5、设xx是一组样本观测值，则其标准差是（ B ）。 ,2,?,x1n1A.
n?11n1n1n22(xi?x) B. (xi?x) C. ?(xi?x) D. ?(xi?x) ??ni?1ni?1n?1i?1i?1n21、若A、B相互独立，则下列式子成立的为（ A ）。 A. P(AB)?P(A)P(B)
B. P(AB)?0 C. P(A|B)?P(B|A) D. P(A|B)?P(B)
）。
2、若随机事件A,B的概率分别为P(A)?0.6，P(B)?0.5，则A与B一定（D A. 相互对立 B. 相互独立 C. 互不相容 D.相容
1, 事件A发生3、设?(x)为标准正态分布函数，Xi???，X100相互 i?1, 2,?, 100,且P(A)?0.6，X1，X2，? 否则?0，独立。令Y??Xi?1100i，则由中心极限定理知Y的分布函数F(y)近似于（B ）。
A. ?(y) B．?(y?60y?60) ) C．?(y?60) D．?(24244、设随机变量X ～N(μ，81)，Y ～N(μ，16)，记p1?P{X???9},p2?{Y???4}，则（ B ）。 A. p1
1y?71y?7f(?) B. f(?)5555 1y?71y?7C. ?f(?) D. f(?)5555A. ?1、对任意两个事件A和B， 若P(AB)?0， 则（ D ）。 A. AB?? B. AB?? C. P(A)P(B)?0
D. P(A?B)?P(A)
2、设A、B为两个随机事件，且0?P(A)?1，0?P(B)?1， P(B|A)?P(B|A)， 则必有（ B ）。 A. P(A|B)?P(A|B)
B. P(AB)?P(A)P(B) C. P(AB)?P(A)P(B)
D. A、B互不相容
3、设?(x)为标准正态分布函数，
事件A发生?1, Xi?? i?1, 2,?, 100,且P(A) 否则?0，?0.7，X1，X2，?，X100相互独立。令Y??Xi，则由中心
i?1100第11页，共90页
极限定理知Y的分布函数F(y)近似于（ B ）。 A. ?(y) B．?(y?70y?70) ) C．?(y?70) D．?(21214、已知随机变量X和Y相互独立，且它们分别在区间[－1，3]和[2，4]上服从均匀分布，则E(XY)?（ A ）。 A. 3 B. 6 C. 10 D. 12
5、设随机变量X ～N(μ，9)，Y ～N(μ，25)，记p1?P{X???3},p2?{Y???5}，则（ B ）。 A. p1
A. P(A1A2)?P(A) B. P(A1A2)?P(A) C. P(A1A2)?P(A) D. P(A1)P(A2)?P(A) 2、已知随机变量X的概率密度为fX(x)，令Y??2X?3，则Y的概率密度fY(y)为（ A ）。 A. ?1y?31y?31y?31y?3fX(?) B. fX(?) C. ?fX(?) D. fX(?) 222222223、两个独立随机变量X,Y，则下列不成立的是（ C ）。
A. EXY?EXEY B. E(X?Y)?EX?EY C. DXY?DXDY D. D(X?Y)?DX?DY
4、设?(x)为标准正态分布函数，Xi???1, 事件A发生 否则?0， i?1, 2,?, 100,且P(A)?0.9，X1，X2，?，X100相互
独立。令Y??Xi?1100i，则由中心极限定理知Y的分布函数F(y)近似于（ B ）。
A. ?(y) B．?(y?90y?90) C．?(y?90) D．?() 392
5、设总体X的数学期望EX＝μ，方差DX＝σ，X1，X2，X3是来自总体X的简单随机样本，则下列μ的估计量中最有效的是
（ B ）
111111X1?X2?X3 B. X1?X2?X3 424333342121C. X1?X2?X3 D. X1?X2?X3555662A. 1、若事件A1,A2,A3两两独立，则下列结论成立的是（ B ）。 A. A1,A2,A3相互独立
B. A1,A2,A3两两独立
第12页，共90页
C. P(A1A2A3)?P(A1)P(A2)P(A3)
D. A1,A2,A3相互独立
2、连续型随机变量X的密度函数f (x)必满足条件（ C ）。
A. 0?f(x)?1 B. 在定义域内单调不减C. ?????
f(x)dx?1 D. lim f(x)?1x???3、设X1,X2是任意两个互相独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为f1(x)和f2(x)，分布函数分别为F1(x)和
。 F2(x)，则（ B ）
A. f1(x)?f2(x)必为密度函数 B. F1(x)?F2(x)必为分布函数 C. F1(x)?F2(x)必为分布函数 D. f1(x)?f2(x)必为密度函数
4、设随机变量X, Y相互独立，且均服从[0，1]上的均匀分布，则服从均匀分布的是（ B ）。 A. X Y B. （X, Y） C. X — Y D. X + Y 5、设?(x)为标准正态分布函数，
n事件A发生?1, Xi?? i?1, 2,?, n,且P(A)?p，X1，X2，，Xn相互独立。令Y??Xi，则由中心极限定理
否则i?1?0，知Y的分布函数F(y)近似于（ B ）。 A. ?(y) B．?(y?npy?np) ) C．?(y?np) D．?(np(1?p)np(1?p)
三（5）、市场上出售的某种商品由三个厂家同时供货，其供应量第一厂家为第二厂家的两倍，第二、第三厂家相等，且第一、
第二、第三厂家的次品率依次为2％，2％，4％。若在市场上随机购买一件商品为次品，问该件商品是第一厂家生产的概率为多少？
解 设Ai表示产品由第i家厂家提供，i=1, 2, 3；B表示此产品为次品。 则所求事件的概率为
1?0.02P(A1|B)P(A1)P(B|A1)2P(A1|B)?? ＝?0.4
111P(B)P(A1)P(B|A1)?P(A2)P(B|A2)?P(A3)P(B|A3)?0.02??0.02??0.04244第13页，共90页
答：该件商品是第一产家生产的概率为0.4。
三（6）、甲、乙、丙三车间加工同一产品，加工量分别占总量的25%、35%、40%，次品率分别为0.03、0.02、0.01。现从所
有的产品中抽取一个产品，试求（1）该产品是次品的概率；（2）若检查结果显示该产品是次品，则该产品是乙车间生产的概率是多少？
解：设A1，A2，A3表示甲乙丙三车间加工的产品，B表示此产品是次品。 （1）所求事件的概率为
P(B)?P(A1)P(B|A1)?P(A2)P(B|A2)?P(A3)P(B|A3)?0.25?0.03?0.35?0.02?0.4?0.01?0.0185 （2）P(A1|B)?P(A2)P(B|A2)0.35?0.02 = ?0.38
P(B)0.0185答：这件产品是次品的 概率为0.0185，若此件产品是次品，则该产品是乙车间生产的概率为0.38。
三（7）、一个机床有1/3的时间加工零件A，其余时间加工零件B。加工零件A时停机的概率是0.3，加工零件A时停机的概
率是0.4。求（1）该机床停机的概率；（2）若该机床已停机，求它是在加工零件A时发 生停机的概率。 解：设C1，C2，表示机床在加工零件A或B，D表示机床停机。 （1）机床停机夫的概率为
P(B)?P(C1).P(D|C1)?P(C2).P(D|A2)?（2）机床停机时正加工零件A的概率为
1211?0.3??0.4? 33301?0.3P(C1).P(D|C1)33P(C1|D)? = ?
11P(D)1130三（8）、甲、乙、丙三台机床加工一批同一种零件，各机床加工的零件数量之比为5：3：2，各机床所加工的零件合格率依次
为94％，90％，95％。现从加工好的整批零件中随机抽查一个，发现是废品，判断它是由甲机床加工的概率。 解 设A1，A2，A3表示由甲乙丙三机床加工，B表示此产品为废品。（2分） 则所求事件的概率为
第14页，共90页
1?0.06P(A1|B)P(A1)P(B|A1)32P(A1|B)??3 ＝?
P(B)0.5?0.06?0.3?0.10?0.2?0.057?P(Ai)P(B|Ai)i?1答：此废品是甲机床加工概率为3/7。
三（9）、某人外出可以乘坐飞机、火车、轮船、汽车四种交通工具，其概率分别为5％、15％、30％、50％，乘坐这几种交通
工具能如期到达的概率依次为100％、70％、60％、90％。已知该人误期到达，求他是乘坐火车的概率。 （10分）
解：设A1，A2，A3，A4分别表示乘坐飞机、火车、轮船、汽车四种交通工具，B表示误期到达。 则P(A2|B)?0.15?0.3P(A2|B)P(A)P(B|A2)?0.209 ?42 ＝
0.05?0?0.15?0.3?0.3?0.4?0.5?0.1P(B)?P(Ai)P(B|Ai)i?1答：此人乘坐火车的概率为0.209。
三（10）、某人外出可以乘坐飞机、火车、轮船、汽车四种交通工具，其概率分别为5％、15％、30％、50％，乘坐这几种交
通工具能如期到达的概率依次为100％、70％、60％、90％。求该人如期到达的概率。
解：设A1，A2，A3，A4分别表示乘坐飞机、火车、轮船、汽车四种交通工具，B表示如期到达。 则P(B)??P(A)P(B|A) ?0.05?1?0.15?0.7?0.3?0.6?0.5?0.9?0.785
iii?14答：如期到达的概率为0.785。 四（1）设随机变量X的概率密度函数为
?Ax, 0?x?1 f(x)??0， 其它?求（1）A； （2）X的分布函数F (x)； （3） P (0.5 < X <2 )。
A21Ax|0??1 ??0解： 22 A?2 （）1 ???f(x)dx??Axdx?1第15页，共90页
数理统计练习
一、填空题
1、设A、B为随机事件，且P(A)=0.5，P(B)=0.6，P(B?A)=0.8，则P(A+B)=__ 0.7 __。 2、某射手对目标独立射击四次，至少命中一次的概率为
802，则此射手的命中率。
3813、设随机变量X服从[0，2]上均匀分布，则D(X)2? 1/3 。
[E(X)]4、设随机变量X服从参数为?的泊松（Poisson）分布，且已知E[(X?1)(X?2)]＝1，则??___1____。 5、一次试验的成
功率为p，进行100次独立重复试验，当p?1/2_____时 ，成功次数的方差的值最大，最大值为 25 。
26、（X，Y）服从二维正态分布N(?1,?2,?12,?2,?)，则X的边缘分布为 N(?1,?1) 。
27、已知随机向量（X，Y）的联合密度函数
?3?xy2,f(x,y)??2??0,0?x?2,0?y?1，则
其他E(X)=4。
38、随机变量X的数学期望EX??，方差DX??2，k、b为常数，则有E(kX?b)= k??b,；D(kX?b)=k2?2。
9、若随机变量X ～N (－2，4)，Y ～N (3，9)，且X与Y相互独立。设Z＝2X－Y＋5，则Z ～ N(-2, 25) 。
?, ??是常数?的两个 无偏 估计量，若D(??)?D(??)，则称??比??有效。 10、?1212121、设A、B为随机事件，且P(A)=0.4, P(B)=0.3, P(A∪B)=0.6，则P(AB)=_0.3__。 2、设X?B(2,p)，Y?B(3,p)，且P{X ≥ 1}=5，则P{Y≥ 1}=19。
9
273、设随机变量X服从参数为2的泊松分布，且Y =3X -2, 则E(Y)=4 。 4、设随机变量X服从[0,2]上的均匀分布，Y=2X+1，则D(Y)= 4/3 。 5、设随机变量X的概率密度是：
?3x2f(x)???00?x?1，且P?X其他????0.784，则
?=0.6 。
6、利用正态分布的结论，有
??????1(x2?4x?4)e2?(x?2)22dx? 1 。
第1页，共90页
7、已知随机向量（X，Y）的联合密度函数
?3?xy2,f(x,y)??2??0,0?x?2,0?y?1，则
其他E(Y)= 3/4 。
8、设（X，Y）为二维随机向量，D(X)、D(Y)均不为零。若有常数a>0与b使
P?Y??aX?b??1，则X与Y的相关系数?XY?-1 。
9、若随机变量X ～N (1，4)，Y ～N (2，9)，且X与Y相互独立。设Z＝X－Y＋3，则Z ～ N (2, 13) 。
10、设随机变量X～N (1/2，2)，以Y表示对X的三次独立重复观察中“X?1/2”出现的次数，则P{Y?2}= 3/8 。 1、设A，B为随机事件，且P(A)=0.7，P(A－B)=0.3，则P(A?B)?0.6 。
2、四个人独立地破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为1,1,1,1，则密码能被译出的概率是 11/24 。
5436
5、设随机变量X服从参数为?的泊松分布，且3P?X?2??P?X?4?，则?= 6 。
6、设随机变量X ~ N (1, 4)，已知Φ(0.5)=0.6915，Φ(1.5)=0.9332，则PX?2? 0.6247 。
??7、随机变量X的概率密度函数f(x)?1?e?x2?2x?1，则E(X)= 1 。
8、已知总体X ~ N (0, 1)，设X1，X2，?，Xn是来自总体X的简单随机样本，则
?X
i?1
n
2
i
~x(n)。
29、设T服从自由度为n的t分布，若PT????，则P?T???????a。 2xy,10、已知随机向量（X，Y）的联合密度函数f(x,y)????0,0?x?2,0?y?1，则E(X)= 4/3 。
其他1、设A，B为随机事件，且P(A)=0.6, P(AB)= P(AB), 则P(B)= 0.4 。 2、设随机变量X与Y相互独立，且
XP?11Y，
0.50.5P?11，则P(X =Y)=_ 0.5_。
0.50.53、设随机变量X服从以n, p为参数的二项分布，且EX=15，DX=10，则n= 45 。
4、设随机变量X~N(?,?)，其密度函数
2f(x)?16?e?x2?4x?46，则?= 2 。
5、设随机变量X的数学期望EX和方差DX>0都存在，令Y?(X?EX)/DX，则DY= 1 。
第2页，共90页
6、设随机变量X服从区间[0，5]上的均匀分布，Y服从??5的指数分布，且X，Y相互独立，则(X, Y)的联合密度函数f (x,
?e?5yy)= ??00?x?5,y?0其它。
7、随机变量X与Y相互独立，且D(X)=4，D(Y)=2，则D(3X －2Y )＝ 44。 8、设X1,X2,?,Xn是来自总体X ~ N (0, 1)的简单随机样本，则
?(Xi?1ni?X)2服从的分布为x2(n?1)。
9、三个人独立地向某一目标进行射击，已知各人能击中的概率分别为,111,，则目标能被击中的概率是3/5 。 543?4xe?2y,0?x?1,y?010、已知随机向量(X, Y)的联合概率密度f(x,y)??，
其它?0则EY = 1/2 。
1、设A,B为两个随机事件，且P(A)=0.7, P(A-B)=0.3，则P(AB)=__0.6 __。 2、设随机变量X的分布律为
Xp01211，且X与Y独立同分布，则随机变量Z ＝max{X,Y }的分布律为ZP2014134。
3、设随机变量X ～N (2，?)，且P{2 < X <4}＝0.3，则P{X < 0}＝0.2 。
?24、设随机变量X 服从??2泊松分布，则P?X?1?=1?e。
25、已知随机变量X的概率密度为fX(x)，令Y??2X，则Y的概率密度fY(y)为
1yfX(?)。 226、设X是10次独立重复试验成功的次数，若每次试验成功的概率为0.4，则D(X)? 2.4 。
7、X1，X2，?，Xn是取自总体N??,??的样本，则
2?(Xi?1ni?X)2?2～x(n?1)。
2?4xe?2y,0?x?1,y?08、已知随机向量(X, Y)的联合概率密度f(x,y)??，则EX = 2/3 。
其它?0?为参数?的 无偏 估计量，如果E(?)=?。 9、称统计量?10、概率很小的事件在一次试验中几乎是不可能发生的，这个原理称为 小概率事件原理。 1、设A、B为两个随机事件，若P(A)=0.4，P(B)=0.3，P(A?B)?0.6，则P(AB)? 0.3 。
?第3页，共90页
2、设X是10次独立重复试验成功的次数，若每次试验成功的概率为0.4，则E(X2)? 18.4 。
3、设随机变量X～N (1/4，9)，以Y表示对X的5次独立重复观察中“X?1/4”出现的次数，则P{Y?2}= 5/16 。 4、已知随机变量X服从参数为?的泊松分布，且P(X=2)=P(X=4)，则?=23。
??5、称统计量?为参数?的无偏估计量，如果E(?)=θ 。
6、设X~N(0,1),Y~x2(n)，且X，Y相互独立，则
XYn~ t(n) 。
7、若随机变量X～N (3，9)，Y～N (－1，5)，且X与Y相互独立。设Z＝X－2Y＋2，则Z ～ N (7，29) 。 8、已知随机向量(X, Y)的联合概率密度f(x,y)??6xe???3y,00?x?1,y?0，则EY = 1/3 。
其它9、已知总体X~N(?,?),X1,X2,?,Xn是来自总体X的样本，要检验Ho：?22??20，则采用的统计量是
(n?1)S2?20。
10、设随机变量T服从自由度为n的t分布，若PT????，则P?T????1???a。 21、设A、B为两个随机事件，P(A)=0.4, P(B)=0.5，P(AB)?0.7，则P(A?B)? 0.55 。 2、设随机变量X ~ B (5, 0.1)，则D (1－2X )＝ 1.8 。 3、在三次独立重复射击中，若至少有一次击中目标的概率为
37，则每次射击击中目标的概率为 1/4 。 644、设随机变量X的概率分布为P(X?1)?0.2,P(X?2)?0.3,P(X?3)?0.5，则X的期望EX= 2.3。 5、将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和Y的相关系数等于－1。 6、设(X, Y)的联合概率分布列为
－1 0 4 －2 1 1/9 1/18 1/3 2/9 a b 若X、Y相互独立，则a = 1/6 ，b = 1/9 。
第4页，共90页
7、设随机变量X服从[1，5]上的均匀分布，则P?2?X?4?? 1/2 。 8、三个人独立地破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为,111,，则密码能被译出的概率是3/5 。 5439、若X~N(?1,?2),X1,X2,?,Xn是来自总体X的样本，则X,S2分别为样本均值和样本方差，
(X??)n~ t (n-1) 。
S?,??是常数?的两个无偏估计量，若D(??)?D(??)，则称??比?? 有效 。 10、?1212121、已知P (A)=0.8，P (A－B)=0.5，且A与B独立，则P (B) ＝ 3/8 。 2、设随机变量X～N(1，4)，且P{ X ? a }= P{ X ? a }，则a ＝ 1 。 3、随机变量X与Y相互独立且同分布，P(X??1)?P(Y??1)?11，P(X?1)?P(Y?1)?，则P(X?Y)?0.5。 224、已知随机向量(X, Y)的联合分布密度f(x,y)???4xy0?x?1,0?y?1，则EY= 2/3 。
0其它?5、设随机变量X～N (1，4)，则PX?2＝ 0.3753 。（已知?(0.5)=0.6915，?(1.5)=0.9332） 6、若随机变量X～N (0，4)，Y～N (－1，5)，且X与Y相互独立。设Z＝X＋Y－3，则Z ～ N (－4，9) 。 7、设总体X～N(1，9)，X1, X2, ?, Xn是来自总体X的简单随机样本，X, S分别为样本均值与样本方差，则
2??1n1n222；?(Xi?1)2~?（9）。 (Xi?X)~?(8)；?9i?19i?18、设随机变量X服从参数为?的泊松分布，且3P?X?2??P?X?4?，则?= 6 。
9、袋中有大小相同的红球4只，黑球3只，从中随机一次抽取2只，则此两球颜色不同的概率为 4/7 。
10、在假设检验中，把符合H0的总体判为不合格H0加以拒绝，这类错误称为 一错误；把不符合H0的总体当作符合H0而接受。
这类错误称为 二 错误。
1、设A、B为两个随机事件，P(A)=0.8，P(AB)=0.4，则P(A－B)= 0.4 。
2、设X是10次独立重复试验成功的次数，若每次试验成功的概率为0.4，则D(X)? 2.4 。 3、设随机变量X的概率分布为
X P －1 0.1 0 0.3 1 0.2 2 0.4 第5页，共90页
则PX2?1= 0.7 。
4、设随机变量X的概率密度函数f(x)???1?e?x2?2x?1，则D(X)=
12 。
5、袋中有大小相同的黑球7只，白球3只，每次从中任取一只，有放回抽取，记首次抽到黑球时抽取的次数为X，则P {X＝
10}＝ 0.39*0.7 。
46、某人投篮，每次命中率为0.7，现独立投篮5次，恰好命中4次的概率是C5?0.74?0.31。
7、设随机变量X的密度函数f(x)?1e2??(x?2)22，且P?X?c??P?X?c?，则c = -2 。
8、已知随机变量U = 4－9X，V= 8＋3Y，且X与Y的相关系数?XY＝1，则U与V的相关系数?UV＝－1。 9、设X~N(0,1),Y~x2(n)，且X，Y相互独立，则
XYn~t (n)
10、概率很小的事件在一次试验中几乎是不可能发生的，这个原理称为 小概率事件原理 。 1、随机事件A与B独立，P(A?B)?0.7,P(A)?0.5，则P(B)? 0.4 。 2、设随机变量X的概率分布为则X的概率分布为
3、设随机变量X服从[2，6]上的均匀分布，则P?3?X?4?? 0.25 。
4、设X表示10次独立重复射击命中目标的次数，且每次命中率为0.4，则EX=_18.4__。
?X??~222
5、随机变量X~N(?,4)，则Y N(0,1) 。
6、四名射手独立地向一目标进行射击，已知各人能击中目标的概率分别为1/2、3/4、2/3、3/5，则目标能被击中的概率是
59/60 。
7、一袋中有2个黑球和若干个白球，现有放回地摸球4次，若至少摸到一个白球的概率是
80，则袋中白球的个数是 4 。 818、已知随机变量U = 1＋2X，V= 2－3Y，且X与Y的相关系数?XY ＝－1，则U与V的相关系数?UV ＝ 1 。 9、设随机变量X～N (2，9)，且P{ X ? a }= P{ X ? a }，则a＝ 2 。
??10、称统计量?为参数?的无偏估计量，如果E(?)= θ
第6页，共90页
二、选择题
1、设随机事件A与B互不相容，且P(A)?P(B)?0，则（ D ）。
Ａ. P(A)?1?P(B) B. P(AB)?P(A)P(B) Ｃ. P(A?B)?1 Ｄ. P(AB)?1 2、将两封信随机地投入四个邮筒中，则未向前面两个邮筒投信的概率为（ A ）。
1C22!222!A. 2 B. 2 C. D. 24!4P4C4３、已知随机变量X的概率密度为fX(x)，令Y??2X，则Y的概率密度fY(y)为（ D ）。 A. 2fX(?2y) B. fX(?y1y1y) C. ?fX(?) D. fX(?) 22222４、设随机变量X~f(x)，满足f(x)?f(?x)，F(x)是x的分布函数，则对任意实数a有（ B ）。 A. F(?a)?1??a0f(x)dx B. F(?a)?a1??f(x)dx C. F(?a)?F(a) D. F(?a)?2F(a)?1 20５、设?(x)为标准正态分布函数，
100?1, 事件A发生；?，X100相互独立。令Y??Xi，则由中心极Xi?? i?1, 2,?, 100,且P(A)?0.8，X1，X2，0， 否则；i?1?限定理知Y的分布函数F(y)近似于（ B ）。 A. ?(y) B．?(y?80) C．?(16y?80) D．?(4y?80) 4１、设A，B为随机事件，P(B)?0，P(A|B)?1，则必有（ A ）。
A. P(A?B)?P(A) B. A?B C. P(A)?P(B) D. P(AB)?P(A)
２、某人连续向一目标射击，每次命中目标的概率为34，他连续射击直到命中为止，则射击次数为3的概率是（ C ）。 33321123212A. B. （）（）? C. （）? D. C（） 44444443、设X1, X2是来自总体X的一个简单随机样本，则最有效的无偏估计是( A )。 A. ??11121323X1?X2 B. ??X1?X2 C. ??X1?X2 D. ??X1?X2 223344554、设?(x)为标准正态分布函数，
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?1, 事件A发生；?，X100相互独立。令Y?Xi?? i?1, 2,?, 100,且P(A)?0.1，X1，X2， 否则。?0，?Xi?1100i，则由中心极限定
理知Y的分布函数F(y)近似于（ B ）。 A. ?(y) B．?(y?10) C．?(3y?10) D．?(9y?10) 35、设(X1,X2,?,Xn)为总体N(1,22)的一个样本，X为样本均值，则下列结论中正确的是（ D ）。
X?11n1n2A. ~t(n)； B. ?(Xi?1)~F(n,1)； C. ~N(0,1)； D. ?(Xi?1)2~?2(n)；
4i?14i?12/n2/nX?1１、已知A、B、C为三个随机事件，则A、B、C不都发生的事件为（A）。 A. ABC
２、下列各函数中是随机变量分布函数的为（ B ）。
B. ABC
C. A+B+C D. ABC
?1?0x,???x?? B. F(x)??A. F(x)?1?x2??1?xC. F(x)?e,???x?? D. F(x)??xx?0x?0
31?arctgx, ???x?? 42?3、(X,Y)是二维随机向量，与Cov(X,Y)?0不等价的是（ D ）
A. E(XY)?E(X)E(Y) B. D(X?Y)?D(X)?D(Y) C. D(X?Y)?D(X)?D(Y) D. X和Y相互独立 4、设?(x)为标准正态分布函数，
100?1, 事件A发生Xi?? i?1, 2,?, 100,且P(A)?0.2，X1，X2，?，X100相互独立。令Y??Xi，则由中心极
否则i?1?0，限定理知Y的分布函数F(y)近似于（ B ）。 A. ?(y) B．?(2y?20) C．?(16y?20) D．?(4y?20) 425、设总体X~N(?,2)，其中?未知，X1,X2,?,Xn为来自总体的样本，样本均值为X，样本方差为s， 则下列各
式中不是统计量的是（ C ）。
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A. 2X
s2 B. 2
? C.
X??? D.
(n?1)s2?2
1、若随机事件A与B相互独立，则P(A?B)＝（ B ）。
A. P(A)?P(B) B. P(A)?P(B)?P(A)P(B) C. P(A)P(B) D. P(A)?P(B)
2、设总体X的数学期望EX＝μ，方差DX＝σ，X1，X2，X3，X4是来自总体X的简单随机样本，则下列μ的估计量中最有效
的是（ D ）
1111111X1?X2?X3?X3 B. X1?X2?X3 663333334111111C. X1?X2?X3?X4 D. X1?X2?X3?X455554444A. 2
3、设?(x)为标准正态分布函数，Xi???1, 事件A发生 否则?0， i?1, 2,?, 100,且P(A)?0.3，X1，X2，?，X100相互
独立。令Y??Xi?1100i，则由中心极限定理知Y的分布函数F(y)近似于（ B ）。
A. ?(y) B．?(y?30y?30) D．?(y?30) ) C．?(2121k?1，k?0,1,2,3，则E(X)＝（ B ）。 104、设离散型随机变量的概率分布为P(X?k)?A. 1.8 B. 2 C. 2.2 D. 2.4 5、在假设检验中, 下列说法错误的是（ C ）。
A. H1真时拒绝H1称为犯第二类错误。 B. H1不真时接受H1称为犯第一类错误。 C. 设P{拒绝H0|H0真}??，P{接受H0|H0不真}??，则?变大时?变小。 D. ?、?的意义同（C），当样本容量一定时，?变大时则?变小。 1、若A与B对立事件，则下列错误的为（ A ）。
A. P(AB)?P(A)P(B) B. P(A?B)?1 C. P(A?B)?P(A)?P(B) D. P(AB)?0 2、下列事件运算关系正确的是（ A ）。
A. B?BA?BA B. B?BA?BA C. B?BA?BA D. B?1?B 3、设?(x)为标准正态分布函数，
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事件A发生?1, ?，X100相互独立。令YXi?? i?1, 2,?, 100,且P(A)?0.4，X1，X2， 否则?0，??Xi，则由中心
i?1100极限定理知Y的分布函数F(y)近似于（ B ）。 A. ?(y) B．?(y?40y?40) ) C．?(y?40) D．?(24244、若E(XY)?E(X)E(Y)，则（D ）。 A. X和Y相互独立
B. X与Y不相关 C. D(XY)?D(X)D(Y) D. D(X?Y)?D(X)?D(Y)
5、若随机向量（X,Y）服从二维正态分布，则①X,Y一定相互独立； ② 若?XY?0，则X,Y一定相互独立；③X和Y都服从一维正态分布；④若X,Y相互独立，则 Cov (X, Y ) =0。几种说法中正确的是（ B ）。 A. ① ② ③
④ B. ② ③ ④ C. ① ③ ④ D. ① ② ④
1、设随机事件A、B互不相容，P(A)?p, P(B)?q，则P(AB)＝（ C ）。 A. (1?p)q B. pq C. q D.p
2、设A，B是两个随机事件，则下列等式中（ C ）是不正确的。
A. P(AB)?P(A)P(B)，其中A，B相互独立 B. P(AB)?P(B)P(AB)，其中P(B)?0 C. P(AB)?P(A)P(B)，其中A，B互不相容 D. P(AB)?P(A)P(BA)，其中P(A)?0 3、设?(x)为标准正态分布函数，
100?1, 事件A发生?，X100相互独立。令Y??Xi，则由中心极限Xi?? i?1, 2,?, 100,且P(A)?0.5，X1，X2， 否则i?1?0，定理知Y的分布函数F(y)近似于（ B ）。 A. ?(y) B．?(y?50y?50) C．?(y?50) D．?() 5254、设随机变量X的密度函数为f (x)，则Y = 5 — 2X的密度函数为（ B ）
1y?51y?5f(?) B. f(?) 22221y?51y?5C. ?f(?) D. f(?)2222A. ?第10页，共90页
（2）当x?0时， F(x)??x??xf(t)dt?0 f(t)dt??2tdt?x2 0x 当0?x?1时， F(x)?? 当x?1时， F(x)????x??f(t)dt??2tdt?1
01?0, x?0? 故 F(x)??x2, 0?x?1 ?1, x?1? (3) P（1/2 0?x?2 ?kx?1, f(x)?? 其它 ?0, 求（1）k ；（2）分布函数F (x)； （3）P (1.5 2k2f(x)dx??(kx?1)dx?(x2?x)|0?2k?2?1 ??0解： 2 k??1/2 (1) ???（2）当x?0时， F(x)??x??xf(t)dt?0 x2f(t)dt??(?0.5t?1)dt???x 04x 当0?x?2时， F(x)?? 当x?2时， F(x)????x??f(t)dt?1 ?0, x?0?2?x 故 F(x)????x, 0?x?2 ?4??1, x?2(3) P（1.5 ? 0?x?1?ax, f(x)?? ? 其它?0, 求（1）a；（2）X的分布函数F (x)；（3）P ( X >0.25)。 第16页，共90页 2f(x)dx??axdx?a?1 ??0解： 3 a?3/2 (1) ???1（2）当x?0时， F(x)??xf(t)dt?0 ?? 当0?x?1时， F(x)??x3/2??f(t)dt??x302tdt?x 当x?1时， F(x)??x??f(t)dt?1 ?0, x?0 故 F(x)???x3/2 , 0?x?1 ??1, x?1(3) P（X>1/4）=1—F(1/4)=7/8 四（4）、已知连续型随机变量X的概率密度为 f(x)???2x, x?(0,A) ?0, 其它求（1）A；（2）分布函数F (x)；（3）P (－0.5 < X <1)。 解： (1) ?????f(x)dx??A02xdx?A2?1 A?1 2）当x?0时， F(x)??x??f(t)dt?0 当0?x?1时， F(x)??x??f(t)dt??x02tdt?x2 当x?1时， F(x)??x??f(t)dt?1 ?0, x?0 故 F(x)???x2, 0?x?1 ??1, x?1(3) P（-0.5 ?cf(x)???1?x2, x?1 ??0, 其它求（1）c； （2）分布函数F (x)；（3） P (-0.5 < X < 0.5)。 第17页，共90页 ） （解： (1) ???1-x2 c?1/? ???1xf(x)dx?? 1cdx?carcsinx|1?1?c??1 （2）当x??1时， F(x)????xf(t)dt?0 f(t)dt??x 当?1?x?1时， F(x)?? ?11???1?1?t2dt?1?xarcsint|?1 ?(arcsinx?x???2 ) 当x?1时， F(x)??f(t)dt?1 ?0, x??1?1?? 故 F(x)??(arcsinx? ), －1?x?1 2????1, x?1(3) P（-0.5 x??2?F(x)??A?Be, x?0 ? 其它?0, 2求（1）A，B； （2）密度函数f (x)；（3）P (1 (1) lim F(x)?A?1 x??? F(x)?A?B?0解： lim?x?0 B??1 （2） ?xe?x/2, x?0? f(x)? F?(x)?? ??0, x?0(3) P（1 四（7）、已知连续型随机变量X的分布函数为 F(x)?A?Barctanx 求（1）A，B； （2）密度函数f (x)；（3）P (1 第18页，共90页 (1) lim F(x)?A?x????2B?1 解： lim F(x)?A?x??? B?02 A?1/2, B?1/? ?（2） f(x)? F?(x)? 1 ?(1?x2)(3) P（0 1?arctan2 四（8）、已知连续型随机变量X的分布函数为 x?0?0, ?F(x)??Ax, 0?x?1 ?1, x?1?求（1）A； （2）密度函数f (x)；（3）P (0< X< 0.25 )。 （2）解： (1) lim F(x)?A?1 x?1?1 , 0?x?1? A?1 f(x)? F?(x)??2x?0, 其他?(3) P（0 A? x?2?1?2, F(x)??x? x?2?0, 求（1）A； （2）密度函数f (x)；（3）P (0 ≤ X ≤ 4 )。 （2）、解： (1) lim F(x)?1?A/4?0 x?2?8 ?3, x?2? A?4 f(x)? F(x)??x??0, x?2(3) P（0 四（10）、已知连续型随机变量X的密度函数为 第19页，共90页 ?2x?, x?(0,a) f(x)???2?0, 其它?求（1）a； （2）分布函数F (x)；（3）P (－0.5 < X < 0.5 )。 （2）当x?0时， F(x)??f(t)dt?0 ??x??a2xx(1) ?f(x)dx?? 2dx?1 当x??时， F(x)???0?解：???f(t)dt?1 a?? ?0, x?0?2?x 故 F(x)??2, 0?x?? ????1, x??2tx2 当0?x??时， F(x)??f(t)dt??2dt?2 ??0??xx(3) P（-0.5 14?2 五（1）、设系统L由两个相互独立的子系统L1，L2并联而成，且L1、L2的寿命分别服从参数为?,?(???)的指数分布。求系 统L的寿命Z的密度函数。 解：令X、Y分别为子系统L1、L2的寿命，则系统L的寿命Z＝max (X, Y)。 显然，当z≤0时，F Z (z)＝P (Z≤z)＝P (max (X, Y)≤z)＝0； 当z>0时，F Z (z)＝P (Z≤z)＝P (max (X, Y)≤z) ＝P (X≤z, Y≤z)＝P (X≤z)P (Y≤z)＝因此，系统L的寿命Z的密度函数为 ??e0z??xdx??e??ydy＝(1?e??z)(1?e??z)。 0z??e??z??e??z?(???)e?(???)z, z?0dFZ(z)??f Z (z)＝ dz0, z?0?五（2）、已知随机变量X～N（0，1），求随机变量Y＝X 的密度函数。 解：当y≤0时，F Y (y)＝P (Y≤y)＝P (X ≤y)＝0； 当y>0时，F Y (y)＝P (Y≤y)＝P (X ≤y)＝P(?y?X?2 2 2 y) ＝ ?y12??ye?x2/2dx?2?y12?0e?x2/2dx 第20页，共90页 ?e?y/2, y?0,d?因此，f Y (y)＝ FY(y)??2? ydy?0, y?0. ?五（3）、设系统L由两个相互独立的子系统L1、L2串联而成，且L1、L2的寿命分别服从参数为?,?(???)的指数分布。求系 统L的寿命Z的密度函数。 解：令X、Y分别为子系统L1、L2的寿命，则系统L的寿命Z＝min (X, Y)。 显然，当z≤0时，F Z (z)＝P (Z≤z)＝P (min (X, Y)≤z)＝0； 当z>0时，F Z (z)＝P (Z≤z)＝P (min (X, Y)≤z)＝1－P (min (X, Y)>z) ＝1－P (X>z, Y>z)＝1－P (X>z)P (Y>z)＝1?因此，系统L的寿命Z的密度函数为 ???z?e??xdx??e??ydy＝1?e?(???)z。 z????(???)e?(???)z, z?0df Z (z)＝ FZ(z)??dz0, z?0?五（4）、已知随机变量X～N（0，1），求Y＝|X|的密度函数。 解：当y≤0时，F Y (y)＝P (Y≤y)＝P (|X |≤y)＝0； 当y>0时，F Y (y)＝P (Y≤y)＝P (|X |≤y)＝P(?y?X?y) ＝ ?y12??ye?x2/2dx?2?y12??0e?x2/2dx ?2?y2/2 y?0,d?e因此，f Y (y)＝ FY(y)???dy?0, y?0. ?五（5）、设随机向量（X，Y）联合密度为 ?Ae?(2x?3y), x?0,y?0 ;f(x, y)= ? 其它.?0, （1） 求系数A； （2） 判断X，Y是否独立，并说明理由； （3） 求P{ 0≤X≤2，0≤Y≤1}。 第21页，共90页 解：（1）由1＝ ??????????f(x,y)dxdy????0???0Ae?(2x?3y)dxdy?A?e0???2xdx??e0???3y1dy＝A(?e?2x2??01)(?e?3y3??)?0A, 6 可得A＝6。 （2）因（X，Y）关于X和Y的边缘概率密度分别为 ?2e?2x, x?0 ;?3e?3y, y?0 ;fX (x)＝? 和 fY (y)＝ ? ， 其它. 其它.?0, ?0, 则对于任意的(x,y)?R2, 均成立f (x, y)= fX (x)* fY (y)，所以X与Y独立。 （3）P{ 0≤X≤2，0≤Y≤1}＝ ?2x20?3y10??6e0021?(2x?3y)dxdy??2e02?2xdx??3e?3ydy 01 ＝(?e)(?e)?(1?e?4)(1?e?3). 五（6）、设随机向量（X，Y）联合密度为 ?Ae?(3x?4y), x?0,y?0 ;f (x, y)= ? 其它.?0, （1） 求系数A； （2） 判断X，Y是否独立，并说明理由； （3） 求P{ 0≤X≤1，0≤Y≤1}。 解：（1）由1＝ ??????????f(x,y)dxdy??????0?0??0Ae?(3x?4y)dxdy?A?e0???3xdx??e?4ydy 0??1 ＝A(?e?3x301)(?e?4y4??)?A, 可得A＝12。 12 （2）因（X，Y）关于X和Y的边缘概率密度分别为 ?3e?3x, x?0 ;?4e?4y, y?0 ;fX (x)＝? 和 fY (y)＝ ? ， 其它. 其它.?0, ?0, 则对于任意的(x,y)?R, 均成立f (x, y)= fX (x)* fY (y)，所以X与Y独立。 （3）P{ 0≤X≤1，0≤Y≤1}＝ 2?1100?(3x?4y)?3x?4y12edxdy?3edx?4edy ???00????第22页，共90页 ＝(?e?3x10)(?e?4y)?(1?e?3)(1?e?4). 01五（7）、设随机向量（X，Y）联合密度为 f(x, y)= ??6x, 0?x?y?1 ; 其它.?0, （1） 求（X，Y）分别关于X和Y的边缘概率密度fX(x)，fY(y)； （2） 判断X，Y是否独立，并说明理由。 解：（1）当x<0或x>1时，fX (x)＝0； 当0≤x≤1时，fX (x)＝ ?????f(x,y)dy??6xdy?6x(1?x). x1?6x?6x2, 0?x?1,因此，（X，Y）关于X的边缘概率密度fX (x)＝? 其它.?0, 当y<0或y>1时，fY (y)＝0； 当0≤y≤1时，fY (y)＝ ?????yf(x,y)dx??6xdx?3x2|0?3y2. 0y?3y2, 0?y?1,因此，（X，Y）关于Y的边缘概率密度fY (y)＝? 其它.?0, （2）因为f (1/2, 1/2)＝3/2，而fX (1/2) fY (1/2)＝(3/2)*(3/4)＝9/8≠f (1/2, 1/2)， 所以，X与Y不独立。 五（8）、设二维随机向量（X，Y）的联合概率密度为 ?e?y, 0?x?y ;f (x, y)=? 其它.?0, （1） 求（X，Y）分别关于X和Y的边缘概率密度fX(x)，fY(y)； （2） 判断X与Y是否相互独立，并说明理由。 解：（1）当x≤0时，fX (x)＝0； 当x>0时，fX (x)＝ ?????f(x,y)dy??e?ydy?e?x. x??第23页，共90页 ?e?x, x?0,因此，（X，Y）关于X的边缘概率密度fX (x)＝? ?0, 其它.当y≤0时，fY (y)＝0； 当y>0时，fY (y)＝ ?????f(x,y)dx??e?ydx?ye?y. 0y?ye?y, y?0,因此，（X，Y）关于Y的边缘概率密度fY (y)＝? 其它.?0, （2）因为f (1, 2)＝e，而fX (1) fY (2)＝e*2e＝2 e≠f (1, 2)， 所以，X与Y不独立。 五（9）、设随机变量X的概率密度为 -2 -1 -2 -3 ?e?x,x?0 f(x)???0,其它设F(x)是X的分布函数，求随机变量Y=F(X)的密度函数。 解：当y<0时，F Y (y)＝P (Y≤y)＝P (F(X )≤y)＝0； 当y>1时，F Y (y)＝P (Y≤y)＝P (F(X )≤y)＝1； 当0≤y≤1时，F Y (y)＝P (Y≤y)＝P ((F(X )≤y)＝P(X?F(y)) ＝F(F(y))?y ?1?1因此，f Y (y)＝ 0?y?1,?1, d FY(y)??dy?0, 其它. 五（10）、设随机向量（X，Y）联合密度为 f(x, y)= ??8xy, 0?x?y?1 ; 其它.?0, （1）求（X，Y）分别关于X和Y的边缘概率密度fX(x)，fY(y)； （2）判断X，Y是否独立，并说明理由。 解：（1）当x<0或x>1时，fX (x)＝0； 当0≤x≤1时，fX (x)＝ ?????2f(x,y)dy??8xydy?4x?y2|1x?4x(1?x). x1第24页，共90页 ?4x?4x3, 0?x?1,因此，（X，Y）关于X的边缘概率密度fX (x)＝? 其它.?0, 当y<0或y>1时，fY (y)＝0； 当0≤y≤1时，fY (y)＝ ?????yf(x,y)dx??8xydx?4y?x2|0?4y3. 0y?4y3, 0?y?1,因此，（X，Y）关于Y的边缘概率密度fY (y)＝? 其它.?0, （2）因为f (1/2, 1/2)＝2，而fX (1/2) fY (1/2)＝(3/2)*(1/2)＝3/4≠f (1/2, 1/2)， 所以，X与Y不独立。 ?7 6?六（1）、已知随机向量（X，Y）的协方差矩阵V为?? 6 9??求随机向量（X＋Y， X—Y）的协方差矩阵与相关系数矩阵。 解：D(X+Y)= DX+DY+2Cov(X, Y)=7+9+2*6=28 D(X-Y)= DX+DY-2Cov(X, Y)=7+9-2*6=4 Cov(X+Y, X-Y)= DX-DY =7-9= -2 ?X?Y,X?Y?Cov(X?Y,X?Y)D(X?Y)D(X?Y)??228*4??128 ??28 -2??1 所以，（X＋Y， X—Y）的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为 ?? 和 ?-2 4???-1-1?28?? ? 1???28??9 2?六（2）、已知随机向量（X，Y）的协方差矩阵V为?? 2 1??求随机向量（X＋Y， X—Y）的协方差矩阵与相关系数矩阵。 解：D(X+Y)= DX+DY+2Cov(X, Y)=9+1+2*2=14 D(X-Y)= DX+DY-2Cov(X, Y)=9+1-2*2=6 Cov(X+Y, X-Y)= DX-DY =9-1=8 第25页，共90页 ?X?Y,X?Y?Cov(X?Y,X?Y)D(X?Y)D(X?Y)?814*6?421 4???14 8?1 ?21?所以，（X＋Y， X—Y）的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为 ?? 和 ?? 8 6???4? 1???21? 9 －6?六（3）、已知随机向量（X，Y）的协方差矩阵V为??－6 6?? 求随机向量（X—Y， X＋Y）的协方差矩阵与相关系数矩阵。 解：D(X-Y)= DX+DY-2Cov(X, Y)=9+6-2*(-6)=27 D(X+Y)= DX+DY+2Cov(X, Y)=9+6+2*(-6)=3 Cov(X-Y, X+Y)= DX-DY =9-6= 3 ?(X?Y,X?Y)3X?Y,X?Y?CovD(X?Y)D(X?Y)?27*3?13 Y?27 3??所以，（X—Y， X＋）的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为 ?1 ?3 3?? 和 ????1?3 1? 4 －5?六（4）、已知随机向量（X，Y）的协方差矩阵V为??－5 9?? 求随机向量（X—Y， X＋Y）的协方差矩阵与相关系数矩阵。 解：D(X-Y)= DX+DY-2Cov(X, Y)=4+9-2*(-5)=23 D(X+Y)= DX+DY+2Cov(X, Y)=4+9+2*(-5)=3 Cov(X-Y, X+Y)= DX-DY =4-9= -5 ?X?Y,X?Y)X?Y,X?Y?Cov(D(X?Y)D(X?Y)??5?523*3?69 ??23 -5??所以，（X—Y， X＋Y）的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为 ?1 ?-5 13?? 和 ???-5?69第26页，共90页 ?1?3?? ???-5?69?? ??? 11?? 1 －六（5）、已知随机向量（X，Y）的协方差矩阵V为?? －1 4??求随机向量（X—Y， X＋Y）的协方差矩阵与相关系数矩阵。 解：D(X-Y)= DX+DY-2Cov(X, Y)=1+4-2*(-1)= 7 D(X+Y)= DX+DY+2Cov(X, Y)=1+4+2*(-1)=3 Cov(X-Y, X+Y)= DX-DY =1-4= -3 ?X?Y,X?Y?Cov(X?Y,X?Y)D(X?Y)D(X?Y)??37*3??321 -3???7 -3??1 21?所以，（X—Y， X＋Y）的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为 ?? 和 ?? -3 3???-3? 1??21??求随机向量（X＋Y， X—Y）的协方差矩阵与相关系数矩阵。 解：D(X+Y)= DX+DY+2Cov(X, Y)=5+4+2*2=13 D(X-Y)= DX+DY-2Cov(X, Y)=5+4-2*2=5 Cov(X+Y, X-Y)= DX-DY =5-4=1 ?X?Y,X?Y?Cov(X?Y,X?Y)D(X?Y)D(X?Y)?113*5?165 七（1）、设总体X的概率密度函数是 ??x??1, 0?x?1 f(x;a)???0, 其它其中??0为未知参数。x1, x2, 解：似然函数L???xii?1n, xn是一组样本值，求参数?的最大似然估计。 ??1???xii?1nn??1 lnL?nln??(??1)?lnx ii?1n第27页，共90页 dlnLnn??? ???lnxi?0 ?d??i?1n?lnxi?1n i 七（3）、设总体X的概率密度函数是 ?2?xexp{??x2}, x?0 f(x)???0, 其它?>0为未知参数，x1,x2,x3,n,xn是一组样本值，求参数?的最大似然估计。 2nnnn2nn解：似然函数L??(2?xiexp{??xi})?(2i?1??xiexp{???xi}) lnL?nln(2?)??lnxi???xi2 i?1i?1i?1i?1dlnLnn2?? ???xi?0 ?d??i?1n?xi?1n 2i 七（4）、设总体的概率密度函数是 ?3?x2exp{??x3}, x?0f(x)?? ?0, 其它其中?>0是未知参数，x1,x2,x3,n2i,xn是一组样本值，求参数?的最大似然估计。 3nnn2n3n2n解：似然函数L??(3?xexp{??xi})?(3i?1??xiexp{???xi}) lnL?nln(3?)??lnxi???xi3 i?1i?1i?1i?1dlnLnn3?? ???xi?0 ?d??i?1n?xi?1n 3i 七（5）、设总体X服从参数为?的泊松分布P(?)??xx!e??（x=0，1， ），其中??0为未知参数，x1,x2,x3,,xn是一 组样本值，求参数?的最大似然估计。 解：似然函数L??n?xixi!i?1e????n?xii?1ne?n? lnL??xi!i?1?xln???ln(x!)?n? iii?1i?1nn第28页，共90页 dlnL??i?1 d?? nxi???n?0 ??xi?1nin?x 七（6）、设总体X的概率分布为P{X= x}=px(1-p)1-x,x?0,1。 设x1,x2,x3,大似然估计法求p的估计值。 解： ,xn为总体X的一组简单随机样本，试用最 L??p?1?p?xii?1n1?xinn???? lnL???xi?lnp??n??xi?ln?1?p? i?1?i?1???n1ndlnL?n?1??1????xi???n??xi??0 p??xi?x i?1ni?1dp?i?1?p??1?p 七（7）、设总体X服从参数为 n1的指数分布，x1,x2,x3,??i?1,xn是一组样本值，求参数?的最大似然估计。 解： L??n1i?1?e1?xi??1????e???1n??xi?1?1n lnL?nln????xi ????i?11ndlnLn1n????2?xi?0 ???xi?x ni?1d???i?1 七（8）、设总体X服从参数为?的指数分布，x1,x2,x3,,xn是一组样本值，求参数?的最大似然估计。 n解：似然函数 L???ei?1nn??xi??exin??i??1n lnL?nln????xi i?1dlnLnn??n?1 ???xi?0 ?nd??i?1?xixi?1七（9）、设总体X的概率密度函数是 (x??)21?12f(x;?)?e, ???x??? 2?x1,x2,,xn是一组样本值，求参数?的最大似然估计？ 解：似然函数 ?xi???21?1 L??e2?i?12?n?n1n2??1nexp????xi???? lnL??ln?2????(xi??)2 n22i?1?2i?1?2?1?第29页，共90页 1ndlnLn???(xi??)?0 ???xi?x ni?1d?i?1七（10）、设总体X的概率密度函数是 x?12?f(x;?)?e, ???x??? 2??2x1,x2,x3,,xn是一组样本值，求参数?的最大似然估计？ 解：似然函数 i1n?2? L??()e?i?12??nx2?nn1n2?1n2??xi exp???xi? lnL??ln?2???ln??ni?1i?1222??2??2??1?1n2dlnLn1n2?????xi ???xi ni?1d?2?2?2i?1 八（1）、从某同类零件中抽取9件，测得其长度为（ 单位：mm ）： 6.0 5.7 5.8 6.5 7.0 6.3 5.6 6.1 5.0 设零件长度 X服从正态分布N (μ,1)。求μ的置信度为0.95的置信区间。 (已知：t0.05(9)=2.262, t0.05(8)=2.306, U0.025?1.960 ) 、解：由于零件的长度服从正态分布,所以U?x??~N(0,1) P{|U|?u0.025}?0.95 ?/n所以?的置信区间为(x?u0.025?n,x?u0.025?n) 经计算 x?19?xi?19i?6 1 ?的置信度为0.95的置信区间为 (6?1.96?1 即(5.347，6.653) 3,6?1.96?3)八（2）、某车间生产滚珠，其直径X ～N (?, 0.05)，从某天的产品里随机抽出9个量得直径如下（单位：毫米 ）： 14.6 15.1 14.9 14.8 15.2 15.1 14.8 15.0 14.7 若已知该天产品直径的方差不变，试找出平均直径?的置信度为0.95的置信区间。 (已知：t0.05(9)=2.262, t0.05(8)=2.306, U0.025?1.960 ) 第30页，共90页 ={438.90,476.09} ?=S2=1 240.28 (4) ?(5) 因为 (n?1)S22?2~?2(n?1),所以?2的95%的置信区间为: {(n?1)S22??2(n?1)?1??2(n?1)22,(n?1)S2},其中S2=1 240.28, ??2(n?1)??0.0252(9)?19.023,?1??2(n?1)??0.9752(9)?2.70,所以 2{(n?1)S22??2(n?1)?1??2(n?1)2,(n?1)S2}={9?1240.289?1240.28,} 19.0232.70={586.79,4134.27} 十一、假设检验 1． 已知方差σ2,关于期望μ的假设检验 U? 2． X??0~N(0,1)?0/n(?0为已知)未知方差σ2,关于期望μ的假设检验 X??0T?~t(n?1)S/n 3． 未知期望μ,关于方差σ2的假设检验 ?2?(n?1)S22?0~?2(n?1)例：已知某铁水含碳量在正常情况下服从正态分布N(4.55,0.112),现在测定了9炉铁水，含碳量平均数 x?4.445，样本方差S 2＝0.0169。若总体方差没有变化，即σ2＝0.121，问总体均值μ有无显著变化？ （α＝0.05）（同步50页四、1） 解：原假设H0：μ＝4.55 统计量U?x?4.550.11/9，当H0成立时，U服从N（0，1） 对于α＝0.05，U0.025=1.96 第46页，共90页 U?4.445?4.55?2.86?1.96 0.11/9故拒绝原假设，即认为总体均值μ有显著变化 练习：某厂生产某种零件，在正常生产的情况下，这种零件的轴长服从正态分布，均值为0.13厘米。若从某日生产的这种零件中任取10件，测量后得x?0.146 厘米，S=0.016厘米。问该日生产得零件得平均轴长是否与往日一样？（α＝0.05） （同步52页四、2）【 不一样 】 例：设某厂生产的一种钢索, 其断裂强度Xkg/cm2服从正态分布N(?,402). 从中选取一个容量为9的样本, 得X?780 kg/cm2. 能否据此认为这批钢索的断裂强度为800 kg/cm2 (??0.05). 解： H0：u=800. 采用统计量U= X?u0? n2其中σ=40, u0=800, n=9, ??0.05，查标准正态分布表得U?=1.96 |U |=|780?800|?1.5, 4092| U | 练习：某厂生产铜丝，生产一向稳定。现从该厂产品中随机抽出10段检查其折断力，测后经计算： X?287.5,?(Xi?X)?160.5 。假定铜丝折断力服从正态分布，问是否可相信该厂生产的铜丝的折 i?1102断力方差为16？（α＝0.1） （同步46页四、2）【是】 十二、证明题： 例：总体X~U(?,2?), 其中??0是未知参数, 又X1,X2,?,Xn为取自该总体的样本,X为样本均值. 证明: ??2X是参数?的无偏估计. （同步39页四、2） ?3?证明: 因为E? 例：设??是参数 223???23EX?3EX?32=??2X是参数, 故?3?的无偏估计. ?2不是?2的无偏估计量. ?)?0, 证明: ?D(??2)?(E??)2?E(??2)??2?0, 即?)??，D(??)?E(?证明：因为??是参数?的无偏估计量，所以E(??2)??2, E(??的无偏估计量, 故 ??2不是?2的无偏估计量. （同步39页四、3） 其它证明题见同步练习46页五、50页五、 十三、其它题目 例：设随机变量X在区间[2，5]上服从均匀分布，求对X进行的三次独立观测中，至少有两次的观测值大 第47页，共90页 于3的概率。 解：P(X＞3)= 练习：设测量误差X～N(0，100)，求在100次独立重复测量中至少有三次测量误差的绝对值大于19.6的概率，并用泊松分布求其近似值（精确到0.01）。 解：由于X～N(0，100)，则 P(|X|＞19.6)=1- P(|X|?19.6)=2[1-?(1.96)]=0.05且显然Y～B(100,0.05),故P(Y?3) 2 =1- P(Y ?2)=1-0.95100?100?0.05?0.9599?C100?0.052?0.9598 ?5321202?2??1?2?2?dx= , 则所求概率即为C3 ?????C3???3333327??????23设?= np =100×0.05=5，且Y?P(5),则 P(Y?3)=1- P(Y ?2)=1- ?k!5k?021ke?5?1?0.124652=0.875348 例：对某地抽样调查的结果表明，考生的外语成绩（按百分制计）近似服从正态分布，平均72分,且96分以上的考生数占2.3%。求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率。 解：设X表示考生的外语成绩，且X～N(72,?),则 2P(X >96)=1-P(X ?96)=1-?( 即? ( 24)=0.023, ?2424)=0.977,查表得=2，则? =12，即且X～N(72,144)， ??X?72故P(60?X?84)=P(-1??1)=2?(1)-1=0.682 12其它题目（主要是选择题和填空题，见同步练习后面的5套模拟题），具体题号如下： 同步练习：模拟题一：42页 一1，2，3，4，5，7，8，二1，3 模拟题二：44页 一1，4，7，8，9二4，5 模拟题三：46页 一1 ，2，5 二1，2，4 模拟题四：48页 一1，2，3，4，6，7二1，2，3 模拟题五：51页 一1，2，3，4，5二2，3，4，5，6 考试科目： 概率论与数理统计考试时间：120分钟 试卷总分100分 题号 得分 一 二 1 2 3 三 4 5 6 四 总分 一、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共5小题，每小 题3分，总计15分） 1．掷一枚质地均匀的骰子，则在出现奇数点的条件下出现1点的概率为（ A ）。 第48页，共90页 (A)1/3 (B)2/3 (C)1/6 (D)3/6 ?Kx?2x?12．设随机变量的概率密度f(x)??，则K=（ B ）。 x?1?0(A)1/2 (B)1 (C)-1 (D)3/2 3．对于任意随机变量?,?，若E(??)?E(?)E(?)，则（ B ）。 (A) D(??)?D(?)D(?) （B）D(???)?D(?)?D(?) (C) ?,?一定独立 （D）?,?不独立 5．设?~N(1.5,4)，且?(1.25)?0.8944，?(1.75)?0.9599，则P{-2 二、填空题（在每个小题填入一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共5小题，每小题3分，总计15 分） 1．设A、B为互不相容的随机事件P(A)?0.3,P(B)?0.6,则P(A?B)?（ 0.9 ）。 2．设有10件产品，其中有1件次品，今从中任取出1件为次品的概率为（ 1/10 ）。 ?1,3．设随机变量X的概率密度f(x)???0,0?x?1 则P?X?0.2??（ 8/10 ）。 其它4．设D(?)=9, D(?)=16, ????0.5，则D(???)=（ 13 ）。 *5．设y~N(?,?2)，则 y???n。 ~（ N(0,1) ） 三、计算题（本大题共6小题，每小题10分，总计60分） 1．某厂有三条流水线生产同一产品，每条流水线的产品分别占总量的25％，35％，40％，又这三条流水线的次品率分别为0.05，0.04，0.02。现从出厂的产品中任取一件，问恰好取到次品的概率是多少？ （1）全概率公式 P(A)??P(Bi)P(ABi)?i?13255354402?????100100100100100100(6分)(4分) ?0.0345?Ae?5x,x?02．设连续型随机变量X的密度为 f(x)?? x?0.?0,(1)确定常数A (2)求P{X?0.2} (3)求分布函数F(x). 第49页，共90页 （2）①????(x)dx??00dx???5x1?????0Ae?dx?5A?1(3分) 故A=5 。 ②P(??0.2)????5e?5x0.2dx?e?1?0.3679. （3分） ③当x<0时,F(x)=0; （1分） 当x?0时，F(x)??x???(x)dx??0??dx??x05e?5xdx （2分） ?1?e?5x故?5xF(x)???1?e,x?0 . （1分） ?0,x?0 3．设二维随机变量（?,?）的分布密度f(?,?)???6,?2????,0???10, ?其它求关于?和关于?的边缘密度函数。 （3） f??x(x)????f(x,y)dy(2分）?????x26dy?6(x?x2),0?x?1?x?0其它f????y(y)????f(x,y)dx（2分）???yy6dx?6(y?y),0?y?1??0其它 ?x,0?x?14．设连续型随即变量?的概率密度f(x)???2?x,1?x?2， ??0,其它求E(x),D(x) （4）EX??1x2dx??201x(2?x)dx?13?(4?1)?13(8?1)?1 （4分） EX2??10x3dx??21x2(2?x)dx?14?2173(8?1)?4(16?1)?6（3分） DX?EX2?(EX)2?716?1?6 （3分） 四．证明题（本大题共2小题，总计10分） 第50页，共90页 3分）3分）（ （ 百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库概率论和数理统计期末考试题库在线全文阅读。
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