概率论与数理统计第四章作业题详解(2)

由对称性得 E(Y)?0，Var(Y)?1 34.26 解：因为X~N(0,4)，Y~U(0,4) 所以 Va(rX)?4，Var(Y)?又X和Y相互独立，故

Var(X?Y)?Var(X)?Var(Y)?4?14(4?0)2? 123416? 334?28. 3 Var(2X?3Y)?4Var(X)?9Var(Y)?4?4?9?4.27

解:容易求得X的概率分布为：P{X?0}?0.3,P{X?1}?0.7,

Y的概率分布为：P{Y??1}?0.4,P{Y?0}?0.2,P{Y?1}?0.4, XY的概率分布为：

P{XY??1}?P{X?1,Y??1}?0.3,P{XY?1}?P{X?1,Y?1}?0.3,，

P{XY?0}?P{X?0,Y??1}?P{X?0,Y?0}?P{X?0,Y?1}?P{X?1,Y?0}?0.4.于是有

E(X)?0?0.3?1?0.7?0.7,

E(Y)?(?1)?0.4?0?0.2?1?0.4?0， E(XY)?(?1)?0.3?0?0.4?1?0.3?0. Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?0.

4.28

解：二维随机变量(X,Y)具有概率密度的标准形式为：

12??1?21??2??x???2?x??1??y??21???????2????????2???2(1??)?1?1??2??1??y??2??????2??????2?f(x,y)?e???

其中?1,?2,?1,?2,?均为常数,且?1?0,?2?0,|?|?1,由此得到：

(X,Y)?N(4,2;3,1,0),因为??0,所以X与Y互不相关。

4.29

解：因为，当0?x?2时，fX(x)?所以 E(X)???2???f(x,y)dy??20x?yx?1 dy?8432?????xf(x)dx??x?022x?11xx7dx?(?)? 4423062E(X2)??x2f(x)dx??????01x3x452x?1x?dx?(?)? 44340357211 ?()?3636711由对称性得 E(Y)?，Var(Y)?

636于是 Var(X)?E(X2)?(EX)2?又因为 E(XY)???????????xyf(x,y)dxdy??dx?xy00222x?ydy 8??2041x12y2y3x(x??x?)dx??(?)dx

08230432x3x24?(?)? 12603所以 COV(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?故 ?XY?4.30

解：由二维随机向量(X,Y)的概率密度函数积分，可以求得两个边缘密度：

4771???? 36636??1. 11COV(X,Y)Var(X)Var(Y)??1/36(11/36)?(11/36)?e?xx?0,?e?yy?0,fX(x)??，fY(y)??

0,其他0,其他??显然，f(x,y)?fX(x)fY(y)，所以X与Y相互独立，从而互不相关。 4.31

解：由 ?XY?COV(X,Y)Var(X)Var(Y) 得:

COV(X,Y)??XY?Var(X)Var(Y)?0.4?25?36?12

因为 Va(rX?Y)?Va(rX)?Va(rY)?2COV(X,Y) 所以 Var(X?Y)?25?36?2?12?85

Var(X?Y)?25?36?2?12?37

4.32

解：因X服从U(?0.5,0.5),所以E(X)?0.于是有

Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?E(XY).

XY?XcosX是关于随机变量X的函数,根据求随机变量函数期望的法则,有

Cov(X,Y)??0.5?0.5xcosxdx.又由于由于被积函数是奇函数，积分域关于原点对称，故此积

COV(X,Y)Var(X)Var(Y)=0.

分为0,于是?XY?第四章 定义、定理、公式、公理小结及补充：

（1）一维随机变量的数字特征 期望 期望就是平均值 离散型 n连续型 密度为f(x)， ??设X是离散型随机变量， 设X是连续型随机变量，其概率E(X)??xkpk k?1（要求绝对收敛） E(X)????xf(x)dx （要求绝对收敛） 函数的期望 Y?g(X) E(Y)??g(xk)pk k?1nY?g(X) ??E(Y)????g(x)f(x)dx ?? 方差 D(X)?E[X?E(X)]2.， D(X)??[xk?E(X)]pk 2kD(X)??[x?E(X)]2f(x)dx ??标准差 ?(X)?D(X)， 矩 定义 设X和Y为随机变量, k,l为正整数, 称E(Xk) 由左边定义可知: (1) X的数学期望E(X)为k阶原点矩(简称k阶矩阵); 是X的一阶原点矩; E([X?E(X)]k) 为k阶中心矩; (2) X的方差D(X)是kE(|X|)为k阶绝对原点X的二阶中心矩; k矩;E(|X?E(X)|)为k阶绝对(3)协方差Cov(X,Y)是中心矩;E(XkYl) 为X和Y的X和Y的二阶混合中心矩. k?l阶混合矩; 2设随机变量X具有数学期望E（X）=μ，方差D（X）=σ，则对于任意正数ε，有下列切比雪夫不等式 切比雪夫不等式 ?2P(X????)?2 ?切比雪夫不等式给出了在未知X的分布的情况下，对概率 P(X????) （2）期望的性质 的一种估计，它在理论上有重要意义。 1. 设C是常数, 则E(C)?C; 2．若k是常数，则E(kX)?kE(X); 3. E(X1?X2)?E(X1)?E(X2); 4. 设X,Y独立, 则E(XY)?E(X)E(Y); （3）方差的性质 1. 设C常数, 则D(C)?0; 2. 若X是随机变量, 若C是常数, 则 D(CX)?C2D(X); 3. 设X,Y是两个随机向量,则 D(X?Y)?D(X)?D(Y)?2E((X?E(X))(Y?E(Y))); 特别地, 若X,Y相互独立, 则 D(X?Y)?D(X)?D(Y). 注: 对n维情形, 有: 若X1,X2,?,Xn相互独立, 则 ?n?n?n?n2D??Xi???D(Xi),D??CiXi???CiD(Xi). ?i?1?i?1?i?1?i?1（4）常见分布的期望和方差 0-1分布B(1,p) 二项分布B(n,p) 泊松分布P(?) 期望 方差 p np p(1?p) np(1?p) ? 1 p? 1?p 2pnM?M??N?n??1???? N?N??N?1?几何分布G(p) 超几何分布H(n,M,N) nM Na?b 2均匀分布U(a,b) (b?a)2 12指数分布e(?) 正态分布N(?,?) 21 ?1?2 ? n 0 ?2 2n ?2分布 t分布 （5）二维随机变量的数字特征 期望 nn(n>2) n?2??E(X)??xipi? i?1E(X)??????xfX(x)dx E(Y)??yjp?j j?1nE(Y)????yfY(y)dy 函数的期望 E[G(X,Y)]＝ E[G(X,Y)]＝ ??G(x,yiijj)pij ????－?－???G(x,y)f(x,y)dxdy 方差 ??D(X)??ij[xi?E(X)]pi? 2D(X)??[x?E(X)]2fX(x)dx ????D(Y)??[xj?E(Y)]2p?j 协方差 D(Y)??[y?E(Y)]2fY(y)dy ??对于随机变量X与Y，称它们的二阶混合中心矩?11为X与Y的协方差或相关矩，记为?XY或cov(X,Y)，即 ?XY??11?E[(X?E(X))(Y?E(Y))]. 与记号?XY相对应，X与Y的方差D（X）与D（Y）也可分别记为?XX与?YY。 相关系数 对于随机变量X与Y，如果D（X）>0, D(Y)>0，则称 ?XYD(X)D(Y) 为X与Y的相关系数，记作?XY（有时可简记为?）。 |?|≤1，当|?|=1时，称X与Y完全相关：P(X?aY?b)?1 ?正相关，当??1时(a?0)，完全相关? 负相关，当???1时(a?0)，?1. |?XY|?1; 2. 若X和Y相互独立, 则?XY?0. 3. 若DX?0,DY?0,则|?XY|?1当且仅当存在常数a,b(a?0). 使P{Y?aX?b}?1, 而且当a?0时, ?XY?1;当a?0时, ?XY??1. 注: 相关系数?XY刻画了随机变量Y与X之间的“线性相关”程度. |?XY|的值越接近1, Y与X的线性相关程度越高; |?XY|的值越近于0, Y与Y的线性相关程度越弱. 当|?XY|?1时, Y与X的变化可完全由X的线性函数给出. 当?XY?0时, Y与X之间不是线性关系. 协方差矩阵 ??XX????YX?XY?YY??? ?kl混合矩 对于随机变量X与Y，如果有E(XY)存在，则称之为X与Y的k+l阶混合原点矩，记为?kl；k+l阶混合中心矩记为： ukl?E[(X?E(X))k(Y?E(Y))l]. （6）协方差的性质 (1)cov(X,X)?D(X); (2)cov(X,Y)?cov(Y,X); (3)cov(aX,bY)?abcov(X,Y),其中a,b是常数; (4)cov(C,X)?0,C为任意常数; (5)cov(X1?X2,Y)?cov(X1,Y)?cov(X2,Y). (6) 若X与Y相互独立时,则cov(X,Y)?0. （7）独立和不相关 （i） （ii） 若随机变量X与Y相互独立，则?XY?0；反之不真。 若（X，Y）～N（?1,?2,?1,?2,?）， 则X与Y相互独立的充要条件是X和Y不相关。

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