第6章 （之1） 第25次作业
教学内容：§6.1.1不定积分的性质 6.1.2不定积分的换元法A **1.
f?(x)dx?d(1?4f(x)1ln?1?4f(x)??C. 4).
答案:
(3x?2x)2dx. **2.求不定积分?x632()x?()x3x2x(3?2?3?2?2)23?2x?C. ?[()?2?()]dxdx解：原式=???236xln3?ln22xxx2x
?x?**3. 求??dx. 8??1?x?1d(x8?1)x7?x?解：?? dx??dx ??878?878(1?x)(1?x)?1?x?11(1?x8)?68?6 ?(1?x)?c???C.
8(?6)48 **4. 求77cos2x?cosx?sinxdx.
解: 原式? **5.求
?cos2x?sin2xdx?(cosx?sinx)dx?sinx?cosx?C.
cosx?sinx?
?2x?5dx. 2x?4x?5解: 原式?
?d(x2?4x?5)dx2?ln(x?4x?5)?arctan(x?2)?C. ?22x?4x?5(x?2)?1?4**6. 求secxdx.
? 69
解:4222secxdx?(tanx?1)secxdx?(tanx?1)dtanx ???
?
2tan?xdtanx??dtanx?1tan3x?tanx?C. 3**7.求tanxdx. 解: tanxdx???44?tan2x(sec2x?1)?dx?tan2xdtanx?(sec2x?1)dx
???
1tan3x?tanx?x?C. 34**8.求(secxtanx)dx.
解：(secxtanx)dx?secxtanxdx?secxtanxdtanx ? **9.求
??4?44?24?(tan6x?tan4x)dtanx?11tan7x?tan5x?C. 75dx?a2cos2x?b2sin2x(a?b?0).
解:
dx1??a2cos2x?b2sin2xa2?1b21?2tan2xa?dx 2cosx ?1b1a1b??arctan(tanx)?C. ??d(tanx)2?babaab1?(tanx)2aa
3**10. 求cotxcscxdx.
?323解: cotxcscxdx??(cscx?1)d(cscx)??cscx?cscx?C.
??13 **11.求
?2sinx?cosx3sinx?2cosx?4dx.
d(sinx?2cosx?4)3解:
?2sinx?cosx3sinx?2cosx?4cotx?lnsinxdx.
dx??3?(sinx?2cosx?4)3?C. 2sinx?2cosx?42**12. 求
70
解:
?d(lnsinx)cotx?lnlnsinx?C. dx??lnsinxlnsinx**13. 求
1?lnx?(xlnx)32dx.
解:
?1?lnx(xlnx)32dx??d(xlnx)(xlnx)32??2(xlnx)?12?C.
**14.求
?tanxdx.
cosx?sinx解:
?tanxdx?cosx?sinx?tanxdx1?dtanx?2tanx?C. ?tanxcos2x?tanx***15. 求
?exxarcsine21?exdx.
xarcsine2解:
?exxarcsine21?exdx?2?1?exxde2?2?xarcsine2x?d(arcsine2)
4 ?(arcsine2)2?C.
3 ***16.求
x3?2arctan(tanx)?sin2xcosx?sinx44dx.
2arctan(tanx)2tanx?sec2xdx解:
?2arctan(tanx)?sin2xcosx?sinx44dx??1?(tanx)??arctan(tan222
??arctan(tan2x)d(tan2x)221?(tanx)x)darctan(tan2x)
? ***17.求
21arctan(tan2x)?C. 2???f?(x)?f?[f(x)?1]?1?dx.
??f?[f(x)?1]?1?df(x)??f?[f(x)?1]df(x)??df(x)
71
解：原式?
?
?f?[f(x)?1]d[f(x)?1]?f(x)?f[f(x)?1]?f(x)?C.
f(x)f?(x)g(x)?f2(x)g?(x)****18. 求不定积分?dx. 3g(x)12f(x)f?(x)g2(x)?2f2(x)g(x)g?(x)解：原式=?dx
2g4(x) ?
1f(x)21f(x)2d[]?[]?C. 2?g(x)2g(x)第6章 （之2） 第26次作业
教学内容：§6.1.2不定积分的换元法B
**1.
?(arcsinx)2?x1?x2dx.
解:
?(arcsinx)2?x1?x2dx??1(arcsinx)d(arcsinx)?22?d(1?x2)1?x2
1?(arcsinx)3?1?x2?C． 3
**2.
?arctanxx(1?x)xdx.
解:
?arctanx(1?x)dx?2?arctanxd(arctanx)?(arctanx)2?C．
***3.
?xa?xx23dx.
解:
?
2dx?3a2?x3?2x2?arcsin?C． 32223aa?(x)d(x)323
72
**4.
?1?xdx. 1?x解:
?1?x1?xdx1d(1?x2) dx??dx????2221?x21?x1?x1?x?arcsinx?1?x2?C.
***5.
?cosx2?cos2xcosx2?cos2xdx.
解:
??dx??d(sinx)3?2sinx2?12?d(sinx)32?sinx2
12arcsin(2sinx)?C. 3 **6.
?x2)解：令x?asint ?dx?acostdt，
a2sin2t?acost22?tantdt?(sect?1)dt dt ? 原式????33acost?tant?t?c ?
***7.
?(ax2232dx (a?0).
x?arcsin?C．
aa2?x2x?(a2?x2)3dx.
1?cos2t2)dt 2解：令 x?asint 原式?334?a?cost?acostdt?a?(a4a4a4a41?cos4t2?(1?2cos2t?cos2t)dt?t?sin2t?dt 4?444?2a4a4a4a4?t?sin2t?t?sin4t?C 44832a4xa4xa2?x2a4xa4xa2?x2a2?x2x2?arcsin????arcsin??(?2)?C224a2aa8a8aaa
73
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