解 原式? 3.
1112x?3d(4e?5)?ln(4e2x?3?5)?C. 2x?384e8?5?sinx?5?sin2xdx.
cosx)d(cosx)1cosx12??arctan()?C. 解 原式?? ??cosx2224?cos2x21?()2??d( 4.
?xe?112x3dx.
2解 原式?2xedx?03?12x3?10exd(x3) ?32x3e310?2(e?1). 3
? 5.
??3?1?cos2xdx.
?0?4? 解 原式??3??42sinxdx ????42sinxdx?32?1. 2?302sinxdx
? ?
6.
2cosx0??4?2cosx30??511dx.
2x?1?5令t?2x?11x?(t2?1)2解 原式
?t3dt?(t?5ln|t?5|)|1?2?5ln2. 1t?53 7.
?06311?x?3(1?x)令t?61?xx?t6?12dx.
解 原式
?216t5?6[t?1?]dt dt11t3?t4t?12?2?3?6ln ?[3t2?6t?6ln|t?1|]13. 2
8.xsin(x?1)dx.
? 89
解 原式??xdcos(x?1)??xcos(x?1)?cos(x?1)dx ??xcos(x?1)?sin(x?1)?C.
9.
???e33xxdx. 令t?3xx?t3t 解 原式
?tet?3t2dt?3td(et) ?3(tet?etdt) t?? ?3te?3e?C?3(x?1)e
10.
3233x?C.
?1xln(3x)dx.
13113ln(3x)dx3?x3ln(3x)1?解 原式?33315326ln3? ?. 39??31x33dx 3x 11.
?2421x2x?42dx.
113?sint costdt??444???34解 原式 12.
x?2sect?1(3?2). 8?x21?x2dx.
1(1?cos2t)dt 2解 原式
x?sint?sin2tdt?? ? 13.
t11x?sin2t?C?arcsinx?1?x2?C.
2224?2321(4?3x2)2dx.
????34解 原式
x?2tant??3412sec2t? dt48sec3t?13sint?costdt?44?1(3?2). 8 90
14.
?x?24x?x2dx.
解 原式??x?24?(x?2)2dx
x?2?2sint?(4?2sint)dt?4t?2cost?C
?4arcsin 15.
x?2?4x?x2?C. 2?13arctanxdx. 2x?t?arctanx解 原式
x?tan2t???342tcostdt????3td(csc2t) 3sint42?? ??tcsct 16.
2?34???3csctdt?4?18??cott?34??18?3?1. 3?ln(sinx)dx.
cos2x解 原式?ln(sinx)d(tanx)?tanxln(sinx)?dx ?tanxln(sinx)?x?C.
17.
???ln7011?exdx.
12t?2dt tt?122t?1?ex解 原式
x?ln(t2?1)? ?222??22211t?1(?)dt?lnt?1t?1t?1?ln23?23?2.
1?x3?x2dx.
111??2)dx 解 原式?(x?1xx18.
?ln1x?11??C （本题也可作倒代换：令x?）.
txx 91
19.
1?sinx?sinx(1?cosx)dx.
令t?tanx22t2dt1?t2? 222t1?t1?t(1?)1?t21?t21? 解 原式
?t2?2t?111dt?t2?t?lnt?C ?2t42? ?12xx1xtan?tan?lntan?C. 4222220.
?2?x,x?0,，其中 f(x)?f(x)dx???2?2?x,x?0.2偶函数2解 原式
性质21.
?20f(x)dx ?2?20(2?x)dx?12.
?f(x)f?(x)f?[f2(x)]dx,其中 f?(x) 连续.
解 原式? ??f(x)f'[f2(x)]df(x)?12?f'[f2(x)]d[f2(x)]
1f[f2(x)]?C. 222.
?f?(x)g(x)?f(x)g?(x)dx，其中f?(x)，g?(x)连续，f(x)g(x)?0. 22f(x)?g(x)f'(x)g(x)?f(x)g'(x)f(x)d[]f(x)g2(x)g(x)dx ??arctan?C.
f(x)2f(x)2g(x)[]?1[]?1g(x)g(x)解 原式??? (也可分子分母同除以 f(x)，而得 ?arctan二、解下列各题 ：
?2g(x)?C ). f(x)1.计算
?2??2(1?x7)sin6xdx.
?解 因为其中xsinx是奇函数，所以
76?2??2x7sin6xdx?0。而sin6x是偶函数,故
92
原式?2
?531?5sin6xdx?2??????. 06422162?5x?2?10)dx.
5x?25x?25x?2)d()?2F()?C. 解 原式?2f(1010105x?210t?2（也可作换元令t?即x?）.
5102.已知 F?(x)?f(x)，试用 F 表示
f(?
3.已知 f?(lnx)?xlnx，f(0)?0，求 f(x). 解 作换元t?lnx，f'(t)?tet， f(x)?f(0)? f(x)?f(0)?
24.f(x)为已知函数，f'''(x)连续，求 (x?x?1)f'''(x)dx.
?f'(t)dt
0x?x0f'(t)dt??x0tetdt ?(t?1)etx0?(x?1)ex?1.
? 解 原式?(x?x?1)df''(x) ?(x?x?1)f''(x)?(2x?1)df'(x) ?(x2?x?1)f??(x)?(2x?1)f'(x)?2f(x)?C.
1ln(1?t1?x)dx. 5.利用换元 x? ，计算 ?01?x21?t?22?1?t2)ln1?21?t1?tdt 解 原式 I? ? dt?01?t21?t2(1?t)211?()1?t1dt1ln(1?t)??dt?ln2?I ?ln2?2201?t01?t4?所以 I?ln2.
8?1?0ln(??? 6.求
?01xf(x)dx，其中 f(x)?2?1x1?t4dt.
1 解 原式?3?1011f(x)dx ?x3f(x)1?0333?1010x3f'(x)dx 1(22?1). 181 ?3?10x311?xdx?(1?x4)21843? 93
7.利用被积函数的奇偶性， 计算定积分
解 原式? ?
8.利用被积函数的周期性，计算定积分
?1?1xln(1?e6x)dx.
??1?11?1xln[e3x(e?3x?e3x)]dx
[3x2?xln(e?3x?e3x)]dx =2.
?0?1?sin2xsin2xdx.
解 因为被积函数以?为周期，所以在任一长为?的区间上积分值都相等，为了使计算更方便，就取 [ 原式??5?4,4]， 故有
??5?41?sin2xsin2xdx ?245?4??5?4(sinx?cosx)sinxcosxdx
5?444 ?2
??42(sinxcosx?sinxcosx)dx?(sin3x?cos3x)322???22. 3 94
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