和Ai1?Ai2?a110（14）如果

00a22a23a24a32a33a34a42a12a22a32a42a13a23a33a43a140a22a32a42a12a23a33a43a23a24a34= -1 ， a44a24a240=1，则a340a44a111a43=????????；

a11a44a22解：令B?a32a23a33a43a24a34，则 a444

a42

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