信号与系统 王明泉 1-8章完整答案(7)

性质1 以p的正幂多项式出现的运算式，在形式上可以像代数多项式那样进行展开和因式分解。性质2 设A(p)和B(p)是p的正幂多项式，则 A(p)B(p)x(t)?B(p)A(p)x(t)

性质3 微分算子方程等号两边p的公因式不能随便消去。

性质4 算子的乘除顺序不可以随意颠倒。 （2）用算子符号建立微分方程

对于LTI连续系统，其输入输出方程是线性、常系数微分方程，用输入-输出法描述系统时，由式(2-62)可得出输入激励与输出响应之间的关系是

y(t)?nN(p)x(t) D(p)n?1其中 N(p)?anp?an?1pm?????a1p?a0 ?????b1p?b0

D(p)?bmp?bm?1p令H(p)?m?1N(p)，H(p)代表了系统将输入转变为输出的作用，或系统对输入的传输作用，故称H(p)为D(p)响应y(t)对激励f(t)的传输算子或系统的传输算子。 2.5典型考试试题解析 题1、 已知系统微分方程为

dy?t?dt?2y?t??f(t)，若y(0?)?1，f(t)?sin2tu(t)，解得全响应为

522y?t??e?2t?sin(2t?45?)，t≥0。全响应中sin(2t?45?)为（ ）

444（a）零输入响应分量 (b)零状态响应分量 (c)自由响应分量 (d)稳态响应分量

答案：（d） 分析：响应中

52sin(2t?45?)不含齐次解e?2t，所以答案(a)(b)(c)都不是

44题2、两线性时不变系统分别为S1和S2，初始状态均为零。将激励信号f(t)先通过S1再通过S2，得到响应y1(t)；将激励信号f(t)先通过S2再通过S1，得到响应y2(t)。则y1(t)与y2(t)的关系为_________________。 答案：y1(t)?y2(t)

分析：该题是考查级联系统的交换率：两级联系统交换保持不变

t题3、计算

???[?(t??)*df(t)]dt，其中“*”表示卷积。 dtt解：

???[?(t??)*tdf(t)df(t)]dt??(t??)*?dt

??dtdt??(t??)*f(t)?f(t??)

题4、已知信号x1(t)和x2(t)如图4所示

1?3?2?1x1(t)11x2(t)1 0123t图4

?3?2?10123t

试计算x(t)?x1(t)?x2(t)，并画出x(t)的波形。 解：x(t)?x1(t)?x2(t)?x1(t)*??(t?2)??(t?2)?

?x1(t?2)?x1(t?2) 波形如下图：

21x(t)1?5?3?101?at35t 题5、 已知f1(t)?u(t),f2(t)?e (a) (1?e?atu(t)，可以求得f1(t)*f2(t)?（ ）

11)u(t) (b)e?atu(t) (c)(1?e?at)u(t) (d) e?atu(t)

aa答案(c)

分析：采用卷积的定义，直接积分求得 题6、

d?t[eu(t)*u(t)]?_________________。 dt?t答案：eu(t)

分析：采用卷积的微分性质：

d?td[eu(t)*u(t)]?e?tu(t)*u(t)?e?tu(t)*?(t)?e?tu(t) dtdt?3t题7、 一起始储能为零的系统，当输入为u(t)时，系统响应为eu(t)，则当输入为?(t)时，系统的响应为 。 答案：?(t)?3eu(t)

?3t分析：线性系统的微分特性的

d?3teu(t)??(t)?3e?3tu(t) dt?t题8、一线性时不变系统在相同的初始状态下，当激励为x(t)时，其全响应为y1?2e?cos(2t)；当激励为2x(t)时，其全响应为解：

y2(t)?e?t?2cos(2t)。试求在同样初始条件下，激励为4x(t)时系统的全响应。

y1(t)?yzs1(t)?yzi1(t)?2e?t?cos(2t) （1） y2(t)?yzs2(t)?yzi2(t)?e?t?2cos(2t) （2）

∵x1(t)?x(t)，x2(t)?2x(t)，两种输入的初始条件一样 ∴yzs2(t)?2yzs1(t)，yzi2(t)?yzi1(t) （3） 根据（1）（2）（3）式，可得

?t??yzi1(t)?3e ??t??yzs1(t)??e?cos(2t)∵x3(t)?4x(t)，初始条件不变 ∴yzs3(t)?4yzs1(t)，yzi3(t)?yzi1(t)

y3(t)?yzs3(t)?yzi3(t)?4yzs1(t)?yzi1(t)?4(?e?t?cos(2t))?3e?t?[?e?4cos(2t)]u(t)?t

2.6本章习题全解

2.1如题图2-1所示机械位移系统，质量为m的刚体一端由弹簧牵引，弹簧的另一端固定在壁上，弹簧的刚度系数为k。刚体与地面间的摩擦系数为f，外加牵引力为FS(t)，求外加牵引力FS(t)与刚体运动速度v(t)间的关系。

题图2-1

解：由机械系统元件特性，拉力Fk与位移x成正比，即Fk?kx

又x(t)??t??v(?)d?

所以，Fk(t)?kx(t)?k?t??v(?)d?

刚体在光滑表面滑动，摩擦力与速度成正比，即Ff(t)?fv(t)

根据牛顿第二定律以及整个系统力平衡的达朗贝尔原理，可得

Fs(t)?fv(t)?k?v(?)d??m??tdv(t) dtd2dd整理得m2v(t)?fv(t)?kv(t)?Fs(t)

dtdtdt2.2题图2-2所示电路，输入激励是电流源is(t)，试列出电流iL(t)及R1上电压u1(t)为输出响应变量的方程式。

题图2-2

解：由电路的基尔霍夫电流定律可得：iC(t)?iL(t)?iS(t) （1） 根据电容特性，iC(t)?CduC(t) （2） dtdiL(t)?R2iL(t) （3） dt由电路的基尔霍夫电压定律可得：uC(t)?R1iC(t)?L将uC(t)?LdiL(t)?R2iL(t)?R1iC(t)代入（2）得 dtd2ddiC(t)?LC2iL(t)?R2CiL(t)?R1CiC(t)（4）

dtdtdtiC(t)?iS(t)?iL(t)代入（4）得，

d2dddiS(t)?iL(t)?LC2iL(t)?R2CiL(t)?R1CiS(t)?R1CiL(t)

dtdtdtdt(R?R2)dRdd211iL(t)?iL(t)?1iS(t)?iS(t) （5） 整理得，2iL(t)?1dtLdtLCLdtLC将u1(t)?iC(t)R1?(iS(t)?iL(t))R1，即iL(t)?iS(t)?u1(t)代入（5）得 R1u1(t)(R1?R2)du1(t)u1(t)R1dd211(i(t)?)?(i(t)?)?(i(t)?)?i(t)?iS(t) SSSSdt2R1LdtR1LCR1LdtLC(R1?R2)u1(t)RRdd2d2u1(t)???R12iS(t)?12iS(t) 整理得，2u1(t)?dtLLCdtLdt2.3某连续系统的输入输出方程为

2y\(t)?3y'(t)?4y(t)?x'(t)已知x(t)?u(t)，y(0?)?1,y'(0?)?1，试计算y(0?)和y'(0?)值。

解：将输入代入系统方程可得2y\(t)?3y'(t)?4y(t)???t? 采用冲激函数匹配法求y(0?)和y(0?) 方程右端的冲激函数项最高阶数为?(t)，设

'y???t??a??t??b?u?t?，

则有：y??t??a?u?t?,y?t??at?u?t?，将其代入原系方程，得

2a??t??2b?u?t??3a?u?t??4at?u?t????t?

所以a?1 2?y??0???113?y??0????1?222

y?0???y?0???12.4 已知描述某线性时不变连续系统的微分方程如下，

d2ddy(t)?4y(t)?4y(t)?x(t)?3x(t)，

dtdtdt2y(0?)?1，y(0?)?2，x(t)?e?tu(t),试求其完全响应。

解：（1）求齐次解yh?t?

特征方程为：??4??4?0 特征根为：?1??2?2 所以，yh?t???C1?C2t?e（2）求特解yp?t?

?2t2

设特解为：yp?t??Ae?t代入原方程得：A?2?t?0??特解为：yp?t??2e?2t?t

（3）全响应y?t??yh?t??yp?t???C1?C2t?e将f(t)?eu(t)代入系统方程得

?t?2e?t

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