最新人教版2016-2017学年度第一学期八年级上册初二数学期中数学(5)

（1）如图1，在一条公路两旁各有一个村庄，想在公路旁边修一公共汽车站，怎样选址可使车站到两个村庄的距离和最短？（公路宽度忽略不计）

如图②，如果这两个村庄在公路的同一侧，其他条件不变，车站又应该选在何处？

【考点】作图—应用与设计作图；轴对称-最短路线问题． 【分析】（1）连接AB即可，根据两点之间，线段最短；

（2）作点A的对称点A′，连接A′B′即可，根据三角形两边的和大于第三边． 【解答】解：（1）如图1，

连接AB，交公路于点C，则点C处建修一公共汽车站，可使车站到两个村庄的距离和最短； （2）如图2，作A关于直线l的对称点A′，连接A′B′，交直线l于C， 则车站应该选在点C处．

【点评】本题是最短路径的作图问题，具体作法是：①如果在直线的两侧，直接连接即可；②如果在直线的同侧，作其中一个点的对称点与另一点相连，与直线的交点即是；根据都可以理解为两点之间，线段最短．

24．如图所示，已知∠ABC=∠ADC=90°，E是AC上一点，AB=AD． 求证：（1）△ABC≌△ADC； （2）EB=ED．

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【考点】全等三角形的判定与性质． 【专题】证明题．

【分析】（1）利用HL定理判定Rt△ABC≌Rt△ADC即可；

（2）根据Rt△ABC≌Rt△ADC可得∠DCE=∠BCE，DC=BC，再利用SAS判定△DCE≌△BCE，进而可得结论．

【解答】证明：（1）∵∠ABC=∠ADC=90°， ∴在Rt△ADC和Rt△ABC中，∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）；

（2）∵Rt△ABC≌Rt△ADC， ∴∠DCE=∠BCE，DC=BC， ∴在△DCE和△BCE中，∴△DCE≌△BCE（SAS）， ∴EB=ED．

【点评】此题主要考查了全等三角形的判定及性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．

25．如图，在菱形ABCF中，∠ABC=60°，延长BA至点D，延长CB至点E，使BE=AD，连结CD，EA，延长EA交CD于点G． （1）求证：△ACE≌△CBD； （2）求∠CGE的度数．

， ，

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【考点】菱形的性质；全等三角形的判定与性质．

【分析】（1）先判断出△ABC是等边三角形，根据等边三角形的性质可得BC=AC，∠ACB=∠ABC，再求出CE=BD，然后利用“边角边”证明即可；

（2）连接AC，易知△ABC是等边三角形，由探究可知△ACE和△CBD全等，根据全等三角形对应角相等可得∠E=∠D，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠CGE=∠ABC即可．

【解答】解：（1）∵AB=AC，∠ABC=60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴BC=AC，∠ACB=∠ABC， ∵BE=AD， ∴BE+BC=AD+AB， 即CE=BD，

在△ACE和△CBD中，

，

∴△ACE≌△CBD（SAS）；

（2）如图，连接AC，易知△ABC是等边三角形， 由（1）可知△ACE≌△CBD， ∴∠E=∠D， ∵∠BAE=∠DAG， ∴∠E+∠BAE=∠D+∠DAG， ∴∠CGE=∠ABC， ∵∠ABC=60°， ∴∠CGE=60°．

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【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的性质，熟记性质并确定出三角形全等的条件是解题的关键，（2）作辅助线构造出探究的条件是解题的关键．

26．在△ABC中∠C为直角，AC=BC，D为△ABC外一点，且AD=BD，DE⊥AC交CA延长线于点E，探求DE，AE，BC之间有何数量关系．

【考点】等腰直角三角形；线段垂直平分线的性质．

【分析】首先连接CD，由AC=BC，AD=BD，可得CD是AB的垂直平分线，又由∠ACB=90°，易得△CDE是等腰直角三角形，继而证得结论． 【解答】解：DE=AE+BC， 理由：连接CD， ∵AC=BC，AD=BD，

∴C在AB的垂直平分线上，D在AB的垂直平分线上， ∴CD是AB的垂直平分线， ∵∠ACB=90°， ∴∠ACD=∠ACB=45°， ∵DE⊥AC，

∴∠CDE=∠ACD=45°， ∴CE=DE，

∴DE=AE+AC=AE+BC．

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【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．

27．已知：如图，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB=OC． （1）求证：△ABC是等腰三角形；

（2）判断点O是否在∠BAC的角平分线上，并说明理由．

【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定． 【专题】几何综合题．

【分析】（1）由OB=OC，即可求得∠OBC=∠OCB，又由，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，根据三角形的内角和等于180°，即可证得△ABC是等腰三角形；

（2）首先连接AO并延长交BC于F，通过证△AOB≌△AOC（SSS），得到∠BAF=∠CAF，即点O在∠BAC的角平分线上．

【解答】（1）证明：∵OB=OC， ∴∠OBC=∠OCB，

∵锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O， ∴∠BEC=∠CDB=90°，

∵∠BEC+∠BCE+∠ABC=∠CDB+∠DBC+∠ACB=180°， ∴180°﹣∠BEC﹣∠BCE=180°﹣∠CDB﹣∠CBD， ∴∠ABC=∠ACB，

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