2014.7概率题解(1)

2014.7暑假概率综合

第一章 随机事件和概率

重点题型归纳

题型1 事件的关系和运算

【例1】设X(i),i?1,2,3,4为4个随机变量，且满足P(X(1)?X(2)?X(3)?X(4))?1，

A表示至少两个随机变量不小于某固定常数a，则事件A可表示为（ ）

（A）{X(1)?a} （C）{X(3)?a}

（B）{X(2)?a} （D）{X(4)?a}

【例2】设A和B是任意两个概率不为0的事件，则(A?B)?(A?B)表示（ ）

（A）必然事件

（C）A，B不能同时发生

（B）不可能事件

（D）A，B恰有一个发生

注意：(A?B)?(A?B)?AB?AB，不要错选C，应选D

【练习1】A和B是两个概率不为0的互不相容事件，则下列肯定正确的是：

（A）A与B不相容 （C）P(AB)?P(A)P(B)

（B）A与B相容。 （D）P（A-B）=P（A） 注：

题型2 概率的性质

【例1】设随机事件A,B,C两两互不相容，且P(A)?0.2,P(B)?0.3,P(C)?0.4，求P?(AB)?C?.

分析：通过概率的性质和事件的关系来判断. 解

P?(AB)?C??P(ACBC)?P(AC)?P(BC)?P(ABC)?P(A?AC)?P(B?BC)?0?P(A)?P(AC)?P(B)?P(BC) ?0.51

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11【例2】设事件A,B,C满足条件：P(AB)?P(AC)?P(BC)?，P(ABC)?，

816则A,B,C至多有一个发生的概率为（ ） 解 记D?｛A,B,C至多有一个发生｝，则

P(D)?1?P(D)?1?P(AB?AC?BC)?1?[P(AB)?P(AC)?P(BC)?2P(ABC)]?34【例3】（2014，1）设随机事件A、B相互独立，且P(B)?0.5,P(A?B)?0.3，则

P(B?A)?（ 0.2 ）

【练习1】已知随机事件A的概率P(A)?0.5,随机事件B的概率

P(B)?0.6及条件概率P(B|A)?0.8,则和事件AB的概率P(A?B)?

【练习2】甲、乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被命中,则它是甲射中的概率为____________.

解 A?｛甲中｝，B?{乙中}，C?｛命中目标｝，则A,B独立，且C?A?B，所求概率为 P(A|C)?P(AC)P(A)P(A)???P(C)P(A?B)P(A)?P(B)?P(A)P(B)3? 4【练习3】设P(A)?0.3,P(B)?0.4,P(AB)?0.2，求下列概率：（1）P(AB)；（2）

P(AB)；（3）P(AB)。

分析：熟练掌握事件的性质是解决这类问题的关键. 解（1）P(A?B)?P(AB)?1?P(AB)?0.8

（2）P(AB)?P(B?A)?P(B)?P(AB)?0.2

（3）P(A?B)?P(A?AB)?P(A)?P(AB)?1?P(A)?P(AB)?0.9 【练习4】设随机事件A，B及其和事件A?B的概率分别是0.4, 0.3和0.6，若

B表示B的对立事件，那么积事件AB的概率P（AB）= 0.3 。

【练习5】设P(A)?P(B)?P(C)?1/4，P(AB)?0，P(AC)?P(BC)?1/16，求下列事件的概率：(1)A,B,C全不发生；(2)A,B,C至少有一个事件发生.

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分析：利用推广的加法公式.并注意P(AB)?0?P(ACB)?0(由单调性). 解 P(ABC)?P(ABC)?1?P(ABC)

?1??P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(BC)?P(CA)?P(ABC)?

?11111?3?1????????

?4441616?8P(ABC)?1?P(ABC)?5 8【练习6】设事件A,B,C满足条件：

11P(A)?P(B)?P(C)?,P(AB)?0,P(AC)?P(BC)?

467则事件A,B,C都不发生的概率为（ ）答案：

12题型3 古典概型与几何概型

【例1】从5双不同的鞋中任取4只，求4只鞋子中至少两只能配成一双的概率。

【例2】甲乙两船驶向一个不能同时停靠两只船的码头，它们在一昼夜到达的时间是等可能的，如果甲船停泊的时间是1小时，乙船停靠时间是2小时，求任意一只船都不需要等待的概率。

解 设甲乙两船到达时刻分别为x,y，则样本空间G?{(x,y)|0?x,y?24}，从而 甲先到，乙船不需等待的充要条件是：0?x?x?1?y?24； 乙先到，甲船不需等待的充要条件是：0?y?y?2?x?24；

1(232?222)1013于是两船都不需要等待的概率为p?2 ?2241152

【练习1】将一枚骰子重复掷n次，试求掷出的最大点数为5的概率。

【练习2】在顶点为（0,0），（0,1），（1,0），（1,1）的正方形中任意投入一点记为M(?,?),求方程x2??x???0有实根的概率。 分析：考察几何概型问题的计算。

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解：样本空间为??{(?,?)|0??,??1}，A?{(?,?)|(?,?)??,?2?4??0}，从而

P(A)?SA3? S?4评注：（1）应熟悉几何概型的一般计算步骤； （2）几何概型的问题通常都可以转化为随机变量的方法来解决，请试用随机变量的方法来解决此题。

【练习3】随机地向半圆0?y?2ax?x2(a为正常数)内掷点，落在半圆内任何 区域的概率与区域的面积成正比,求原点和该点的连线与x轴的夹角小于?的概

4率。答案（

2??） 2?

题型4 四大重要公式

四大重要公式是指条件概率公式、乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式 【例1】已知P(A)?0.5,P(B)?0.6,P(AB)?0.4，求下列概率：（1）P(AB)；（2）（3）P(AB)。 P(AB)；

分析：根据条件概率的公式和概率的性质. 解（1）P(A|B)?P(AB)0.42?? P(B)0.631 3（2）P(A|B)?1?P(A|B)?（3）P(A|B)?P(AB)1?P(A)?P(B)?P(AB)3?? P(B)1?P(B)411,P(C)?,23【例2】（2012，1）设A,B,C是随机事件，A,C互不相容，P(AB)?则P(ABC)?________。

?PABC?解 由条件概率的定义，P?ABC??P?AB??P?ABC????P?ABC?P?C?12，其中P?C??1?P?C??1??，

33BCAC?又AP?AC??0，

1?P?ABC?，由于A,C互不相容，即AC??，213PABC?PABC?，得PA，代入得，故 BC?0????24??4

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【例3】设随机变量X解

P(?)，随机变量Y在0X间取值，求P(Y?2)。

P(Y?2)??P(X?i)P(Y?2|X?i)i?0???[i?2??ii!e???1]i?1???1e????k?3??kk!???1e???(e??1????2

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【练习1】设P(A)?0.10,P(BA)?0.90,P(BA)?0.20，求P(AB)。 分析：根据条件分布的定义，关键求P(B)和P(AB). 解

P(B)?P(ABA)?B?0.10?0.9?0?(1(PA)B(P)A(P?B)A(P)A(PB)A

0?.10)?0.200.27(PA?)BP(AB)?P(AB)P(A)P(BA)0.10?0.9010.10?0.901????? P(B)P(B)0.2730.273【练习2】（06，4分）设A,B为随机事件，且P(B)?0,P(A|B)?1，则必有

（A）P(A?B)?P(A). （C）P(A?B)?P(A).

（B）P(A?B)?P(B). （D）P(A?B)?P(B).

【练习3】三人同时向一架飞机射击。设三人都射不中的概率为0.09，三个中只

有一个射中的概率为0.36，三个中恰有两个射中的概率为0.41，三人同时射中的概率为0.14。又设无人射中，飞机不会坠毁；只有一个击中飞机坠毁的概率为0.2；两人击中飞机坠毁的概率为0.6；三人射中飞机一定坠毁。求三人同时向飞机射击一次飞机坠毁的概率。

分析：若事件的产生是由多个原因之一造成的，且无法确定是哪个原因造成的，则求该事件的概率一般利用全概率公式求解.

解 令B?{飞机坠毁}，A0?{三人都射不中}，A1?{只有一人射中}，A2?{恰有两人射中}，A3?{三人同时射中}。显然有

?A??ii?03，且

AiAj??(i?ji;j,?。0,1,

由题设可知P(BA0)?0，P(BA1)?0.2，P(BA2)?0.6，P(BA3)?1.且

P(A0)?0.09, P(A1)?0.36,P(A2)?0.41, P(A3)?0.14.

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