2014.7概率题解(1)(4)

2014.7暑假概率综合

【例2】随机变量X与Y的概率分布列分别为 X 0 1 Y 12P P 33且P(X2?Y2)?1，求

?1 1 30 1 31 1 3（1）（X,Y）的联合分布列；（2）Z=XY的分布列；（3）X 与Y的相关系数 解（1）由于P?X2?Y2??1，因此P?X2?Y2??0。故P?X?0,Y?1??0，因此

P?X?1,Y?1??P?X?1,Y?1??P?X?0,Y?1??P?Y?1??1/3 再由P?X?1,Y?0??0可知

P?X?0,Y?0??P?X?1,Y?0??P?X?0,Y?0??P?Y?0??1/3 同样，由P?X?0,Y??1??0可知

P?X?0,Y??1??P?X?1,Y??1??P?X?0,Y??1??P?Y??1??1/3 （2）Z?XY可能的取值有?1，0，1,其中P(Z??1)?P(X?1,Y??1)?1/3，

P(Z?1)?P(X?1,Y?1)?1/3，则有P(Z?0)?1/3。因此，Z?XY的分布律为

Z -1 0 1 P 1/3 1/3 1/3 （3）EX?2/3，EY?0，E(XY)?0,cov(X,Y)?0故?XY?0

【练习1】设袋中有标记为1~4的四张卡片，从中不放回地抽取两张，X表示首

次抽到的卡片上的数字，Y表示抽到的两张卡片上数字差的绝对值.

（1）求(X,Y)的概率分布；

（2）给出X和Y的边缘分布；

（3）求在X?4下Y的条件概率分布和在Y?3下X的条件概率分布.

答案

（1）（2） Y X 1 2 1 1 122 122 1 121 123 1 12pi? 1 41 40 16

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3 4 p?j 2 121 121 21 121 121 30 1 121 61 41 4 （3）取定X?4，则把该行的各概率除以p4?，即可得到在X?4下Y的

1 2 3 111p 333同理，在Y?3的条件下，X的条件概率分布为

X 1 4 11p 22【练习2】设二维离散型随机变量(X,Y)的联合概率分布列为

Y 条件概率分布为 Y X 0 1 81 161 241 161 1 161 121 481 122 1 161 121 481 120 1 2 3 求（1）P(X?1) （2）P(X?Y) （3）P(X?Y).

题型2 二维连续型随机变量的各种分布

【例1】设随机变量(X,Y)的概率密度为

?ke?2x?3y,x?0,y?0, f(x,y)??其他.?0,（1）求常数k；（2）求F(1,1)；（3）求P(0?X?1,0?Y?2). （4）(X,Y)落在三角形区域D:x?0,y?0,2x?3y?6内的概率。

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解 （1）因为??????????f(x,y)dxdy?1，即

??0??0ke?2xe?3ydxdy?k?1 6所以 k?6.

（2）可直接采用分布函数的几何意义： F(1,1)?P?X?1,Y?1???（3）P(0?X?1,0?Y?2)??11100?6e?2u?3vdudv?(1?e?2)(1?e?3),

00?26e?2x?3ydxdy

?1?e?2?e?6?e?.8 (4) 区域D如图3–3所示

P??X,Y??D????6e?2x?3ydxdy

D ??dx?032?2x306e?2x?3ydy?1?7e?6 图3–3

?1, y?x,0?x?1?【例2】随机变量（X,Y）的概率密度为f(x,y)??

??0, 其他1111试求fX(x)，fY(y)，fX|Y(x|y)，fX|Y(x|?)，P(X?|Y?0)，P(X?|Y??)

2222x????dy?2x, 0?x?1 解 fX(x)??f(x,y)dy????x

????0, 其他fY(y)???????1dx?1?y, 0?y?1??y???1?y, y?1?1 f(x,y)dx???dx?1?y, ?1?y?0???y0, 其他????0, 其他???1,y?x,0?x?1f(x,y)?1?yfX|Y(x|y)???

fY(y)??0,others?1111, ??x,0?x?1?f(x,?)?2, ?x?111?22??1?fX|Y(x|?)?? 2??122?0, 其他fY(?)??2??0, 其他1P(X?,Y?0)132P(X?|Y?0)??（由均匀分布的性质可得。） 2P(Y?0)418

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P(X??1111|Y??)??1fX|Y(x|?)dx??12dx?1 22222?0,min{x,y}?0?【例3】设(X,Y)的联合分布函数为F(x,y)??min{x,y},0?min{x,y}?1，

?1,min{x,y}?1??0,x?0?求X的分布函数。 答案：FX(x)??x,0?x?1

?1,x?1?【例4】（1）已知(X,Y)的分布函数为求X与Y的边缘概率密度。

?1?e?x?xe?y?F(x,y)??1?e?y?ye?y?0?0?x?y0?y?x 其它?1?e?x解 FX(x)?F(x,?)???0?1?e?y?ye?yFY(y)?F(?,y)??0??e?x，fX(x)?F'X(x)=?x?0?0x?0y?0?ye?y，fY(y)?F'Y(y)??y?0?0x?0x?0

y?0y?0

?3x,0?x?1,0?y?x,【例5】设(X,Y)的联合概率密度函数为f(x,y)??

?0,其他.11??求 P?Y?X??.

84???1?3x2,0?x?1,?,0?y?x,解 fX(x)??， fYX(yx)??x

其他.?0,??0,其他.1?11?11 P?Y?X????8dy?.

84?01/42?

【练习1】二维随机变量(X,Y)服从分布函数:

0x?0或y?0??xF(x,y)??(1?e?2y)0?x?2,y?0

?2?2y1?ex?2,y?0?（1）求(X,Y)的边缘分布函数，（2）求X的概率密度

【练习2】设二维随机变量(X?Y)的概率密度为

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f(x,y)?Ae?2x?2xy?y,???x??,???y??,

求常数及A条件概率密度fY|X(y|x). 答案：A?122?，fY|X(y|x)???1?e?x2?2xy?y2,?x,y?R

解 由概率密度的性质????????f(x,y)dxdy?1，可知

??????????Ae?2x2?2xy?y2dxdy?A?edx?e??2???x2???(x?y)2??dy?1

1又知?e?????x2dx??，有?edx?e?(x?y)dy??????所以A?????2???x2???。

fX(x)?1?e?x?????e?(x?y)dy?1e?2x221?e?x???21?e?x,???x???

2f(x,y)?fYX(yx)??1?x2fX(x)e?2xy?y2?1?2e?(x?y)2,???x???,???y???

?注：本题要充分运用概率积分?e?xdx??。

???【练习3】设随机变量（X,Y）的密度为

?21?x?xy, 0?x?1,0?y?2 f(x,y)??3??0, 其他试求：（1）（X,Y）的联合分布函数； （2）概率P(X?Y?1),P(X?Y)。

?0, x?0或y?0?1?x2y(x?y), 0?x?1,0?y?24?3?6517?1答案：（1）F(x,y)??x2(2x?1), 0?x?1,y?2， （2），

32472??1?12y(4?y), x?1,0?y?2??1, x?1,y?2? 【练习4】设(X,Y)服从区域D:{(x,y)0?y?1?x2}上的均匀分布，设区域

B:{(x,y)y?x2}：求（1）(X,Y)的联合密度函数；（2）求X和Y的边缘密度函

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