2012考研数学华科大辅导班模拟试卷解答 数学三
2011-11-10
一、 选择题：1-8题，每小题4分，共32分。 （1）设函数恒有|f(x)|?xf(x)在N(0,?)内有定义，当x?N(0,?)时，
2，则x?0是
f(x)的（ ）.
（A）间断点； （B）连续但不可导的点； （C）可导的点,且解：C：|f(x)|?x22f?(0)?0（D）可导的点,且f?(0)?0
f(x)x|?0?f?(0)?0?f(0)?0?x?|
（2）曲线y?xarctanxx?1的渐近线的条数为（ ）。
（A）1渐近线； （B）2渐近线； （C）3渐近线; (D) 没有渐近线。
y??所以x解：limx?1?1为垂直渐近线
xarctxan??lim?lim??K1?2x???xx???22x?xylimyx?limxarctanxx?x222
x???x??????2?K2???2
所以有三条渐近线。（C） （3）设
aaf(x)为连续函数， 11t)dt(a?0)?则?1(1?t2)f(t?（ ）
1（A）0； （B）1； （C）a； （D）a
1
解：（A）?1(1?t2)f(t?t)dt??1aa11aaf(t?)d(t?)?tt11?a?a?1a1af(u)du?0
??（4）若级数?an,?bn都发散，则下列级数中一定发
n?1n?1散的是（ ）
??（A）?(|ann?1|?|bn|)
(B) ?(ann?1??bn)
2? (C) ?an?1nbn （Ｄ）?n?1?(an?bn)?2
解：Ａ．若?(|ann?1|?|bn|)收敛，则由比较法得?|an|与
n?1?n?|b|都收敛，所以?a,?b都收敛，与条件矛盾。
nn??n?1n?1n?1 （5） （6） （7） （8）
二、 填空题：9-14题，每小题4分，共24分。 （9）已知f(x)的一个原函数是e?x2，则
?xf?(x)dx? 。
(x)?xf(x)?解：?xf?(x)dx??xdf
?f(x)dx?x(e?x2)??e?x2?C
2
??2xe2?x2?e?x2?C
可微，
?x?t?sint（10）设z?f(x,y)，且?y??(t)其中f,??则dxdz? . ?fx?fydydx,dydx?解：dxxdz??(t)1?costdzdx?fx?fy??(t)1?cost
（11）设函数f(x)连续且f(1)?1， 12arctanx2?0tf(2x?t)dt?.则?12f(x)dx= . 解：令2x?t?u,dt??du12
2?2xx(2x?u)f(u)du?2x2xarctanx12
22x?2?xf(u)du??xuf(u)du?arctanx
x1?x42xxf(u)du?4xf(2x)?2xf(x)?4xf(2x)?xf(x)?2
取x?1 2?1f(u)du?f(1)?x1，所以?122f(x)dx?34*（12）方程y???y?2sinx的特解形式为y?
（不计算系数）
解：??ln2,??1??i??ln2?i不是特征根
y?2(Acosx?Bsinx)
*x（13）
3
（14）
解答题：15-23题，共94分。 （15）计算极限lim x?0x?sinx解
1：l?limex?0esinxeex?eesinxee?exsinx?1x?sinx?elime?exsinxx?0x?sinx
?elimex?0sinxex?sinx?1x?sinxet?e
解2：对f(t)?e在区间[sinx,x]应用拉格朗日中值公式，得 分子?deetdtt??(x?sinx)?eetett??(x?sinx)，
考虑自变量的夹击有，l?1?f(x)??x（16）设
???limex?0e??e
?xsinttA0dtx?0x?0
试确定常数A，使f(x)在(??,??)可导，并求它的幂级数展开式.
?解：1）sint?x??n?0(?1)tn2n?1(2n?1)!n2n?(|t|??)
x?xsintt0dt???(2n?1)!dt???0n?0n?0(?1)t(?1)tn2n?0(2n?1)!dt??(2n?1)!(2n?1)n?0(?1)xn2n?1
4
f(x)?1?xxsintt?0dt??(2n?1)!(2n?1)n?0(?1)xn2nx?R
（右端x?0时值为1）
f(x)要在x?0处连续A?1
（17）设f(x)在[0,1]上可导,且
f(0)?0,f(x)?0(0?x?1),
2f?(?)f(?)3f?(1??)f(1??)证明:存在. ??(0,1)使得
23?
证明：设F(x)?f(x)f(1?x)
F(0)?F(1)?0则F(x)在[0，1]上满足
Rolle-Th
3f?(1??)f(1??)（0，1）存在??使F?(?)?0,所以
2f?(?)f(?)?
（18）设D是xoy平面上以(1,1),(?1,1)和(?1,?1)为顶点的三角形区域。
求??(xy?cosxsiny)dxdy
D解：??Dxydxdy???xydxdyD1???xydxdyD2?0
??cosD2xsinydxdy?0
ydxdy1??(xyD10?cosxsiny)dxdy?11??cosxsinD1y
2?2?cosxdx?xsinydy?2?sinydy0?0cosxdx?2?sin0ydy?1?12sin2 5
（19）抛物面z?x?y22被平面x?y?z?1截成一椭
222圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离。 解：设椭圆上的点P(x,y,z) 则|OP设F(x,y,z)?22222|?x?y?z
x?y?z??1(z?x?y)??2(x?y?z?1)
?Fx?2x?2?1x??2?0?1??F?2y?2?y???0?x?y??y122?F?2z?2?z???012?z3,z?2?3
|OP|?9?53
9?53所以最长距离 （20） (21) （22） （23）
，最短距离
9?53
6
（19）抛物面z?x?y22被平面x?y?z?1截成一椭
222圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离。 解：设椭圆上的点P(x,y,z) 则|OP设F(x,y,z)?22222|?x?y?z
x?y?z??1(z?x?y)??2(x?y?z?1)
?Fx?2x?2?1x??2?0?1??F?2y?2?y???0?x?y??y122?F?2z?2?z???012?z3,z?2?3
|OP|?9?53
9?53所以最长距离 （20） (21) （22） （23）
，最短距离
9?53
6
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